高中数学：专题-二次函数与幂函数导学案.pdf
专题 二次函数与幂函数 1幂函数(1)幂函数的定义 形如 yx(R)的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，为常数(2)五种幂函数的图象 (3)五种幂函数的性质 yx yx2 yx3 y yx1 定义域 R R R 0，)(，0)(0，)值域 R 0，)R 0，)(，0)(0，)奇偶性 奇 偶 奇 非奇 非偶 奇 单调性 增 x0，)时，增 x(，0 时，减 增 增 x(0，)时，减 x(，0)时，减 2.二次函数(1)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)图象 定义域 R 值域 4acb24a，4acb24a 单调性 在，b2a上单调递减，在b2a，上单调递增 在，b2a上单调递增，在b2a，上单调递减 奇偶性 b0 时为偶函数，b0 时为非奇非偶函数 图象特点 对称轴：xb2a；顶点：b2a，4acb24a(2)二次函数表达式的三种形式 一般式：yax2bxc(a0)顶点式：ya(xh)2k(其中 a0，顶点坐标为(h，k)两根式：ya(xx1)(xx2)(其中 a0，x1、x2是二次函数的图象与 x 轴的两个交点的横坐标)3判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)当 0 时，幂函数 yx是定义域上的减函数()(2)二次函数 yax2bxc，xa，b的最值一定是4acb24a.()(3)二次函数 yax2bxc，xR，不可能是偶函数()(4)当 n0 时，幂函数 yxn是定义域上的增函数()(5)若函数 f(x)(k21)x22x3 在(，2)上单调递增，则 k22.()考点一 二次函数解析式 命题点 1.一般式：yax2bxc(a0)2.顶点式：ya(xm)2n(a0)3.零点式：ya(xx1)(xx2)(a0)例 1(1)已知二次函数 f(x)有两个零点 0 和2，且它有最小值1，则 f(x)_.方法引航 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：1若函数 f(x)(xa)(bx2a)(常数 a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式 f(x)_.考点二 二次函数图象和性质 命题点 1.二次函数的最值 2.二次函数的单调性 3.二次方程及函数、不等式恒成立问题 例 2 已知函数 f(x)x22ax3，x4,6(1)当 a2 时，求 f(x)的最值；(2)求实数 a 的取值范围，使 yf(x)在区间4,6上是单调函数；方法引航 1二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；2二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解；3对于二次函数的综合应用，要综合应用二次函数与二次方程和二次不等式之间的关系进行转化.1若本例已知条件不变，求f(x)的最小值 2若本例已知条件不变，f(x)0 在4,6上有两个不相等实根，求 a 的取值范围 3若本例中 f(x)0 在 x(0,6上恒成立，求 a 的取值范围 综合运用：已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x23x，则函数g(x)f(x)x3 的零点的集合为()注重巧解 A1,3 B3，1,1,3 C2 7，1,3 D2 7，1,3 考点三 幂函数图象与性质 命题点 1.幂函数图象 2.幂函数性质 例 3(1)幂函数 yf(x)的图象过点(4,2)，则幂函数 yf(x)的图象是()(2)已知函数 f(x)(m2m1)xm2m3 是幂函数，且 x(0，)时，f(x)是增函数，则 m 的值为()A1 B2 C1 或 2 D3 (3)已知 f(x)，若 0ab1，则下列各式正确的是()Af(a)f(b)f1af1b Bf1af1bf(b)f(a)Cf(a)f(b)f1bf1a Df1af(a)f1bf(b)方法引航 1若幂函数 yxR是偶函数，则 必为偶数.当 是分数时，一般将其先化为根式，再判断.2若幂函数 yx在0，上单调递增，则 0，若在0，上单调递减，则 0.,3在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.1若四个幂函数 yxa，yxb，yxc，yxd在同一坐标系中的图象如图所示，则 a，b，c，d 的大小关系是()Adcba Babcd Cdcab Dabdc 2若，则实数 a 的取值范围是_（陷阱）规范答题“三个二次”间的转化 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式统称为“三个二次”，它们常有机结合在一起，而二次函数是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象将其贯穿为一体因此，有关二次函数的问题，常利用数形结合法、分类讨论法转化为方程与不等式来解决 典例(本题满分 12 分)已知 f(x)ax22x(0 x1)(1)求 f(x)的最小值；(2)若 f(x)1 恒成立，求 a 的范围；(3)若 f(x)0 的两根都在0,1内，求 a 的范围 规范建议(1)分清本题讨论的层次 第一层：函数类型 a0 和 a0.第二层：开口方向 a0 和 a0.第三层：对称轴 x1a与区间0,1的位置关系，左、内、右(2)讨论后要有总结答案 高考真题体验 1已知则()Abac Babc Cbca Dcab 2设 a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则 a，b，c 的大小关系是()Aabc Bacb Cbac Dbca 3下列函数中，既是偶函数又在区间(0，)上单调递减的是()Ay1x Byex Cyx21 Dylg|x|4 设函数则使得f(x)2成立的x的取值范围是_ 5已知 a0，b0，ab8，则当 a 的值为_ 时，log2alog2(2b)取得最大值 课时规范训练 A 组 基础演练 1若函数 f(x)是幂函数，且满足 f(4)3f(2)，则 f12的值为()A.13 B.12 C.23 D.43 2一次函数 yaxb 与二次函数 yax2bxc 在同一坐标系中的图象大致是()3如果函数 f(x)x2bxc 对任意的实数 x，都有 f(1x)f(x)，那么()Af(2)f(0)f(2)Bf(0)f(2)f(2)Cf(2)f(0)f(2)Df(0)f(2)f(2)4若 f(x)x2ax1 有负值，则实数a 的取值范围是()Aa2 B2a2 Ca2 或 a2 D1a3 5 若方程x211x30a0的两根均大于 5，则实数 a的取值范围是_ 6 若二次函数 f(x)ax24xc 的值域为0，)，则 a，c 满足的条件是_ 7已知 f(x)4x2mx5 在2，)上是增函数，则实数 m 的取值范围是_ 8已知函数f(x)x22ax1a 在 x0,1时有最大值 2，求 a 的值 9已知函数 f(x)ax2bx1(a，b 为实数，a0，xR)(1)若函数 f(x)的图象过点(2,1)，且方程 f(x)0 有且只有一个根，求 f(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当 x1,2时，g(x)f(x)kx 是单调函数，求实数 k 的取值范围 B 组 能力突破 1若幂函数 y(m23m3)xm2m2的图象不过原点，则 m 的取值是()A1m2 Bm1 或 m2 Cm2 Dm1 2如图是二次函数 yax2bxc 图象的一部分，图象过点 A(3,0)，对称轴为x1.给出下面四个结论：b24ac；2ab1；abc0；5ab.其中正确的是()A B C D 3 已知幂函数 f(x)，若 f(a1)f(102a)，则 a 的取值范围是_ 4已知函数 f(x)ax2bxc(a0，bR，cR)(1)若函数 f(x)的最小值是 f(1)0，且 c1，F(x)fx，x0，fx，x0，求 F(2)F(2)的值；(2)若 a1，c0，且|f(x)|1 在区间(0,1上恒成立，试求 b 的取值范围
