「201309131600----数一考试大纲」.pdf

2014 年研究生入学考试复习大纲 数一 考试科目：数学 考试内容:高等数学、线性代数、概率论与数理统计 高等数学部分 试卷结构 （一）题分及考试时间 试卷满分为 150 分,考试时间为 180 分钟。(二）内容比例 高等教学 约 6%线性代数 约 概率论与数理统计 20 （三）题型比例 填空题与选择题 约 40 解答题(包括证明题)约 60%一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法 函数的有界性(有界和收敛的关系 存在正数 M 使 f(x)M 恒成立则有界,不存在 M 则无界,注意与无穷大的区别-如振荡型函数）、单调性、周期性(注意周期函数的定积分性质)和奇偶性（奇偶性的前提是定义域关于原点对称)复合函数(两个函数的定义域值域之间关系)、反函数(函数必须严格单调,则存在单调性相同的反函数且与其原函数关于 y=x 对称)、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立（应用题）数列极限（转化为函数极限 单调有界 定积分 夹逼定理）与函数极限(四则变换 无穷小代换 积分中值定理 洛必塔法则 泰勒公式要齐次展开)的定义及其性质(局部保号性）函数的左极限与右极限(注意正负号)无穷小(以零为极限)和无穷大（大于任意正数)的概念及其关系 无穷小的性质(和性质 积性质）及无穷小的比较(求导定阶）极限的四则运算(要在各自极限存在的条件下)极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限:函数连续的概念（点极限存在且等于函数值)函数间断点的类型(第一型(有定义)：可去型，跳跃型 第二型(无定义):无穷型,振荡型）初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质(零点定理 介值定理)考试要求 1理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念.4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5 理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系 6.掌握极限的性质及四则运算法则 7.掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法 理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限.9 理解函数连续性的概念(含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型 10 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质 二、一元函数微分学 考试内容。导数和微分的概念(点可导与域可导的关系)导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 高阶导数(数学归纳法 赖布妮子公式法）一阶微分形式的不变性 微分中值定理(闭区间连续开区间可导 不是常数)洛必达（LHospl)法则(注意使用条件 洛必塔求解不存在时，原极限可能存在)函数单调性的判别(利用导数)函数的极值(极值的判定:定义 一阶去心邻域可导且左右邻域导数异号 二阶可导且该点一阶导为零)函数图形的凹凸性(证明)、拐点及渐近线（求解步骤：垂直 水平 斜)函数图形的描绘 函数最大值和最小值 弧微分 曲率的概念(有绝对值 注意参数方程公式)曲率半径 考试要求 1.理解导数和微分的概念,理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系.2掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,掌握基本初等函数的导数公式了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分(后面要加上 dx)3.了解高阶导数的概念,会求简单函数的阶导数.4会求分段函数的导数,会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数 5理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理（典型函数的展开），了解并会用柯西中值定理 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.（洛必达法则受阻时：拆项 积分中值 中值定理）理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法（一阶导定点 二阶导定性)，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形.9.了解曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径 三、一元函数积分学 考试内容 原函数和不定积分的概念(被积函数的要求 连续只是原函数存在的充分条件)不定积分的基本性质(线性 和差 与求导互逆)基本积分公式 定积分的概念（求极限的应用）和基本性质(注意上下限的位置 线性 分区间 上限大于下限时比大小 估值定理)定积分中值定理 用定积分表达和计算质心 积分上限的函数及其导数 牛顿一莱布尼茨（NewoLen)公式 不定积分和定积分的换元积分法(换元要彻底，不要忘了x 定积分换元要注意上下限也要换)与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分 广义积分概定积分的应用 考试要求 1理解原函数概念,理解不定积分和定积分的概念.2掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法(常见代换:倒代换 三角换元 万能代换 不要跳步计算，以免出现毁灭性的低级失误).3.会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分.4理解积分上限的函数，会求它的导数(用处远非于此，常与罗尔定理结合解决零点问题)，掌握牛顿一莱布尼茨公式 5.了解广义积分的概念,会计算广义积分（用极限的观点).6掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力）及函数的平均值等 四、向量代数和空间解析几何 考试内容 向量的概念(自由移动)向量的线性运算 向量的数量积(是数 可交换)和向量积(是向量 交换后变号)向量的混合积(交换的性质与行列式性质相同 几何意义 用于求异面直线的距离)两向量垂直（数量积为零)、平行(向量积与零向量）的条件 两向量的夹角（面面 线线 线面)向量的坐标表达式及其运算 单位向量 方向数与方向余弦 曲面方程和空间曲线方程的概念 平面方程(点法式 截距式 一般式 平面束方程)、直线方程(对称式 参数式 一般式）平面与平面、平面与直线、直线与直线的以及平行、垂直的条件（转化为向量之间的关系)点到平面和点到直线的距离(利用平行四边形)球面 母线平行于坐标轴的柱面 旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程 常用的二次曲面方程及其图形 空间曲线的参数方程和一般方程 空间曲线在坐标面上的投影曲线方程 考试要求 1.理解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示。.掌握向量的运算（线性运算、数量积（求向量夹角 判定垂直)、向量积(平行四边形面积及点到直线的距离)、混合积(求六面体体积及异面直线公垂线长 判定三个向量是否共面）,了解两个向量垂直、平行的条件。3理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式,掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。4.掌握平面方程（点法式 混合积)和直线方程（点向失 一般式）及其求法。5.会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互絭（平行、垂直、相交等）解决有关问题。会求点到直线以及点到平面的距离。7 了解曲面方程和空间曲线方程的概念。8.了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。.了解空间曲线的参数方程和一般方程.了解空间曲线在坐标平面上的投影,并会求其方程。五、多元函数微分学 考试内容 多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限(极限存在的判定)和连续的概念 有界闭区域上多元连续函数的性质(有界性 最值存在 介值定理)多元函数偏导数和全微分(和全增量的区别)全微分存在的必要条件(连续 偏导存在 任意方向的方向导数存在)和充分条件(偏导存在且连续)多元复合函数、隐函数的求导法 二阶偏导数 方向导数和梯度 空间曲线的切线和法平面(参数方程注意以 x,y,z 为参数 方程组)曲面的切平面和法线 二元函数的二阶泰勒公式 多元函数的极值和条件极值 多元函数的最大值、最小值及其简单应用 考试要求 1.理解多元函数的概念,理解二元函数的几何意义。了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。