考研数学历年真题(1998-2007)年数学二.pdf

2007 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题：110 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当0 x时，与x等价的无穷小量是 （A）1 ex （B）1ln1xx（C）11x （D）1cosx （2）函数在,上的第一类间断点是x （A）0 （B）1 （C）2（D）2（3）如图，连续函数()yf x在区间3,2,2,3 上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间2,0,0,2上的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设0()()dxF xf tt，则下列结论正确的是：（）（A）3(3)(2)4FF (B)5(3)(2)4FF （C）（）（2433FF （D）（）（2453FF （4）设函数()f x在0 x 处连续，下列命题错误的是 （A）若0()limxf xx存在，则(0)0f （B）若0()()limxf xfxx存在，则(0)0f .（C）若0()limxf xx存在，则(0)0f （D）若0()()limxf xfxx存在，则(0)0f.（5）曲线1ln 1 exyx渐近线的条数为 （A）0.（B）1.（C）2.（D）3.（6）设函数()f x在(0,)上具有二阶导数，且()0fx，令()nuf n）（,2,1n，则下列结论正确的是：(A)若12uu，则 nu必收敛.(B)若12uu，则 nu必发散 (C)若12uu，则 nu必收敛.(D)若12uu，则 nu必发散.（7）二元函数(,)f x y在点0,0处可微的一个充分条件是 （A）(,)0,0lim(,)(0,0)0 x yf x yf.（B）00(,0)(0,0)(0,)(0,0)lim0,lim0 xyf xffyfxy且.（C）22(,)0,0(,)(0,0)lim0 x yf x yfxy.（D）00lim(,0)(0,0)0,lim(0,)(0,0)0 xxyyxyfxffyf且.（8）设函数(,)f x y连续，则二次积分1sin2d(,)dxxf x yy等于 （A）10arcsind(,)dyyf x yx （B）10arcsind(,)dyyf x yx （C）1arcsin02d(,)dyyf x yx （D）1arcsin02d(,)dyyf x yx（9）设向量组123,线性无关，则下列向量组线性相关的是 (A)122331,(B)122331,(C)1223312,2,2 .(D)1223312,2,2 .（10）设矩阵211100121,010112000AB，则A与B (A)合同且相似 （B）合同，但不相似.(C)不合同，但相似.(D)既不合同也不相似 二、填空题：1116 小题，每小题 4 分，共 24 分.把答案填在题中横线上.（11）30arctansinlimxxxx _.（12）曲线2coscos1 sinxttyt 上对应于4t的点处的法线斜率为_.（13）设函数123yx，则()(0)ny_.（14）二阶常系数非齐次微分方程2432exyyy的通解为y _.（15）设(,)f u v是二元可微函数，,y xzfx y，则zzxyxy _.（16）设矩阵0100001000010000A，则3A的秩为 .三、解答题：1724 小题，共 86 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）(本题满分 10 分)设()f x是区间0,4上单调、可导的函数，且满足()100cossin()ddsincosf xxttftttttt，其中1f是f的反函数，求()f x.（18）（本题满分 11 分）设D是位于曲线2(1,0)xayxaax 下方，x轴上方的无界区域.（）求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积()V a；（）当a为何值时，()V a最小？并求此最小值.（19）（本题满分 10 分）求微分方程2()yxyy满足初始条件(1)(1)1yy的特解.（20）（本题满分 11 分）已知函数()f u具有二阶导数，且(0)1f，函数()yy x由方程1e1yyx所确定，设lnsinzfyx，求2002dd,ddxxzzxx.（21）(本题满分 11 分)设函数(),()f x g x在,a b上连续，在(,)a b内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f ag af bg b，证明：存在(,)a b，使得()()fg.（22）(本题满分 11 分)设二元函数222,|11(,),1|2xxyf x yxyxy，计算二重积分D(,)df x y，其中,|2Dx yxy.（23）(本题满分 11 分)设线性方程组123123212302040 xxxxxaxxxa x与方程组12321xxxa有公共解，求a的值及所有公共解.（24）(本题满分 11 分)设 3 阶对称矩阵A的特征向量值1231,2,2，T1(1,1,1)是A的属于1的一个特征向量，记534BAAE，其中E为 3 阶单位矩阵.（I）验证1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；（II）求矩阵B.2006 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题：16 小题，每小题 4 分，共 24 分.把答案填在题中横线上.（1）曲线4sin52cosxxyxx 的水平渐近线方程为 （2）设函数2301sind,0(),0 xtt xf xxax 在0 x 处连续，则a .（3）反常积分220d(1)x xx .（4）微分方程(1)yxyx 的通解是 （5）设函数()yy x由方程1eyyx 确定，则 0ddxyx （6）设矩阵2112A，E为 2 阶单位矩阵，矩阵B满足2BABE，则B .二、选择题：714 小题，每小题 4 分，共 32 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()yf x具有二阶导数，且()0,()0fxfx，x为自变量x在点0 x处的增量，dyy 与分别为()f x在点0 x处对应的增量与微分，若0 x，则 (A)0dyy.(B)0dyy .(C)d0yy.(D)d0yy .（8）设()f x是奇函数，除0 x 外处处连续，0 x 是其第一类间断点，则0()dxf tt是 （A）连续的奇函数.（B）连续的偶函数 （C）在0 x 间断的奇函数 （D）在0 x 间断的偶函数.（9）设函数()g x可微，1()()e,(1)1,(1)2g xh xhg，则(1)g等于 （A）ln3 1.（B）ln3 1.（C）ln2 1.（D）ln2 1.（10）函数212eeexxxyCCx满足的一个微分方程是 （A）23 e.xyyyx （B）23e.xyyy （C）23 e.xyyyx （D）23e.xyyy （11）设(,)f x y为连续函数，则1400d(cos,sin)df rrr r等于 （）22120d(,)dxxxf x yy.（B）221200d(,)dxxf x yy.(C)22120d(,)dyyyf x yx.(D)221200d(,)dyyf x yx.（12）设(,)(,)f x yx y与均为可微函数，且(,)0yx y，已知00(,)xy是(,)f x y在约束条件(,)0 x y下的一个极值点，下列选项正确的是 (A)若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy.(B)若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy.(C)若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy.(D)若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy.（13）设12,s 均为n维列向量，A为mn矩阵，下列选项正确的是 （A）若12,s 线性相关，则12,sAAA线性相关.（B）若12,s 线性相关，则12,sAAA线性无关.(C)若12,s 线性无关，则12,sAAA线性相关.(D)若12,s 线性无关，则12,sAAA线性无关.（14）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的1倍加到第2列得C，记110010001P，则 （）1CP AP.（）1CPAP.（）TCP AP.（）TCPAP.三、解答题：1523 小题，共 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分 10 分）试确定,A B C的值，使得23e(1)1()xBxCxAxo x，其中3()o x是当0 x 时比3x高阶的无穷小.（16）（本题满分 10 分）求 arcsinedexxx.（17）（本题满分 10 分）设区域22(,)1,0Dx y xyx，计算二重积分I221d d.1Dxyx yxy （18）（本题满分 12 分）设数列 nx满足110,sin(1,2,)nnxxx n（）证明limnnx存在，并求该极限；（）计算211limnxnnnxx.（19）（本题满分 10 分）证明：当0ab时，sin2cossin2cosbbbbaaaa.（20）（本题满分 12 分）设函数()f u在(0,)内具有二阶导数，且22zfxy满足等式22220zzxy.（I）验证()()0f ufuu；（II）若(1)0,(1)1ff，求函数()f u的表达式.（21）（本题满分 12 分）已知曲线 L 的方程221,(0)4xttytt（I）讨论 L 的凹凸性；（II）过点(1,0)引 L 的切线，求切点00(,)xy，并写出切线的方程；（III）求此切线与 L（对应于0 xx的部分）及 x 轴所围成的平面图形的面积.（22）（本题满分 9 分）已知非齐次线性方程组 1234123412341435131xxxxxxxxaxxxbx 有 3 个线性无关的解.（）证明方程组系数矩阵A的秩 2r A；（）求,a b的值及方程组的通解.（23）（本题满分 9 分）设 3 阶实对称矩阵A的各行元素之和均为 3,向量TT121,2,1,0,1,1 是线性方程组0Ax 的两个解.()求A的特征值与特征向量；()求正交矩阵Q和对角矩阵,使得TQ AQ .2005 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上）（1）设xxy)sin1(，则xdy =.（2）曲线xxy23)1(的斜渐近线方程为 .（3）10221)2(xxxdx .（4）微分方程xxyyxln2满足91)1(y的解为 .（5）当0 x时，2)(kxx 与xxxxcosarcsin1)(是等价无穷小，则 k=.（6）设321,均为 3 维列向量，记矩阵 ),(321A，)93,42,(321321321B，如果1A，那么B .二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数nnnxxf31lim)(，则 f(x)在),(内 (A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.（8）设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数，NM 表示“M 的充分必要条件是 N”，则必有 （A）F(x)是偶函数f(x)是奇函数.（B）F(x)是奇函数f(x)是偶函数.（C）F(x)是周期函数f(x)是周期函数.（D）F(x)是单调函数f(x)是单调函数.（9）设函数 y=y(x)由参数方程)1ln(,22tyttx确定，则曲线 y=y(x)在 x=3 处的法线与 x 轴交点的横坐标是 (A)32ln81.(B)32ln81.(C)32ln8.(D)32ln8.（10）设 区 域0,0,4),(22yxyxyxD，f(x)为 D 上 的 正 值 连 续 函 数，a,b 为 常 数，则dyfxfyfbxfaD)()()()(A)ab.(B)2ab.(C)(ba.(D)2ba .（11）设函数yxyxdttyxyxyxu)()()(),(,其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有 (A)2222yuxu.（B）2222yuxu.(C)222yuyxu.(D)222xuyxu.（12）设函数,11)(1xxexf则（）（A）x=0,x=1 都是 f(x)的第一类间断点.（B）x=0,x=1 都是 f(x)的第二类间断点.（C）x=0 是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点.（D）x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点.（13）设21,是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,，则1，)(21A线性无关的充分必要条件是 (A)01.(B)02.(C)01.(D)02.（14）设 A为 n（2n）阶可逆矩阵，交换A 的第1 行与第2行得矩阵B,*,BA分别为A,B 的伴随矩阵，则 （A）交换*A的第 1 列与第 2 列得*B.(B)交换*A的第 1 行与第 2 行得*B.(C)交换*A的第 1 列与第 2 列得*B.(D)交换*A的第 1 行与第 2 行得*B.三、解答题（本题共 9 小题，满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分 11 分）设函数 f(x)连续，且0)0(f，求极限.)()()(lim000 xxxdttxfxdttftx （16）（本题满分 11 分）如图，1C和2C分别是)1(21xey和xey 的图象，过点(0,1)的曲线3C是一单调增函数的图象.过2C上任一点 M(x,y)分别作垂直于 x 轴和 y 轴的直线xl和yl.记21,CC与xl所围图形的面积为)(1xS；32,CC与yl所围图形的面积为).(2yS如果总有)()(21ySxS，求曲线3C的方程).(yx （17）（本题满分 11 分）如图，曲线 C 的方程为 y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l与2l分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算 定 积 分 302.)()(dxxfxx （18）（本题满分 12 分）用变量代换)0(costtx化简微分方程0)1(2 yyxyx，并求其满足2,100 xxyy的特解.（19）（本题满分 12 分）已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=0,f(1)=1.证明：（I）存在),1,0(使得1)(f；（II）存在两个不同的点)1,0(,，使得.1)()(ff （20）（本题满分 10 分）已知函数 z=f(x,y)的全微分ydyxdxdz22，并且 f(1,1,)=2.求 f(x,y)在椭圆域14),(22yxyxD上的最大值和最小值.（21）（本题满分 9 分）计算二重积分dyxD122，其中10,10),(yxyxD.（22）（本题满分 9 分）确定常数 a,使向量组,),1,1(1Ta,)1,1(2TaTa)1,1,(3可由向量组,),1,1(1Ta,)4,2(2TaTaa),2(3线性表示，但向量组321,不能由向量组321,线性表示.（23）（本题满分 9 分）已知 3 阶矩阵 A 的第一行是cbacba,),(不全为零，矩阵kB63642321（k 为常数），且 AB=O,求线性方程组 Ax=0 的通解.2004 年考硕数学（二）真题 一.填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上.）（1）设2(1)()lim1nnxf xnx,则()f x的间断点为x .（2）设函数()y x由参数方程 333131xttytt 确定,则曲线()yy x向上凸的x取值范围为_.（3）121dxx x_.（4）设函数(,)zz x y由方程232xzzey确定,则3zzxy_.（5）微分方程3()20yxdxxdy满足165xy的特解为_.（6）设矩阵210120001A,矩阵B满足2ABABAE,其中A为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则B _-.二.选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.）（7）把0 x时的无穷小量20cosxt dt,20tanxtdt,30sinxt dt排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是()（A）,.（B）,.（C）,.（D）,.（8）设()(1)f xxx,则（A）0 x 是()f x的极值点,但(0,0)不是曲线()yf x的拐点.（B）0 x 不是()f x的极值点,但(0,0)是曲线()yf x的拐点.（C）0 x 是()f x的极值点,且(0,0)是曲线()yf x的拐点.（D）0 x 不是()f x的极值点,(0,0)也不是曲线()yf x的拐点.（9）22212lim ln(1)(1)(1)nnnnnn等于()（A）221ln xdx.（B）212ln xdx.（C）212ln(1)x dx.（D）221ln(1)x dx （10）设函数()f x连续,且(0)0f,则存在0,使得()（A）()f x在(0,)内单调增加.（B）()f x在(,0)内单调减小.（C）对任意的(0,)x有()(0)f xf.（D）对任意的(,0)x 有()(0)f xf.（11）微分方程21sinyyxx 的特解形式可设为()（A）2(sincos)yaxbxcx AxBx.（B）2(sincos)yx axbxcAxBx.（C）2sinyaxbxcAx.（D）2cosyaxbxcAx （12）设函数()f u连续,区域22(,)2Dx y xyy,则()Df xy dxdy等于()（A）221111()xxdxf xy dy.（B）222002()y ydyf xy dx.（C）2sin200(sincos)df rdr.（D）2sin200(sincos)df rrdr （13）设A是 3 阶方阵,将A的第 1 列与第 2 列交换得B,再把B的第 2 列加到第 3 列得C,则满足AQC的可逆矩阵Q为()（A）010100101.（B）010101001.（C）010100011.（D）011100001.（14）设A,B为满足OAB 的任意两个非零矩阵,则必有()（A）A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关.（B）A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关.（C）A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关.（D）A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关.三.解答题（本题共 9 小题，满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分 10 分）求极限3012coslim13xxxx.（16）（本题满分 10 分）设函数()f x在（,）上有定义,在区间0,2上,2()(4)f xx x,若对任意的x都满足()(2)f xk f x,其中k为常数.()写出()f x在)0,2上的表达式;()问k为何值时,()f x在0 x 处可导.（17）（本题满分 11 分）设2()sinxxf xt dt,()证明()f x是以为周期的周期函数;()求()f x的值域.（18）（本题满分 12 分）曲线2xxeey与直线0,(0)xxt t及0y 围成一曲边梯形.该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体,其体积为()V t,侧面积为()S t,在xt处的底面积为()F t.()求()()S tV t的值;()计算极限()lim()tS tF t.（19）（本题满分 12 分）设2eabe,证明2224lnln()babae.（20）（本题满分 11 分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700/km h.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.0 10k).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注 kg表示千克,/km h表示千米/小时.（21）（本题满分 10 分）设22(,)xyzf xye,其中f具有连续二阶偏导数,求2,zzzxyx y.（22）（本题满分 9 分）设有齐次线性方程组 1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a xxxxxa xxxxxa xxxxxa x 试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.（23）（本题满分 9 分）设矩阵12314315a的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.2003 年考研数学（二）真题 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上）（1）若0 x时，1)1(412 ax 与xxsin是等价无穷小，则 a=.（2）设函数 y=f(x)由方程4ln2yxxy所确定，则曲线 y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .（3）xy2的麦克劳林公式中nx项的系数是_.（4）设曲线的极坐标方程为)0(aea，则该曲线上相应于从 0 变到2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为_.（5）设为 3 维列向量，T是的转置.若111111111T，则T=.（6）设 3 阶方阵 A,B 满足EBABA2，其中 E 为 3 阶单位矩阵，若102020101A，则B _.二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设,nnncba均为非负数列，且0limnna,1limnnb,nnclim,则必有 (A)nnba 对任意 n 成立.(B)nncb 对任意 n 成立.(C)极限nnncalim不存在.(D)极限nnncblim不存在.（2）设dxxxannnnn123101,则极限nnnalim等于 (A)1)1(23 e.(B)1)1(231e.(C)1)1(231e.(D)1)1(23 e.（3）已知xxyln是微分方程)(yxxyy的解，则)(yx的表达式为 （A）.22xy (B).22xy(C).22yx (D).22yx （4）设函数)(xf在),(内连续，其导函数的图形如图所示，则)(xf有（A）一个极小值点和两个极大值点.（B）两个极小值点和一个极大值点.（C）两个极小值点和两个极大值点.（D）三个极小值点和一个极大值点.y O x（5）设401tandxxxI,dxxxI402tan,则 (A).121 II (B).121II (C).112 II (D).112II （6）设向量组：r,21可由向量组：s,21线性表示，则(A)当sr 时，向量组必线性相关.(B)当sr 时，向量组必线性相关.(C)当sr 时，向量组必线性相关.(D)当sr 时，向量组必线性相关.三、（本题满分 10 分）设函数,0,0,0,4sin1,6,arcsin)1ln()(23xxxxxaxxexxaxxfax 问a为何值时，)(xf在0 x处连续；a为何值时，0 x是)(xf的可去间断点？四、（本题满分 9 分）设函数)(xyy 由参数方程)1(,21ln2112tduueytxtu所确定，求.922xdxyd 五、（本题满分9 分）计算不定积分.)1(232arctandxxxex 六、（本题满分 12 分）设函数)(xyy 在),(内具有二阶导数，且)(,0yxxy是)(xyy 的反函数.(1)试将)(yxx 所满足的微分方程0)(sin(322dydxxydyxd变换为)(xyy 满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(yy的解.七、（本题满分 12 分）讨论曲线kxyln4与xxy4ln4 的交点个数.八、（本题满分 12 分）设位于第一象限的曲线)(xfy 过点)21,22(，其上任一点),(yxP处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分.(A)求曲线)(xfy 的方程；(B)已知曲线xysin在,0上的弧长为l，试用l表示曲线)(xfy 的弧长s.九、（本题满分 10 分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)(yyx绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为 2 m.根据设计要求，当以min/33m的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min/2m的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(1)根据t时刻液面的面积，写出t与)(y之间的关系式；(2)求曲线)(yx的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.)十、（本题满分 10 分）设函数)(xf在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且.0)(xf 若极限axaxfax)2(lim存在，证明：(1)在(a,b)内;0)(xf(2)在(a,b)内存在点，使)(2)(22fdxxfabba；(3)在(a,b)内存在与(2)中相异的点，使badxxfaabf.)(2)(22 十 一、（本题满分 10 分）若矩阵60028022aA相似于对角阵，试确定常数 a 的值；并求可逆矩阵P使.1APP 十二、（本题满分8 分）已知平面上三条不同直线的方程分别为 :1l 032cbyax，:2l 032acybx，:3l032baycx.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0cba 2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分)1设函数00)(2arcsin12tanxxaexfxexx在0 x处连续，则a（）2位于曲线xxey（x0）下方，x轴上方的无界图形的面积为（）3微分方程02 yyy满足初始条件2100,1xxyy的特解是（）412lim 1cos1cos1cosnnnnnn=（）5矩阵222222220的非零特征值是（）二、单项选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分)函数)(uf可导，)(2xfy 当自变量x在1x处取得增量1.0 x时，相应的函数增量y的线性主部为，则)1(f()（）；（）；（）；（）函数)(xf连续，则下列函数中，必为偶函数的是()(A)xdttf02)(；(B)xdttf02)(；(C)xdttftft0)()(；(D)xdttftft0)()(设)(xyy 是二阶常系数微分方程xeqyypy3 满足初始条件0)0()0(yy的 特解，则当0 x时，函数)()1ln(2xyx的极限()(A)不存在；（）等于；(C)等于；(D)等于 设函数),0()(在xfy内有界且可导，则()(A)当0)(limxfx时，必有0)(limxfx；（）当)(limxfx存在时，必有0)(limxfx；(C)当0)(lim0 xfx时，必有0)(lim0 xfx；(D)当)(lim0 xfx存在时，必有0)(lim0 xfx 5设向量组321,线性无关，向量1可由321,线性表示，而向量2不能由321,线性表示，则对于任意常数k必有()（）21321,k线性无关；(B)21321,k线性相关；（）21321,k线性无关；(D)21321,k线性相关 三、（本题满分 6 分）已知曲线的极坐标方程为cos1r，求该曲线对应于6处的切线与法线的直角坐标方程 四、（本题满分分）设.1001.)1(232)(22xxexexxxfxx，求函数xdttfxF1)()(的表达式 五、（本题满分分）已知函数)(xf在），（0内可导，0)(xf，1)(limxfx，且满足 xhexfhxxfh11)()(lim0，求)(xf 六、（本题满分分）求微分方程0)2(dxyxxdy的一个解)(xyy，使得由曲线)(xyy 与直线2,1xx以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体的体积最小 七、（本题满分 7 分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l为对称轴，闸门的上部为矩形，下部由二次抛物线与线段所围成当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与承受的水压与闸门下部承受的水压之比为：，闸门矩形部分的高h应为多少米？八、（本题满分分）设301 x，)3(1nnnxxx（n1,2，）证明：数列nx的极限存在，并求此极限 九、（本题满分分）设ba 0，证明不等式abababbaa1lnln222 十、（本题满分 8 分）设函数)(xf在x0 的某邻域具有二阶连续导数，且.0)0(0)0(0)0(fff，证明：存在惟一的一组实数，321，使得当0h时，)0()3()2()(321fhfhfhf是比2h高阶的无穷小.十一、（本题满分分）已知，为 3 阶矩阵，且满足EBBA421，其中E是 3 阶单位矩阵.证明：矩阵EA2可逆；若200021021B，求矩阵 十二、（本题满分分）已知 4 阶方阵),(4321A，4321,均为 4 维列向量，其中432,线性无关，3212若4321，求线性方程组Ax的通解 2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分)1、213lim21xxxxx=（）2、设函数)(xfy 由方程1)cos(2exyeyx所确定，则曲线)(xfy 在点（0，1）处的法线方程为：（）3、xdxxx223cos)sin(22=（）4、过点021，且满足关系式11arcsin2xyxy的曲线方程为：（）5、方程组211111111321xxxaaa有无穷多解，则a=（）二、单项选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分)1、设1101)(xxxf，则)(xfff=()（A）0；（B）1；（C）1101xx；（D）1110 xx 2、设当0 x时，)1ln()cos1(2xx是比nxxsin高阶的无穷小，而nxxsin是比 12xe高阶的无穷小，则正整数n等于（）（A）1；（B）2；（C）3；（D）4 3、曲线22)3()1(xxy的拐点的个数为()（A）；（B）；（C）；（D）4、已知函数)(xf在区间（1-，1+）内具有二阶可导，)(xf 严格单调减小，且)1(f=)1(f=1，则()（A）在（1-，1）和（1，1+）内均有)(xfx；（B）在（1-，1）和（1，1+）内均有)(xfx；（C）在（1-，1）内有)(xfx，在（1，1+）内，有)(xfx；（D）在（1-，1）内有)(xfx，在（1，1+）内，有)(xfx 5、已知函数)(xfy 在其定义域内可导，它的图形如图所示：则其导函数)(xfy的图形为()三、（本题满分 6 分）求1)12(22xxdx 四、（本题满分 7 分）求极限sinsinsinlim()sinxtxtxtx记此极限为)(xf，求函数)(xf的间断点并指出其类型 五、（本题满分 7 分）设)(x是抛物线xy 上任意一点 M（yx,）（1x）处的曲率半径，)(xss 是抛物线上介于点 A（1，1）与 M 之间的弧长，计算222)(3dsddsd的值（在直角坐标系下曲率公式为 K23)1(2yy）六、（本题满分 7 分）设函数)(xf在0，+）可导，)0(f=0，且其反函数为)(xg 若xxfexdttg2)(0)(，求)(xf 七、（本题满分 7 分）设函数)(xf，)(xg满足)(xf=)(xg，)(xg=2xe)(xf 且)0(f=0，(0)g=2，求dxxxfxxg02)1()(1)(.八、（本题满分 9 分）设L为一平面曲线，其上任意点P（yx,）（0 x）到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L过点（21，0）1、求L的方程 2、求L的位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围成的图形的面积最小 九、（本题满分 7 分）一个半球型的雪堆，其体积的融化的速率与半球面积S成正比 比例系数0K假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，已知半径为0r的雪堆在开始融化的 3 小时内，融化了其体积的87，问雪堆全部融化需要多少时间？十、（本题满分 8 分）设)(xf在区间)0(,aaa上具有二阶连续导数，且)0(f=0 1、写出)(xf的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；2、证明在,aa上至少存在一点，使 aadxxffa)(3)(3 十一、（本题满分 6 分）已知矩阵011101110,111011001BA且矩阵X满足 XEEBXAAXBBXAAXA阶单位矩阵，求是其中3,十二、（本题满分6 分）已知4321,是线性方程组0AX的一个基础解系，若 144433322211,tttt，讨论实数t满足什么关系时，4321,也是0AX的一个基础解系 2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)（1）30 x21lnarctanlimxxx_.-（2）设函数 xyy 由方程yxxy2所确定，则0 xdy_.（3）227xxdx_.（4）曲线xexy112 的斜渐进线方程为_.（5）设EA，7000650004300021为 4 阶单位矩阵，且 11,BEAEAEB则_.二、选择题 6.设函数，在bxeaxxf内连续，且0)(limxfx，则常数ba,满足（）（A）.0,0ba（B）.0,0ba （C）.0,0ba（D）.0,0ba 7.设函数 xf满足关系式 ,00,2 fxxfxf且则（）（A）的极大值是xff 0 （B）的极小值是xff 0 （C）.00的拐点）是曲线，点（xfyf （D）00.0fxff，点的极值不是也不是曲线 xfy 的拐点 8.设函数 xgxf，是大于零的可导函数，且 时，有则当bxaxgxfxgxf,0（）（A）.xgbfbgxf（B）.xgafagxf （C）.bgbfxgxf（D）.agafxgxf 9.若 为则20306lim,06sinlimxxfxxxfxxx（）（A）0.（B）6.（C）36.（D）10.具有特解xxxeyxeyey3,2,321的 3 阶常系数齐次线性微分方程是（）（A）.0 yyyy（B）.0 yyyy （C）.06116 yyyy（D）.022 yyyy 三、解答题 11.设.,1lnlndxxfxxxf计算 12.设xOy平面上有正方形10,10,yxyxD）（及直线tSttyxl若.0:表示正方形D位于直线l左下方部分的面积，试求.00 xxdttS 13.求函数 .3001ln2nfnxxxxfx阶导数处的在 14.设函数,cos0dttxSx（1）当n为正整数，且;1221nxSnnxn时，证明：（2）求.limxxSx 15.某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为6V，流入湖泊内不含A的水量为6V，流出湖泊的水量为3V.已知 1999 年年底湖中A的含量为05m，超过国家规定指标，为了治理污水，从 2000 年年初起，限定排入湖泊中含A污水的浓度不超过.0Vm问至多需经过多少年，湖泊中污染物A的含量将至0m以内？（注：设湖水中A的浓度是均匀的.）16.设函数 xf在，0上连续，且 00.0cos,0 xdxxfdxxf试证明：在.0内至少存在两个不同的点 .02121ff，使，17.已知 xf是周期为 5 的连续函数，它在0 x的某个邻域内满足关系式 xaxxfxf8sin13sin1其中 xa是当0 x时，比x高阶的无穷小，且 xf在1x处可导，求曲线 xfy 在点 6,6 f处的切线方程.18.设曲线，交于点与Axyxaaxy2210,0过坐标原点O和点A的直线与曲线2axy 围成一平面图形。问a为何值时，该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？19.函数 xf在，0上可导，10 f，且满足等式 0110dttfxxfxfx （1）求导数；xf （2）证明：当0 x时，成立不等式：.1xfex 20.设,800,0211,121TTBA其中T是的转置，求解方程xBxAxAB44222 21.已知向量组01,1211032,1ba，与向量组7691033213,2,1，具有相同的秩，且3可由321，线性表示，求ba,的值。1999 年全国硕士研