正弦定理和余弦定理详解.pdf

高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查 学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合 根底知识梳理 1 正弦定理：asin Absin Bcsin C2R，其中 R 是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形：(1)abcsin_Asin_Bsin_C；(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(3)sin Aa2R，sin Bb2R，sin Cc2R等形式，解决不同的三角形问题 2 余弦定理：a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C余弦定理可以变形：cos Ab2c2a22bc，cos Ba2c2b22ac，cos Ca2b2c22ab.3 SABC12absin C12bcsin A12acsin Babc4R12(abc)r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R、r.4 在ABC 中，a、b 和 A 时，解的情况如下：A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 absin A bsin Aab 解的个数 一解 两解 一解 一解 难点正本 疑点清源 1在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC 中，ABabsin Asin B；tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；在锐角三角形中，cosAsinB,cosAsinC 2 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换 例 1在ABC中，10c，45A，30C，解三角形.思路点拨:先将条件表示在示意图形上如图，可以确定先用正弦定理求出边a，然后用三角形内角和求出角B，最后用正弦定理求出边b.解析：sinsinacAC，sin10 sin4510 2sinsin30cAaC，180()105BAC，又sinsinbcBC，sin10 sin1056220sin75205 65 2sinsin304cBbC 总结升华：1.正弦定理可以用于解决两角和一边求另两边和一角的问题；2.数形结合将条件表示在示意图形上，可以清楚地看出与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.举一反三：【变式 1】在ABC中，032.0A，081.8B，42.9acm，解三角形。【答案】根据三角形内角和定理，0180()CA B000180(32.081.8)066.2；根据正弦定理，00sin42.9sin81.880.1()sinsin32.0aBbcmA；根据正弦定理，00sin42.9sin66.274.1().sinsin32.0aCccmA【变式 2】在ABC中，075B，060C，5c，求a、A.【答案】00000180()180(7560)45ABC，根据正弦定理5sin45sin60ooa，5 63a.【变式 3】在ABC中，sin:sin:sin1:2:3ABC，求:a b c 【答案】根据正弦定理sinsinsinabcABC，得:sin:sin:sin1:2:3a b cABC.例 2在3,60,1ABCbBc中，求：a和A，C 思路点拨:先将条件表示在示意图形上如图，可以确定先用正弦定理求出角C，然后用三角形内角和求出角A，最后用正弦定理求出边a.解析：由正弦定理得：sinsinbcBC，sin1 sin601sin23cBCb，方法一0180C，30C 或150C，当150C 时，210180BC，舍去；当30C 时，90A，222abc 方法二bc，60B，CB，60C 即C为锐角，30C，90A 222abc 总结升华：1.正弦定理也可用于解决两边及一边的对角，求其他边和角的问题。2.在利用正弦定理求角C时，因为0sinsin(180)CC，所以要依据题意准确确定角C的范围，再求出角C.3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍.类型二：余弦定理的应用：例 3ABC中，3AB、37BC、4AC，求ABC中的最大角。思路点拨:首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解.解析：三边中37BC 最大，BC其所对角A最大，根据余弦定理：22222234(37)1cos22 3 42ABACBCAAB AC ，0180A，120A 故ABC中的最大角是120A.总结升华：1.ABC中，假设知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.举一反三：【变式 1】ABC中3a,5b,7c,求角C.【答案】根据余弦定理：2222225371cos22 3 52abcCab ，0180C，120oC 【变式 2】在ABC中，角,A B C所对的三边长分别为,a b c，假设:a b c 6:2:31（），求ABC的各角的大小【答案】设6ak，2bk，31ck，0k 根据余弦定理得：263142cos22316B，0180B，45B；同理可得60A；18075CAB【变式 3】在ABC中，假设222abcbc，求角A.【答案】222bcabc，2221cos22bcaAbc 0180A，120A 类型三：正、余弦定理的综合应用 例 4在ABC中，2 3a，62c，045B，求b及A.思路点拨:画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边b，然后继续用余弦定理或正弦定理求角A.解析：由余弦定理得：2222cosbacacB=220(2 3)(62)2 2 3(62)cos45 =212(62)4 3(3 1)=8 2 2.b 求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：法一：余弦定理 222222(2 2)(62)(2 3)1cos222 2 2(62)bcaAbc，060.A 法二：正弦定理 02 33sinsinsin4522 2aABb 又62 2.4 1.4 3.8，2 3 2 1.8 3.6 ac，即00A090,060.A 总结升华：画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好.举一反三：【变式 1】在ABC中，3b,4c,0135A.求B和C.【答案】由余弦定理得：21225135cos43243222oa，48.621225a 由正弦定理得：sin3sin135sin0.327obABaa，因为0135A 为钝角，那么B为锐角，0/19 7B.00/180()25 53CAB.【变式 2】在ABC中，角,A B C所对的三边长分别为,a b c，假设2a，2 2b，62c，求角A和sinC【答案】根据余弦定理可得：222884 343cos222 2 262bcaAbc 0180A，30A ；由正弦定理得：62 sin3062sinsin24cACa.其他应用题详解 一、选择题(本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分)1如以下图，两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km，灯塔 A在观察站 C 的北偏东 20，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40，那么灯塔 A 与灯塔B 的距离为()Aa km B.3a km C.2a km D2a km 解析 利用余弦定理解ABC.易知ACB120，在ACB 中，由余弦定理得 AB2AC2BC22ACBCcos1202a22a2123a2，AB 3a.答案 B 2张晓华同学骑电动自行车以 24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点 A 处望见电视塔 S 在电动车的北偏东 30方向上，15 min 后到点 B 处望见电视塔在电动车的北偏东 75方向上，那么电动车在点 B 时与电视塔 S 的距离是()A2 2 km B3 2 km C3 3 km D2 3 km 解析 如图，由条件知 AB2415606，在ABS 中，BAS30，AB6，ABS18075105，所以ASB45.由正弦定理知BSsin30ABsin45，所以BSABsin45sin303 2.答案 B 3轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时离开海港 C，两艘轮船航行方向的夹角为120，轮船 A 的航行速度是 25 海里/小时，轮船 B 的航行速度是 15 海里/小时，下午 2 时两船之间的距离是()A35 海里 B35 2海里 C35 3海里 D70 海里 解析 设轮船 A、B 航行到下午 2 时时所在的位置分别是 E，F，那么依题意有 CE25250，CF15230，且ECF120，EF CE2CF22CECFcos120 50230225030cos12070.答案 D 4(2021济南调研)为测量某塔 AB 的高度，在一幢与塔 AB 相距 20 m 的楼的楼顶处测得塔顶 A 的仰角为 30，测得塔基 B 的俯角为 45，那么塔 AB 的高度是()A20133 m B20132 m C20(1 3)m D30 m 解析 如以下图，由可知，四边形 CBMD 为正方形，CB20 m，所以 BM20 m又在 RtAMD 中，DM20 m，ADM30，AMDMtan302033(m)ABAMMB203320 20133(m)答案 A 5(2021天津卷)在ABC 中，ABC4，AB 2，BC3，那么 sinBAC()A.1010 B.105 C.3 1010 D.55 解析 由余弦定理 AC2AB2BC22ABBCcosABC(2)2322 23225，所以 AC 5，再由正弦定理：sinBACsinABCACBC32253 1010.答案 C 6(2021滁州调研)线段 AB 外有一点 C，ABC60，AB200 km，汽车以 80 km/h 的速度由 A 向 B 行驶，同时摩托车以 50 km/h 的速度由 B 向 C 行驶，那么运动开始多少 h 后，两车的距离最小()A.6943 B1 C.7043 D2 解析 如以下图，设 t h 后，汽车由A 行驶到 D，摩托车由B 行驶到 E，那么 AD80t，BE50t.因为 AB200，所以 BD20080t，问题就是求 DE 最小时 t 的值 由余弦定理，得 DE2BD2BE22BDBEcos60(20080t)22 500t2(20080t)50t 12 900t242 000t40 000.当 t7043时，DE 最小 答案 C 二、填空题(本大题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分)7A，B 两地的距离为 10 km，B，C 两地的距离为 20 km，现测得ABC120，那么 A、C 两地的距离为_km.解析 如右图所示，由余弦定理可得：AC210040021020cos120700，AC10 7(km)答案 10 7 8如以下图，一艘船上午 9：30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午 10：00 到达 B 处，此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75处，且与它相距 8 2n mile.此船的航速是_n mile/h.解析 设航速为 v n mile/h 在ABS 中，AB12v，BS8 2，BSA45，由正弦定理得：8 2sin3012vsin45，v32(n mile/h)答案 32 9如图，为测得河对岸塔 AB 的高，先在河岸上选一点 C，使 C 在塔底 B的正东方向上，测得点 A 的仰角为 60，再由点 C 沿北偏东 15方向走 10 米到位置 D，测得BDC45，那么塔 AB 的高是_米 解析 在BCD 中，CD10，BDC45，BCD1590105，DBC30，BCsin45CDsin30，BCCDsin45sin3010 2(米)在 RtABC 中，tan60ABBC，ABBCtan60 10 6(米)答案 10 6 三、解答题(本大题共 3 小题，每题 10 分，共 30 分)10(2021台州模拟)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处于坡度15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60和 30，第一排和最后一排的距离为 10 6米(如以下图)，旗杆底部与第一排在一个水平面上假设国歌长度约为 50 秒，升旗手应以多大的速度匀速升旗？解 在BCD 中，BDC45，CBD30，CD10 6，由正弦定理，得 BCCDsin45sin3020 3.在 RtABC 中，ABBCsin6020 33230(米)，所以升旗速度 vABt30500.6(米/秒)11.如图，A、B 是海面上位于东西方向相距 5(3 3)海里的两个观测点，现位于 A 点北偏东 45，B 点北偏西 60的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30 海里/时，该救援船到达 D 点需要多长时间？解 由题意，知 AB5(3 3)海里，DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105.在DAB 中，由正弦定理，得 DBsinDABABsinADB，于是 DBABsinDABsinADB53 3sin45sin105 53 3sin45sin45cos60cos45sin60 5 3 3131210 3(海里)又DBCDBAABC30(9060)60，BC20 3(海里)，在DBC 中，由余弦定理，得 CD2BD2BC22BDBCcosDBC 3001 200210 320 312900.得 CD30(海里)，故需要的时间 t30301(小时)，即救援船到达 D 点需要 1 小时 12.(2021江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径一种是从 A 沿直线步行到 C，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后，乙从 A 乘缆车到 B，在 B 处停留 1 min 后，再从 B 匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为 130 m/min，山路 AC 长为 1 260 m，经测量，cosA1213，cosC35.(1)求索道 AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解(1)在ABC 中，因为 cosA1213，cosC35，所以 sinA513，sinC45.从而 sinBsin(AC)sin(AC)sinAcosCcosAsinC513351213456365.由正弦定理ABsinCACsinB，得 ABACsinBsinC 1 2606365451 040(m)所以索道 AB 的长为 1 040 m.(2)假设乙出发 t 分钟后，甲、乙两游客距离为 d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离 A 处 130t m，所以由余弦定理得 d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)1213200(37t270t50)，因 0t1 040130，即 0t8，故当 t3537(min)时，甲、乙两游客距离最短(3)由正弦定理BCsinAACsinB，得 BCACsinBsinA1 2606365513500(m)乙从 B出发时，甲已走了 50(281)550(m)，还需走 710 m 才能到达 C.设乙步行的速度为 v m/min，由题意得3500v710503，解得1 25043v62514，所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在 1 25043，62514(单位：m/min)范围内