高一数学：对数函数(导学案含答案).pdf

第十节 对数函数 一、基础知识 1对数函数的概念 函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，).ylogax 的 3 个特征(1)底数 a0，且 a1；(2)自变量 x0；(3)函数值域为 R.2对数函数 ylogax(a0，且 a1)的图象与性质 底数 a1 0a1 时，恒有 y0；当 0 x1 时，恒有 y1 时，恒有 y0；当 0 x0 在(0，)上是增函数 在(0，)上是减函数 注意 当对数函数的底数 a 的大小不确定时，需分 a1 和 0a,0，且 a1)与对数函数 ylogax(a0，且 a1)互为反函数，它们的图象关于直线 yx 对称 二、常用结论 对数函数图象的特点(1)对数函数的图象恒过点(1,0)，(a,1)，1a，1，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象(2)函数 ylogax 与 ylog1ax(a0，且 a1)的图象关于 x 轴对称(3)当 a1 时，对数函数的图象呈上升趋势；当 0a1 时，对数函数的图象呈下降趋势 考点一 对数函数的图象及应用 典例 (1)函数 ylg|x1|的图象是()(2)已知当 0 x14时，有 x1，lg1x，x1.当 x1 时，函数无意义，故排除 B、D.又当 x2 或 0 时，y0，所以 A 项符合题意(2)若 xlogax 在 x0，14时成立，则 0a1，且 y x的图象在 ylogax 图象的下方，作出图象如图所示 由图象知 14loga14，所以 0a14，解得116a1.即实数 a 的取值范围是116，1.答案 (1)A(2)116，1 变透练清 1.变条件若本例(1)函数变为 f(x)2log4(1x)，则函数 f(x)的大致图象是()解析：选 C 函数 f(x)2log4(1x)的定义域为(，1)，排除 A、B；函数 f(x)2log4(1x)在定义域上单调递减，排除 D.故选 C.2已知函数 f(x)log2x，x0，3x，x0，关于 x 的方程 f(x)xa0 有且只有一个实根，则实数 a 的取值范围是_ 解析：问题等价于函数 yf(x)与 yxa 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知 a1.答案：(1，)3.变条件若本例(2)变为不等式 x20，且 a1)对 x0，12恒成立，求实数 a的取值范围 解：设 f1(x)x2，f2(x)logax，要使 x0，12时，不等式 x21 时，显然不成立；当 0a1 时，如图所示，要使 x2logax 在 x0，12上恒成立，需 f112f212，所以有122loga12，解得 a116，所以116alog2ea，所以 ca.因为 bln 21log2e1log2ea，所以 ab.所以 cab.答案 D 考法(二)解简单对数不等式 典例 已知不等式 logx(2x21)logx(3x)0 成立，则实数 x 的取值范围是_ 解析 原不等式 0 x3x1或 x1，2x213x1，解不等式组得13x0，得1xbc Bacb Ccab Dcba 解析：选 C 0a213201，blog2131，cab.2若定义在区间(1,0)内的函数 f(x)log2a(x1)满足 f(x)0，则实数 a 的取值范围是()A.0，12 B.0，12 C.12，D(0，)解析：选 A 1x0，0 x10，02a1，0a0，若函数 f(x)log3(ax2x)在上是增函数，则 a 的取值范围是_ 解析：要使 f(x)log3(ax2x)在上单调递增，则 yax2x 在上单调递增，且 yax2x0 恒成立，即 12a3，9a30，解得 a13.答案：13，课时跟踪检测 A 级 1函数 y log32x11的定义域是()A B1,2)C.23，D.23，解析：选 C 由 log32x110，2x10，即 log32x1log313，x12，解得 x23.2若函数 yf(x)是函数 yax(a0，且 a1)的反函数，且 f(2)1，则 f(x)()Alog2x B.12x Clog12x D2x2 解析：选 A 由题意知 f(x)logax(a0，且 a1)f(2)1，loga21.a2.f(x)log2x.3如果 log12xlog12y0，那么()Ayx1 Bxy1 C1xy D1yx 解析：选 D log12xlog12yy1.4函数 f(x)|loga(x1)|(a0，且 a1)的大致图象是()解析：选 C 函数 f(x)|loga(x1)|的定义域为x|x1，且对任意的 x，均有 f(x)0，结合对数函数的图象可知选 C.5若 a20.5，blog3，clog2sin25，则 a，b，c 的大小关系为()Abca Bbac Ccab Dabc 解析：选 D 依题意，得 a1,0blog3log1，而由 0sin251，得 cbc.6设函数 f(x)loga|x|(a0，且 a1)在(，0)上单调递增，则 f(a1)与 f(2)的大小关系是()Af(a1)f(2)Bf(a1)f(2)Cf(a1)f(2)D不能确定 解析：选 A 由已知得 0a1，所以 1a1f(2)7已知 a0，且 a1，函数 yloga(2x3)2的图象恒过点 P.若点 P 也在幂函数 f(x)的图象上，则 f(x)_.解析：设幂函数为 f(x)x，因为函数 yloga(2x3)2的图象恒过点 P(2，2)，则2 2，所以 12，故幂函数为 f(x)x12.答案：x12 8已知函数 f(x)loga(xb)(a0，且 a1)的图象过两点(1,0)和(0,1)，则 logba_.解析：f(x)的图象过两点(1,0)和(0,1)则 f(1)loga(1b)0，且 f(0)loga(0b)1，所以 b11，ba，即 b2，a2.所以 logba1.答案：1 9函数 f(x)loga(x24x5)(a1)的单调递增区间是_ 解析：由函数 f(x)loga(x24x5)，得 x24x50，得 x5.令 m(x)x24x5，则 m(x)(x2)29，m(x)在2，)上单调递增，又由 a1 及复合函数的单调性可知函数 f(x)的单调递增区间为(5，)答案：(5，)10设函数 f(x)log2x，x0，log12x，x0，若 f(a)f(a)，则实数 a 的取值范围是_ 解析：由 f(a)f(a)得 a0，log2alog12a或 a0，log12alog2a，即 a0，log2alog2a或 a0，log2alog2a.解得 a1 或1a0.答案：(1,0)(1，)11求函数 f(x)log2xlog2(2x)的最小值 解：显然 x0，f(x)log2xlog2(2x)12log2xlog2(4x2)12log2x(log242log2x)log2x(log2x)2log2x1221414，当且仅当 x22时，有 f(x)min14.12设 f(x)loga(1x)loga(3x)(a0，且 a1)，且 f(1)2.(1)求 a 的值及 f(x)的定义域；(2)求 f(x)在区间0，32上的最大值 解：(1)f(1)2，loga42(a0，且 a1)，a2.由 1x0，3x0，得1x3，函数 f(x)的定义域为(1,3)(2)f(x)log2(1x)log2(3x)log2log2 ，当 x(1,1时，f(x)是增函数；当 x(1,3)时，f(x)是减函数，故函数 f(x)在0，32上的最大值是 f(1)log242.B 级 1已知函数 f(x)logax(a0，且 a1)满足 f2af3a，则 f11x0 的解集为()A(0,1)B(，1)C(1，)D(0，)解析：选 C 因为函数 f(x)logax(a0，且 a1)在(0，)上为单调函数，而2af3a，所以 f(x)logax 在(0，)上单调递减，即 0a0，得 011x1，故选 C.2若函数 f(x)logax232x(a0，且 a1)在区间12，内恒有 f(x)0，则 f(x)的单调递增区间为_ 解析：令 Mx232x，当 x12，时，M(1，)，f(x)0，所以 a1，所以函数 ylogaM 为增函数，又 Mx342916，因此 M 的单调递增区间为34，.又 x232x0，所以 x0 或 x0 时，f(x)log12x.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)解不等式 f(x21)2.解：(1)当 x0，则 f(x)log12(x)因为函数 f(x)是偶函数，所以 f(x)f(x)log12(x)，所以函数 f(x)的解析式为 f(x)log12x，x0，0，x0，log12x，x2 转化为 f(|x21|)f(4)又因为函数 f(x)在(0，)上是减函数，所以|x21|4，解得 5x 5，即不等式的解集为(5，5)