江苏省南通市启东中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题Word版含解析.pdf

高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -1-江苏省启东中学 2019-2020 学年度第二学期期中考试 高一数学试卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为20,40,40,60,60,80,80,100.若低于 60 分的人数是 15 人，则该班的学生人数是()A.45 B.50 C.55 D.【答案】B【解析】根据频率分布直方可知成绩低于 60 分的有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为 0.005，0.01，每组数据的组距为 20，则成绩低于 60 分的频率 P=(0.005+0.010)20=0.3.又因为低于 60 分的人数是 15 人，所以该班的学生人数是 150.3=50.本题选择 B 选项.2.若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P落在圆229xy内的概率为（）A.536 B.29 C.16 D.19【答案】D【解析】掷骰子共有 36 个结果,而落在圆x2+y2=9 内的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)这 4 种,高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -1-P=41369.故选 D 3.已知ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos2cosAbBa，则该三角形的形状是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.钝角三角形【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理对coscosAbBa化简得到AB或2AB，再结合已知分析判定三角形的形状得解.【详解】由题得cossin,sincossincos,sin2sin2cossinAbBAABBABBaA,因为022,0220ABAB，,所以22AB或22AB,所以AB或2AB.因为2,baAB舍去.所以,22ABC，3ca.所以三角形是直角三角形.故选：B【点睛】本题主要考查正弦定理判断三角形的形状，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.4.在ABC 中，AB=2，AC=3，1AB BC则 BC=_ A.3 B.7 C.2 D.23【答案】A【解析】高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -1-【详解】2222149|cos()122BCAB BCAB BCBABBCAC|=3BC 故选：A【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.5.过点(0,2)的直线l与圆222xyx有两个交点，则直线l的斜率k的取值范围是（）A.3,4 B.22,44 C.3,4 D.1 1,8 8【答案】C【解析】【分析】先求出圆心坐标为(1,0)，半径为 1.再设出直线方程为2,ykx解不等式2|2|11kk即得解.【详解】由题得圆的方程为22(1)1xy，所以圆心坐标为(1,0)，半径为 1.设直线方程为2,ykx即20kxy.由题得2|2|31,41kkk.故选：C【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6.恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重.恩格尔系数越小，即家庭的消费支出中用于购买食物的支出所占比例越小，更多的消费用于精神追求，标志着家庭越富裕.恩格尔系数达 59%以上为贫困，5059%为温饱，4050%为小康，3040%为富裕，低于 30%为最富裕.下图给出了 19802017 年我国城镇居民和农村居民家庭恩格尔系数的变化统计图，对所列年份进行分析，则下列结论正确的是（）高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -1-A.农村和城镇居民家庭消费支出呈下降趋势 B.农村居民家庭比城镇居民家庭用于购买食品的支出更多 C.1995 年我国农村居民初步达到小康标准 D.2015 年城镇和农村居民食品支出占个人消费支出总额之比大于 30.6%【答案】D【解析】【分析】利用统计图对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A.从图中看出农村和城镇居民家庭消费支出中用于购买食物的支出所占比例呈下降趋势，但看不出农村和城镇居民家庭消费支出的趋势，故错误.B.农村居民家庭比城镇居民家庭用于购买食品的支出更多,是错误的.只能说农村居民家庭比城镇居民家庭用于购买食品的支出比例更大，并不代表支出的数量更大.C.1995 年我国农村居民初步达到小康标准，是错误的.因为 1995 年农村居民恩格尔系数是58.6，而恩格尔系数达到 4050%为小康，所以农村居民没有达到小康水平.D.2015 年城镇和农村居民食品支出占个人消费支出总额之比大于 30.6%是正确的.因为 2015年城镇居民和农村居民的恩格尔系数都大于 30.6%.故选：D【点睛】本题主要考查统计图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.7.如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面 2 米，水面宽 12 米，当水面下降 1 米后，水面宽度为（）高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -1-A.14 米 B.15 米 C.51米 D.2 51米【答案】D【解析】【详解】以圆拱拱顶为坐标原点，以过拱顶顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得：A（6，2），设圆的半径为r，则C（0，r），即圆的方程为x2+（y+r）2r2，将A的坐标代入圆的方程可得r10，所以圆的方程是：x2+（y+10）2100 则当水面下降 1 米后可设A的坐标为（x0，3）（x00）代入圆的方程可得x051，所以当水面下降 1 米后，水面宽为 251米 故选：D 8.已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若1a，3b，则c的取值范围是（）A.(2,4)B.(2 2,3 C.3,10)D.(2 2,10)【答案】D【解析】【分析】由题得24c,再由余弦定理得29+10c ，且2190c ，且21+90c，解不等式即得解.【详解】由题得24c.由题得0cos1,A且0cosB1,且0cos1C，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -1-所以29+10c ，且2190c ，且21+90c，所以2 210c.因为24c，所以2 210c.故选：D【点睛】本题主要考查余弦定理判断三角形的形状，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.9.某同学参加社会实践活动，随机调查了某小区 5 个家庭的年可支配收入x（单位：万元）与年家庭消费y（单位：万元）的数据，制作了对照表：x/万元 2.7 2.8 3.1 3.5 3.9 y/万元 1.4 1.5 1.6 1.8 2.2 由表中数据得回归直线方程为0.5 yxa，得到下列结论，其中正确的是（）A.若某户年可支配收入为 4 万元时，则年家庭消费约为 2.3 万元 B.若某户年可支配收入为 4 万元时，则年家庭消费约为 2.1 万元 C.若年可支配收入每增加 1 万元，则年家庭消费相应平均增加 0.5 万元 D.若年可支配收入每增加 1 万元，则年家庭消费相应平均增加 0.1 万元【答案】BC【解析】【分析】先求出样本中心点的坐标，再求出0.5.10yx，即可判断得解.【详解】由题得1(2.72.83.13.53.9)3.25x，1(1.41.51.61.82.2)1.75y，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -1-所以1.70.5 3.20.1aa，.所以0.5.10yx.当4x 时，0.5402.1.1y，所以选项 B 正确，选项 A 错误;因为0.5.10yx，所以若年可支配收入每增加 1 万元，则年家庭消费相应平均增加 0.5 万元，所以选项 C 正确，选项 D 错误.故选：BC【点睛】本题主要考查线性回归方程的求法和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.10.已知,3A m，2,()4Bm m，,(2)1C m，1,0D，且直线AB与CD平行，则m的值为（）A.1 B.0 C.1 D.2【答案】BC【解析】【分析】对m分两种情况讨论，结合直线的斜率公式和平行直线的斜率关系得到关于m的方程，解方程即得解.【详解】当0m 时，0,3A，(0,4)B，(1,2)C，1,0D，直线ABx轴，直线CDx轴，所以直线AB与CD平行.当0m时，1212,1ABCDmmkkmmmmm.故选：BC【点睛】本题主要考查平行直线的斜率关系，考查斜率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.在ABC中，角、ABC的对边分别为abc、，若222tan3acbBac，则角B的值为()A.6 B.3 C.56 D.23【答案】BD 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -1-【解析】【分析】根据余弦定理，代入即可求得角 B.【详解】根据余弦定理可知2222cosacbacB，代入化简可得sin2cos3cosBacBacB，即3sin2B，因为0B，所以3B或23B，故选：BD.【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.12.已知圆221:(3)(4)25Cxy与圆2222:(1)(2)(0)Cxyrr相内切，则r等于（）A.5+2 2 B.52 2 C.52 2 D.52 2 【答案】AC【解析】【分析】先求出两圆的圆心和半径，再由题得22(3 1)(42)|5|,r解方程即得解.【详解】由题得圆221:(3)(4)25Cxy的圆心为(3,4),半径为 5；圆2222:(1)(2)(0)Cxyrr的圆心为(1,2)，半径为r；由题得22(3 1)(42)|5|,2 2|5|,rr r52 2.故选：AC【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请把答案直接填写在答题卡相应的位置高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -1-上.13.已知一组数据1x，2x，3x，4x，5x的平均数是 2，方差是13，那么另一组数据132x，232x，332x，432x，532x 的平均数为_，方差为_.【答案】(1).4 (2).3；【解析】【分析】设原数据的平均数为x，方差为2S,根据新数据为32(1,2,3,4,5)nxn，利用公式求出新数据的平均数和方差.【详解】设原数据的平均数为x，方差为2S,由于新数据为32(1,2,3,4,5)nxn，所以新数据的平均数为323224x ，新数据的方差为2213933S.故答案为：4；3.【点睛】本题主要考查数据的平均数和方差的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.14.袋中有 12 个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球概率为14，得到黑球或黄球概率是512，得到黄球或绿球概率是12，则任取一球得到黄球的概率为_.【答案】16；【解析】【分析】设红球、黑球、黄球、绿球的个数分别为a b c d,再根据已知求出它们的值，再利用古典概型的概率公式得解.【详解】设红球、黑球、黄球、绿球的个数分别为a b c d,由题得11234a，所以9bcd，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -1-由题得512512bc，所以4d，由题得11262cd，所以2c.由古典概型的概率公式得任取一球得到黄球的概率为21=126.故答案为：16【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.15.在ABC中，60C，16ab，则ABC的周长l的最小值是_.【答案】24；【解析】【分析】利用余弦定理表示第三边，通过基本不等式求解ABC的周长l的最小值【详解】在ABC中，60C，由余弦定理可得：2222222cos()32563cababCababababab，ABC的周长216162563162563()168242ablcab 当且仅当8ab时，取等号 故答案为：24【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握分析推理水平.16.设集合22,41Ax yxy，22,21Bx yxtyat，若存在实数t，使AB，则实数a的取值范围是_【答案】40,3【解析】【分析】根据两圆有交点建立不等式，再根据不等式有解确定实数a的取值范围.【详解】由题意得两圆有交点，所以221 1(4)(2)1 1tat ，即22(1)4(2)160ata t有解，因此22416(2)64(1)003aaa .高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -1-【点睛】一般利用圆心距与两半径和与差的关系,判断圆与圆的位置关系.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.请在答题卡制定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.从某校随机抽取 100 名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的概率；（2）求频率分布直方图中的 a，b 的值；【答案】（1）0.9（2）0.085,0.125ab【解析】试题分析：（）先频数分布表求出课外阅读时间不少于 12 小时的人数，再由对立事件的频率公式求出一名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的频率；（）结合频数分布表、直方图确定课外阅读时间落在4，6）、8，10）的人数为 17，求出对应的频率，分别由频率/组距求出 a、b 的值 试题解析：（1）根据频数分布表，100 名学生中课外阅读时间不少于 12 小时的学生共有 6+2+2=10 名，所以样本中的学生课外阅读时间少于 12 小时的频率是1010.9100 从该校随机选取一名学生，估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的概率为0.9（2）课外阅读时间落在组4,6)的有 17 人，频率为0.17，所以0.170.0852a 频率组距，课外阅读时间落在组8,10)的有 25 人，频率为0.25，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -1-所以0.250.1252b 频率组距 考点：频率分布直方图 18.在ABC中，BCa，ACb，已知a，b是方程22 320 xx的两个根，且2cos()1AB（1）求角C的大小；（2）求AB的长【答案】120oC,10c 【解析】试题分析：解：（1）1coscoscos2CABAB ，所以120C （2）由题意得2 32abab 222222cos2cos120ABACBCAC BCCabab=22222 3210abababab 10AB 考点：本题考查余弦定理，三角函数的诱导公式的应用 点评：解决本题的关键是用一元二次方程根与系数之间关系结合余弦定理来解决问题 19.已知矩形 ABCD 的两条对角线相交于点2 0M（，），AB 边所在直线的方程为360 xy，点11T（，）在 AD 边所在直线上.（1）求 AD 边所在直线的方程；（2）求矩形 ABCD 外接圆的方程.【答案】（1）3xy20；（2）(x2)2y28.【解析】【分析】(1)直线 AB 斜率确定，由垂直关系可求得直线 AD 斜率，又 T 在 AD 上，利用点斜式求直线 AD方程；（2）由 AD 和 AB 的直线方程求得 A 点坐标，以 M 为圆心，以 AM 为半径的圆的方程即为所求.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -1-【详解】(1)AB所在直线的方程为x3y60，且AD与AB垂直，直线AD的斜率为3 又点T(1,1)在直线AD上，AD边所在直线的方程为y13(x1)，即 3xy20(2)由360320 xyxy,得02xy,点A的坐标为(0，2)，矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)，M为矩形ABCD外接圆的圆心，又|AM|22200222.矩形ABCD外接圆的方程为(x2)2y28【点睛】本题考查两直线的交点，直线的点斜式方程和圆的方程,考查计算能力，属于基础题.20.如图所示的四边形ABCD中，已知ABAD，120ABC，60ACD，27AD，设ACB，C点到AD的距离为h.（1）用表示h的解析式；（2）求ABBC的最大值.【答案】（1）18 3cossin 30060h（2）9 3+18【解析】【分析】（1）由正弦定理得18 3cosAC，再根据sinhACCAD得解；（2）由正弦定理得18sin 2AB，9 39 3cos29sin 2BC,得9 3ABBC9 3cos29sin 2，再利用三角函数求最大值得解.详解】（1）由已知，得360901206090ADC.在ACD中，由sinsinADACACDADC，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -1-得27cos18 3cossin60AC.又18030CADADCACD，且060，所以sin18 3cossin 30060hACCAD.（2）在ABC中，由正弦定理得sin18sin2sin120ACAB，sin 6036cossin 60sin120ACBC 9 39 3cos29sin2，于是9 39 3cos29sin2ABBC 9 318sin 260.因为060，所以当15时，ABBC取得最大值9 3+18.【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.在流行病学调查中，潜伏期指自病原体侵入机体至最早临床症状出现之间的一段时间.某地区一研究团队从该地区 500 名A病毒患者中，按照年龄是否超过 60 岁进行分层抽样，抽取50 人的相关数据，得到如下表格：潜伏期（单位：天）0,2 2,4 4,6 6,8 8,10 10,12 12,14 人 数 60 岁及以上 2 5 8 7 5 2 1 60岁以下 0 2 2 4 9 2 1 （1）估计该地区 500 名患者中 60 岁以下的人数；（2）以各组的区间中点值为代表，计算 50 名患者的平均潜伏期（精确到 0.1）；高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -1-（3）从样本潜伏期超过 10 天的患者中随机抽取两人，求这两人中恰好一人潜伏期超过 12 天的概率.【答案】（1）200（2）10.4（天）（3）815【解析】【分析】（1）求出调查的50 名A病毒患者中，年龄在 60 岁以下的有 20 人，即得解；（2）利用平均数公式计算即得解；（3）利用古典概型的概率公式求解即可.【详解】（1）调查的 50 名A病毒患者中，年龄在 60 岁以下的有 20 人，因此该地区A病毒患者中，60 岁以下的人数估计有2050020050人.（2）111 23 75 107 119 1411 413 251810.45050 x （天）（3）样本潜伏期超过 10 天的患者共六人，其中潜伏期在 1012 天的四人编号为：1，2，3，4，潜伏期超过 12 天的两人编号为：5，6，从六人中抽取两人包括 15 个基本事件：1，2；1，3；1，4；1，5；1，6；2，3；2，4；2，5；2，6；3，4；3，5；3，6；4，5；4，6；5，6.记事件“恰好一人潜伏期超过 12 天”为事件A，则事件A包括 8 个，所以8()15P A.【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式，考查平均数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22.已知圆M的圆心M在x轴上，半径为2，直线:3410lxy 被圆M截得的弦长为2 3，且圆心M在直线l的上方.（1）求圆M的方程；（2）设(0,)At，(0,6)Bt24t，若圆M是ABC的内切圆，求AC，BC边所在直线的斜率（用t表示）；（3）在（2）的条件下求ABC的面积S的最大值及对应的t值.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -1-【答案】（1）22(2)4xy（2）244ACtkt；24(6)4(6)BCtkt（3）ABC的面积S的最大值为24，此时2t 或4t 【解析】【分析】（1）设圆心(,0)M a，求出点M到:3410lxy 的距离为 1，解方程3115a即得解；（2）设AC斜率为1k，BC斜率为2k，再根据直线和圆相切得到方程，解方程即得解；（3）求出2118Skk，再把21236=26kktt代入，结合t的范围求出面积的最大值和此时t的值.【详解】（1）设圆心(,0)M a，由已知得M到:3410lxy 的距离为222(3)1,3115a.又M在l的上方，310a，315a，2a，故圆的方程为22(2)4xy.（2）设AC斜率为1k，BC斜率为2k，则直线AC方程为1yk xt，直线BC的方程为26yk xt.由于圆M与AC相切，所以121221ktk，244tkt；同理，224(6)4(6)tkt.（3）联立两条直线方程得C点的横坐标为216kk 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -1-(6)6ABtt，2121161862Skkkk 由（2）得：21236=26kktt，24t，2968tt 2362463tt，213546kk，2161453kk max24S，此时268tt，2t 或4t.综上：ABC的面积S的最大值为24，此时2t 或4t.【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系，考查函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -1-