高中数学：平面向量的数量积导学案.pdf

第 13 讲 平面向量的数量积 玩前必备 1向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b，作OAa，OBb，则AOB 就是向量 a 与 b 的夹角，向量夹角的范围是0，2平面向量的数量积 定义 设两个非零向量 a，b 的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做 a 与b 的数量积，记作 ab 投影|a|cos 叫做向量 a 在 b 方向上的投影，|b|cos 叫做向量 b 在a 方向上的投影 几何意义 数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积 3平面向量数量积的有关结论 已知非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，a 与 b 的夹角为.结论 几何表示 坐标表示 模|a|aa|a|x21y21 夹角 cos ab|a|b|cos x1x2y1y2x21y21 x22y22 ab 的充要条件 ab0 x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|x21y21x22y22 玩转典例 题型一 平面向量数量积的计算 例 1 设 D，E 为正三角形 ABC 中 BC 边上的两个三等分点，且 BC2，则ADAE等于()A.49 B.89 C.269 D.263 例 2 向量 a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)a 等于()A1 B0 C1 D2 玩转跟踪 1.设向量 a(1,2)，b(m,1)，如果向量 a2b 与 2ab 平行，那么 a 与 b 的数量积等于()A72 B12 C.32 D.52 2.(新课标全国，14)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则AEBD_.题型二 利用数量积求射影 例 3(湖北，7)已知点 A(1，1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3，4)，则向量AB在CD方向上的投影为()A.3 22 B.3 152 C.3 22 D.3 152 玩转跟踪 1已知向量 a，b 满足 a(ba)2，且 a(1,2)，则向量 b 在 a 方向上的投影为()A.55 B55 C2 55 D3 55 题型三 利用数量积求模长 例 4(新课标全国，3)设向量 a，b 满足|ab|10，|ab|6，则 ab()A1 B2 C3 D5 玩转跟踪 1(大纲全国，4)若向量 a、b 满足：|a|1，(ab)a，(2ab)b，则|b|()A2 B.2 C1 D.22 2.(新课标全国，13)已知向量 a，b 夹角为 45，且|a|1，|2ab|10，则|b|_.题型四 利用数量积求夹角 例 5(山东，7)已知向量 a(1，3)，b(3，m)，若向量 a，b 的夹角为6，则实数 m()A.2 3 B.3 C.0 D.3 玩转跟踪 1(重庆，7)已知非零向量 a，b 满足|b|4|a|，且 a(2ab)，则 a 与 b 的夹角为()A.3 B.2 C.23 D.56 题型五 利用数量积求解垂直问题 例 6 已知向量 AB 与 AC 的夹角为 120，且|AB|3，|AC|2.若 AP AB AC，且 AP BC，则实数 的值为_ 玩转跟踪 1.(晋冀豫三省一调)已知向量 a(x，1)，b(1，y)，c(2，4)，且 ac，bc，则|ab|()A.5 B.10 C.2 5 D.10 题型六 利用数量积求解取值范围 例 7(湖南，10)在平面直角坐标系中，O 为原点，A(1，0)，B(0，3)，C(3，0)，动点 D 满足|CD|1，则|OAOBOD|的取值范围是()A.4，6 B.191，191 C.2 3，2 7 D.71，71 例 8 已知ABC是边长为 2 的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()PAPBPC的最小值是 A2 B32 C43 D1 玩转跟踪 1.(湖南，9)已知点 A，B，C 在圆 x2y21 上运动，且 ABBC，若点 P 的坐标为(2，0)，则|PAPBPC|的最大值为()A.6 B.7 C.8 D.9 2.(聊城模拟)在ABC 中，BC 边上的中线 AD 的长为 2，点 P 是ABC 所在平面上的任意一点，则PAPBPAPC的最小值为()A1 B2 C2 D1 玩转练习 1已知|a|1，|b|2，a 与 b 的夹角为3，那么|4ab|等于()A2 B6 C2 3 D12 2(2020广东一模)a，b 为平面向量，已知 a(2,4)，a2b(0,8)，则 a，b 夹角的余弦值等于()A45 B35 C.35 D.45 3已知向量 a(1,2)，b(2，3)若向量 c 满足(ac)b，c(ab)，则 c()A.79，73 B73，79 C.73，79 D.79，73 4(贵州省适应性考试)如图，在直角梯形 ABCD 中，AB4，CD2，ABCD，ABAD，E 是 BC 的中点，则 AB(AC AE)()A8 B12 C16 D20 5(多选)(山东高考预测卷)已知平面向量 a(3,4)，b(7,1)，则下列结论正确的是()Aab(10,5)B|b|10|a|Ca(ab)Da 与 b 的夹角为 45 6(多选)已知ABC 的外接圆圆心为 O，半径为 2，OA AB AC 0，且|OA|AB|，下列结论正确的是()A.CA 在 CB 方向上的投影长为 3 B.OA AB OA AC C.CA 在 CB 方向上的投影长为 3 D.OB AB OC AC 7(福州市质量检测)已知两个单位向量 a，b 满足|ab|3|b|，则 a 与 b 的夹角为_ 8(郑州市第一次质量预测)已知 e1，e2为单位向量且夹角为23，设 a3e12e2，b3e2，则 a 在 b 方向上的投影为_ 9(一题两空)(山东师大附中二模改编)已知向量 a，b，其中|a|3，|b|2，且(ab)a，则向量 a 和 b的夹角是_，a(ab)_.10.如图所示，在等腰直角三角形 AOB 中，OAOB1，AB 4 AC，则OC(OB OA)_.11已知|a|4，|b|8，a 与 b 的夹角是 120.(1)计算：|ab|，|4a2b|；(2)当 k 为何值时，(a2b)(kab)12在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(1，2)，B(2,3)，C(2，1)(1)求以线段 AB，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数 t 满足(AB tOC)OC0，求 t 的值 13在平面直角坐标系 xOy 中，若定点 A(1,2)与动点 P(x，y)满足向量OP在向量OA上的投影为 5，则点 P 的轨迹方程是()Ax2y50 Bx2y50 Cx2y50 Dx2y50 14已知|a|2|b|0，且关于 x 的函数 f(x)13x312|a|x2abx 在 R 上有极值，则向量 a 与 b 的夹角 的范围是_ 15已知向量 m(sin x，1)，n3cos x，12，函数 f(x)m2mn2.(1)求 f(x)的最大值，并求 f(x)取最大值时 x 的取值集合；(2)已知 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，角 B 为锐角，且 f(B)1，b 3，若满足条件的ABC仅有一解，求 a 的取值范围