人教B版高中数学高二选修1-1课时作业椭圆的几何性质(2).pdf

高中数学-打印版 校对打印版 选修 1-1 第二章 2.1 课时作业 13 一、选择题 1.已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆 C：x2y22x150的半径，则椭圆的标准方程是()A x24y231 Bx216y2121 C x24y21 D x216y241 解析：由 x2y22x150，知 r42aa2.又 eca12，c1.故 b2a2c2413.故选 A.答案：A 2.已知椭圆x216y2m21(m0)，若直线 y22x 与椭圆的一个交点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点 F，则 m 等于()A 2 2 B 2 C 2 D 22 解析：由题意设半焦距为 c，易知点 M(c，22c)，点 M 又在椭圆上，c216c22m21.又 c216m2，由联立解得 m28，m2 2.答案：A 3.把离心率等于黄金比512的椭圆称为优美椭圆，设椭圆x2a2y2b21(ab0)为优美椭圆，已知 F，A 分别是它的左焦点和右顶点，B 是短轴的一个端点，则ABF 等于()A 30 B 45 C 60 D 90 解析：设椭圆的半焦距为 c，e512是方程 x2x10 的一个根，e2e10，即(ca)2ca10，c2aca20.不妨设 B 为上顶点，则 F(c,0)，A(a，0)，B(0，b)，FBABb2aca2c2ac0，FBAB，即ABF90.高中数学-打印版 校对打印版 答案：D 4.若点 O 和点 F 分别为椭圆x24y231 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则OPFP的最大值为()A 2 B 3 C 6 D 8 解析：由椭圆x24y231 可得点 F(1,0)，点 O(0,0)，设 P(x，y)，2x2，则OPFPx2xy2x2x3(1x24)14x2x314(x2)22，当且仅当 x2 时，OPFP取得最大值 6.答案：C 二、填空题 5.已知点 A，B 是椭圆x2m2y2n21(m0，n0)上的两点，且AOBO，则 _.解析：由AOBO知点 A，O，B 共线，因椭圆关于原点对称，1.答案：1 6.焦点在 x 轴上，长轴长为 20，短轴长为 16 的椭圆的内接矩形中面积最大的矩形周长为_ 解析：由题意 a10，b8，设内接矩形 ABCD 位于第一象限的顶点为 A(x0，y0)，则有x20100y20641，且 S矩形 ABCD4x0y0.由于 x20y20 x20(1x20100)641625x20(100 x20)1625x20100 x20221600，当且仅当 x20100 x20，即 x2050 时“”成立此时 y2032，即当 x05 2，y04 2时，椭圆的内接矩形面积最大，这时内接矩形周长为：4(x0y0)36 2.答案：36 2 7.横跨北京动物园上空的“隔音隧道”为半椭圆形隔音钢架结构，隧道内为双向四车道，车道总宽 20 米，限制通行车辆的高度不超过 4 米，隧道正中是一面 7 米高的隔板，两侧各有两个车道，根据以上信息，请你计算出隧道设计的拱宽(椭圆长轴)至少_米(335.7，结果精确到分米)高中数学-打印版 校对打印版 解析：由题意，椭圆短半轴长 b7，设椭圆方程为x2a2y2491(a7)，易知点(10,4)在椭圆上，100a216491，则 a2490033，a7033，2a1403324.6.答案：24.6 三、解答题 8.如图，已知 A(4,0)，B(2,2)是椭圆x225y291 内的两个点，M 是椭圆上的动点，求|MA|MB|的最大值和最小值 解：由x225y291 得 a5，b3，c4，点 A(4,0)为椭圆的一个焦点，另一个焦点 F(4,0)，|MA|MF|2a10，|MA|MB|10|MF|MB|，在BMF 中，两边之差的绝对值小于第三边，且|BF|2 10，2 10|FB|MB|MF|FB|2 10，102 10|MA|MB|102 10，最小值为 102 10，最大值为 102 10.9.已知 F1,F2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，F1PF260.(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证：F1PF2的面积只与椭圆短轴长有关 解：(1)不妨设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，由余弦定理得 cos60|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|PF1|PF2|22|PF1|PF2|F1F2|22|PF1|PF2|，|PF1|PF2|4a22|PF1|PF2|4c2，3|PF1|PF2|4b2，|PF1|PF2|43b2，又|PF1|PF2|(|PF1|PF2|2)2a2，高中数学-打印版 校对打印版 3a24(a2c2)，ca12，e12.又椭圆中 0e1，12e1.(2)证明：由(1)知|PF1|PF2|43b2，SF1PF212|PF1|PF2|sin60 1243b23233b2，F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关