2016年江苏省无锡市中考数学试卷(含答案解析).pdf

2016 年江苏省无锡市中考数学试卷 一、选择题：本大 题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分 1（3 分）2的相反数是（）A B2 C2 D 2（3 分）函数 y=中自变量 x 的取值范围是（）Ax2 Bx2Cx2Dx2 3（3 分）sin30的值为（）A B C D 4（3 分）初三（1）班 12 名同学练习定点投篮，每人各投 10 次，进球数统计 如下：进球数（个）1 2 3 4 5 7 人数（人）1 1 4 2 3 1 这 12 名同学进球数的众数是（）A3.75 B3 C3.5 D7 5（3 分）下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A B C D 6（3 分）如图，AB 是O 的直径，AC 切O 于 A，BC 交O 于点 D，若 C=70，则AOD 的度数为（）A70 B35 C20 D40 7（3 分）已知圆锥的底面半径为 4cm，母线长为 6cm，则它的侧面展开图的 面积等于（）A24cm 2 B48cm 2 C24cm D12cm 2 第 1 页（共 32 页）2 8（3 分）下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（）A对角线相等 B对角线互相平分 C对角线互相垂直 D邻边互相垂直 9（3 分）一次函数 y=xb与 y=x1的图象之间的距离等于 3，则 b 的值为（）A2或 4 B2 或4 C4 或6 D4或 6 10（3 分）如图，RtABC 中，C=90，ABC=30，AC=2，ABC 绕点 C 顺 时针旋转得A1B1C，当 A1 落在 AB 边上时，连接 B1B，取 BB 1 的中点 D，连接 A1D，则 A1D 的长度是（）A B2 C3 D2 二、填空题：本大 题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分 11（2 分）分解因式：aba=12（2 分）某公司在埃及新投产一座鸡饲料厂，年生产饲料可饲养 57000000 只肉鸡，这个数据用科学记数法可表示为 13（2 分）分式方程 =的解是 14（2 分）若点 A（1，3），B（m，3）在同一反比例函数的图象上，则 m 的 值为 15（2 分）写出命题“如果 a=b”，那么“3a=3b”的逆命题 16（2 分）如图，矩形 ABCD 的面积是 15，边 AB 的长比 AD 的长大 2，则 AD 的长是 17（2 分）如图，已知 OABC 的顶点 A、C 分别在直线 x=1 和 x=4 上，O 是坐 第 2 页（共 32 页）2 标原点，则对角线 OB 长的最小值为 18（2 分）如图，AOB 中，O=90，AO=8cm，BO=6cm，点 C 从 A 点出发，在边 AO 上以 2cm/s 的速度向 O 点运动，与此同时，点 D 从点 B 出发，在边 BO 上以 1.5cm/s 的速度向 O 点运动，过 OC 的中点 E 作 CD 的垂线 EF，则当点 C 运 动了 s 时，以 C 点为圆心，1.5cm 为半径的圆与直线 EF 相切 三、解答题：本大 题共 10 小题，共 84 分 19（8 分）（1）|5|（3）（）0（2）（ab）a（a2b）20（8 分）（1）解不等式：2x3（x+2）（2）解方程组：21（8 分）已知，如图，正方形 ABCD 中，E 为 BC 边上一点，F 为 BA 延长线 上一点，且 CE=AF连接 DE、DF求证：DE=DF 22（8 分）如图，OA=2，以点 A 为圆心，1 为半径画A 与 OA 的延长线交于 第 3 页（共 32 页）2 2 点 C，过点 A 画 OA 的垂线，垂线与A 的一个交点为 B，连接 BC（1）线段 BC 的长等于 ；（2）请在图中按下列要求逐一操作，并回答问题：以点 为圆心，以线段 的长为半径画弧，与射线 BA 交于点 D，使线段 OD 的长等于 连 OD，在 OD 上画出点 P，使 OP 的长等于，请写出画法，并说明理 由 23（6 分）某校为了解全校学生上学期参加社区活动的情况，学校随机调查了 本校 50 名学生参加社区活动的次数，并将调查所得的数据整理如下：参加社区活动次数的频数、频率分布表 活动次数 x 频数 频率 0 x3 10 0.20 3x6 a 0.24 6x9 16 0.32 9x12 6 0.12 12x15 m b 15x18 2 n 根据以上图表信息，解答下列问题：（1）表中 a=，b=；（2）请把频数分布直方图补充完整（画图后请标注相应的数据）；（3）若该校共有 1200 名学生，请估计该校在上学期参加社区活动超过 6 次的 学生有多少人？第 4 页（共 32 页）24（8 分）甲、乙两队进行打乒乓球团体赛，比赛规则规定：两队之间进行 3 局比赛，3 局比赛必须全部打完，只要赢满 2 局的队为获胜队，假如甲、乙两 队之间每局比赛输赢的机会相同，且甲队已经赢得了第 1 局比赛，那么甲队最 终获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）25（10 分）某公司今年如果用原线下销售方式销售一产品，每月的销售额可 达 100 万元由于该产品供不应求，公司计划于 3 月份开始全部改为线上销售，这样，预计今年每月的销售额 y（万元）与月份 x（月）之间的函数关系的图象 如图 1 中的点状图所示（5 月及以后每月的销售额都相同），而 经销成本 p（万 元）与销售额 y（万元）之间函数关系的图象图 2 中线段 AB 所示 （1）求经销成本 p（万元）与销售额 y（万元）之间的函数关系式；（2）分别求该公司 3 月，4 月的利润；（3）问：把 3 月作为第一个月开始往后算，最早到第几个月止，该公司改用线 上销售后所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出 200 万元？（利润=销售额经销 成本）26（10 分）已知二次函数 y=ax 2ax+c（a0）的图象与 x 轴的负半轴和正半 轴分别交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，它的顶点为 P，直线 CP 与过点 B 且 垂直于 x 轴的直线交于点 D，且 CP：PD=2：3（1）求 A、B 两点的坐标；第 5 页（共 32 页）2 （2）若 tanPDB=，求这个二次函数的关系式 27（10 分）如图，已知ABCD 的三个顶点 A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）（mn0），作ABCD 关于直线 AD 的对称图形 AB 1C 1D（1）若 m=3，试求四边形 CC 1B1B 面积 S 的最大值；（2）若点 B1 恰好落在 y 轴上，试求 的值 28（8 分）如图 1 是一个用铁丝围成的篮框，我们来仿制一个类似的柱体形篮 框如图 2，它是由一个半径为 r、圆心角 90的扇形 A2OB2，矩形 A2C2EO、B2D2EO，及若干个缺一边的矩形状框 A1C 1D 1B1、A2C 2D 2B2、An Bn C n D n，OEFG 围成，其中 A1、G、B 1 在 上，A2、A3、A n 与 B2、B3、B n 分别在半径 OA2 和 OB 2 上，C 2、C 3、C n 和 D 2、D 3D n 分别在 EC 2 和 ED 2 上，EFC 2D 2 于 H 2，C 1D 1EF 于 H 1，FH 1=H 1H 2=d，C 1D 1、C 2D 2、C 3D 3、C n D n 依次等距离平行排放（最后一个矩形 状框的边 C n D n 与点 E 间的距离应不超过 d），A1C 1A2C 2A3C 3A n C n（1）求 d 的值；（2）问：CnDn 与点 E 间的距离能否等于 d？如果能，求出这样的 n 的值，如果 不能，那么它们之间的距离是多少？第 6 页（共 32 页）第 7 页（共 32 页）2016 年江苏省无锡市中考数学试卷 参考答案 与试题解 析 一、选择题：本大 题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分 1（3 分）2的相反数是（）A B2 C2 D 【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可【解答】解：2的相反数是 2；故选 C【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 0不 要把相反数的意义与倒数的意义混淆 2（3 分）函数 y=中自变量 x 的取值范围是（）Ax2 Bx2Cx2Dx2【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以 2x40，可求 x 的范围 【解答】解：依题意有：2x40，解得 x2 故选：B【点评】此题主要考查函数自变量的取值范围：当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数 3（3 分）sin30的值为（）A B C D 【分析】根据特殊角的三角函数值，可以求得 sin30的值 第 8 页（共 32 页）【解答】解：sin30=，故选 A【点评】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是明确特殊角的三角函 数 值分别等于多少 4（3 分）初三（1）班 12 名同学练习定点投篮，每人各投 10 次，进球数统计 如下：进球数（个）1 2 3 4 5 7 人数（人）1 1 4 2 3 1 这 12 名同学进球数的众数是（）A3.75 B3 C3.5 D7【分析】根据统计表找出各进球数出现的次数，根据众数的定义即可得出结 论【解答】解：观察统计表发现：1 出现 1 次，2 出现 1 次，3 出现 4 次，4 出现 2 次，5 出现 3 次，7 出现 1 次，故这 12 名同学进球数的众数是 3 故选 B【点评】本题考查了众数的定义以及统计表，解题的关键是找出哪个进球数出 现的次数最多本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据统计表 中得数据，结合众数的定义找出该组数据的众数是关键 5（3 分）下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A B C D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的性质对各选项进行逐一分析即可【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确；B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项错误；C、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，但是中心对称图形，故本选项错误 第 9 页（共 32 页）故选 A【点评】本题考查的是中心对称图形，熟知轴对称图形与中心对称图形的性质 是解答此题的关键 6（3 分）如图，AB 是O 的直径，AC 切O 于 A，BC 交O 于点 D，若 C=70，则AOD 的度数为（）A70 B35 C20 D40【分析】先依据切线的性质求得CAB 的度数，然后依据直角三角形两锐角互 余的性质得到CBA 的度数，然后由圆周角定理可求得AOD 的度数【解答】解：AC 是圆 O 的切线，AB 是圆 O 的直径，ABAC CAB=90 又C=70，CBA=20 DOA=40 故选：D【点评】本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，求 得CBA=20是解题的关键 7（3 分）已知圆锥的底面半径为 4cm，母线长为 6cm，则它的侧面展开图的 面积等于（）A24cm 2 B48cm 2 C24cm D12cm 2【分析】根据圆锥的侧面积=底面圆的周长母线长即可求解 第 10 页（共 32 页）2 【解答】解：底面半径为 4cm，则底面周长=8cm，侧面面积=86=24（cm）故选：C【点评】本题考查了圆锥的有关计算，解题的关键是了解圆锥的有关元素与扇 形的有关元素的对应关系 8（3 分）下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（）A对角线相等 B对角线互相平分 C对角线互相垂直 D邻边互相垂直【分析】菱形的性质有：四边形相等，两组对边分别平行，对角相等，邻角互 补，对角线互相垂直且平分，且每一组对角线平分一组对角 矩形的性质有：两组对边分别相等，两组对边分别平行，四个内角都是直角，对角线相等且平分【解答】解：（A）对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有；（B）对角线互相平分是菱形和矩形共有的性质；（C）对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有；（D）邻边互相垂直是矩形具有的性质，菱形不一定具有 故选：C【点评】本题考查菱形与矩形的性质，需要同学们对各种平行四边形的性质熟 练掌握并区分 9（3 分）一次函数 y=xb与 y=x1的图象之间的距离等于 3，则 b 的值为（）A2或 4 B2 或4 C4 或6 D4或 6【分析】设直线 y=x1与 x 轴交点为 C，与 y 轴交点为 A，过点 A 作 AD直 线 y=xb于点 D，根据直线的解析式找出点 A、B、C 的坐标，通过同角的余 角相等可得出BAD=ACO，再利用ACO 的余弦值即可求出直线 AB 的长度，从而得出关于 b 的含绝对值符号的方程，解方程即可得出结论 第 11 页（共 32 页）2 【解答】解：设直线 y=x1与 x 轴交点为 C，与 y 轴交点为 A，过点 A 作 AD直线 y=xb于点 D，如图所示 直线 y=x1与 x 轴交点为 C，与 y 轴交点为 A，点 A（0，1），点 C（，0），OA=1，OC=，AC=，cosACO=BAD 与CAO 互余，ACO 与CAO 互余，BAD=ACO AD=3，cosBAD=，AB=5 直线 y=xb与 y 轴的交点为 B（0，b），AB=|b（1）|=5，解得：b=4或 b=6 故选 D【点评】本题考查了一次函数的性质以及含绝对值符合的一元一次方程，解题 的关键是找出线段 AB=|b（1）|=5本题属于基础题，难度不大，解决该题 型题目时，巧妙的借用角的余弦值求出线段 AB 的长度，再根据线段的长度得 第 12 页（共 32 页）出关于 b 的含绝对值符号的方程是关键 10（3 分）如图，RtABC 中，C=90，ABC=30，AC=2，ABC 绕点 C 顺 时针旋转得A1B1C，当 A1 落在 AB 边上时，连接 B1B，取 BB 1 的中点 D，连接 A1D，则 A1D 的长度是（）A B2 C3 D2【分析】首先证明ACA 1，BCB 1 是等边三角形，推 出A1BD 是直角三角形即 可解决问题【解答】解：ACB=90，ABC=30，AC=2，A=90 ABC=60，AB=4，BC=2 CA=CA1，ACA 1 是等边三角形，AA 1=AC=BA 1=2，BCB 1=ACA 1=60，CB=CB 1，BCB1 是等边三角形，BB1=2 BD=DB 1=，BA1=2，A1BB1=90，A1D=故选 A 【点评】本题考查旋转的性质、30 度角的直角三角形性质、等边三角形的判定 第 13 页（共 32 页）和性质、勾股定理等知识，解题的关键是证明ACA1，BCB1 是等边三角形，属于中考常考题型 二、填空题：本大 题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分 11（2 分）分解因式：aba=a（ba）【分析】直接把公因式 a 提出来即可【解答】解：aba=a（ba）故答案为：a（ba）【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是 a 是解题的关 键 12（2 分）某公司在埃及新投产一座鸡饲料厂，年生产饲料可饲养 57000000 只肉鸡，这个数据用科学记数法可表示为 5.710 【分析】科学记数法的表示形式为 a10 的形式，其中 1|a|10，n 为整 数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值 与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值 1 时，n 是负数【解答】解：将 57000000 用科学记数法表示为：5.710 故答案为：5.710 【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10 的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以 及 n 的值 13（2 分）分式方程 =【分析】首先把分式方程 =的解是 x=4 的两边同时乘 x（x1），把化 分式方程为整式 方程；然后根据整式方程的求解方法，求出分式方程=【解答】解：分式方程的两边同时乘 x（x1），可得 4（x1）=3x 第 14 页（共 32 页）的解是多少即可 2 2 7 n 7 7 n 解得 x=4，经检验 x=4 是分式方程的解 故答案为：x=4【点评】此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明 确：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求 解（2）解分式方程一定注意要验根 14（2 分）若点 A（1，3），B（m，3）在同一反比例函数的图象上，则 m 的 值为 1 【分析】由 A、B 点的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于 m 的一元一次方程，解方程即可得出结论【解答】解：点 A（1，3），B（m，3）在同一反比例函数的图象上，1（3）=3m，解得：m=1 故答案为：1【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及解一元一次方程，解 题的关键是得出关于 m 的一元一次方程本题属于基础题，难度不大，解决该 题型题目时，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出与点的坐标有关的方程 是关键 15（2 分）写出命题“如果 a=b”，那么“3a=3b”的逆命题 如果 3a=3b，那么 a=b 【分析】先找出命题的题设和结论，再说出即可【解答】解：命题“如果 a=b”，那么“3a=3b”的逆命题是：如果 3a=3b，那么 a=b，故答案为：如果 3a=3b，那么 a=b【点评】本题考查了命题与定理的应用，能理解命题的有关内容是解此题的关 键 第 15 页（共 32 页）16（2 分）如图，矩形 ABCD 的面积是 15，边 AB 的长比 AD 的长大 2，则 AD 的长是 3 【分析】根据矩形的面积公式，可得关于 AD 的方程，根据解方程，可得答 案【解答】解：由边 AB 的长比 AD 的长大 2，得 AB=AD+2 由矩形的面积，得 AD（AD+2）=15 解得 AD=3，AD=5（舍），故答案为：3【点评】本题考查了矩形的性质，利用矩形的面积公式得出关于 AD 的方程是 解题关键 17（2 分）如图，已知 OABC 的顶点 A、C 分别在直线 x=1 和 x=4 上，O 是坐 标原点，则对角线 OB 长的最小值为 5 【分析】过点 B 作 BD直线 x=4，交直线 x=4 于点 D，过点 B 作 BEx 轴，交 x 轴于点 E则 OB=由于四边形 OABC 是平行四边形，所以 OA=BC，又由平行四边形的性质可推得OAF=BCD，则可证明OAF BCD，所以 OE 的长固定不变，当 BE 最小时，OB 取得最小值，从而可求【解答】解：过点 B 作 BD直线 x=4，交直线 x=4 于点 D，过点 B 作 BEx 轴，第 16 页（共 32 页）交 x 轴于点 E，直线 x=1 与 OC 交于点 M，与 x 轴交于点 F，直线 x=4 与 AB 交 于点 N，如图：四边形 OABC 是平行四边形，OAB=BCO，OCAB，OA=BC，直线 x=1 与直线 x=4 均垂直于 x 轴，AMCN，四边形 ANCM 是平行四边形，MAN=NCM，OAF=BCD，OFA=BDC=90，FOA=DBC，在OAF 和BCD 中，OAFBCD BD=OF=1，OE=4+1=5，OB=由于 OE 的长不变，所以当 BE 最小时（即 B 点在 x 轴上），OB 取得最小值，最 小值为 OB=OE=5 故答案为：5 第 17 页（共 32 页）【点评】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定 与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键 18（2 分）如图，AOB 中，O=90，AO=8cm，BO=6cm，点 C 从 A 点出发，在边 AO 上以 2cm/s 的速度向 O 点运动，与此同时，点 D 从点 B 出发，在边 BO 上以 1.5cm/s 的速度向 O 点运动，过 OC 的中点 E 作 CD 的垂线 EF，则当点 C 运 动了 s 时，以 C 点为圆心，1.5cm 为半径的圆与直线 EF 相切 【分析】当以点 C 为圆心，1.5cm 为半径的圆与直线 EF 相切时，即 CF=1.5cm，又因为EFC=O=90，所以EFCDCO，利用对应边的比相等即可求出 EF 的长度，再利用勾股定理列出方程即可求出 t 的值，要注意 t 的取值范围为 0t4【解答】解：当以点 C 为圆心，1.5cm 为半径的圆与直线 EF 相切时，此时，CF=1.5，AC=2t，BD=t，OC=82t，OD=6 t，点 E 是 OC 的中点，CE=OC=4t，EFC=O=90，FCE=DCO EFCDCO =EF=第 18 页（共 32 页）由勾股定理可知：CE=CF+EF，（4t）=+，解得：t=或 t=，0t4，t=故答案为：【点评】本题考查圆的切线性质，主要涉及相似三角形的判定与性质，勾股定 理，切线的性质等知识，题目综合程度较高，很好地考查学生综合运用知识的 能力 三、解答题：本大 题共 10 小题，共 84 分 19（8 分）（1）|5|（3）（）0（2）（ab）a（a2b）【分析】（1）原式利用绝对值的代数意义，乘方的意义，以及零指数幂法则计 算即可得到结果；（2）原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得 到结果【解答】解：（1）原式=591=5；（2）a 2ab+b a+2ab=b 【点评】此题考查了单项式乘多项式，完全平方公式，以及零指数幂，熟练掌 握运算法则是解本题的关键 20（8 分）（1）解不等式：2x3（x+2）（2）解方程组：【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤，去分母、移项、合并同类项、系 数化为 1，即可得出结果；（2）用加减法消去未知数 y 求出 x 的值，再代入求出 y 的值即可 第 19 页（共 32 页）2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 【解答】解：（1）2x3（x+2）去分母得：4x6x+2，移项，合并同类项得：3x8，系数化为 1 得：x；（2）由得：2x+y=3，2得：x=4，把 x=4 代入得：y=5，故原方程组的解为 【点评】本题考查了一元一次不等式的解法、二元一次方程组的解法；熟练掌 握一元一次不等式和二元一次方程组的解法是解决问题的关键 21（8 分）已知，如图，正方形 ABCD 中，E 为 BC 边上一点，F 为 BA 延长线 上一点，且 CE=AF连接 DE、DF求证：DE=DF 【分析】根据正方形的性质可得 AD=CD，C=DAF=90，然后利用“边角边”证 明DCE 和DAF 全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可【解答】证明：四边形 ABCD 是正方形，AD=CD，DAB=C=90，FAD=180DAB=90 在DCE 和DAF 中，第 20 页（共 32 页）DCEDAF（SAS），DE=DF 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，利用全等三角 形对应边相等证明线段相等是常用的方法之一，一定要熟练掌握并灵活运用 22（8 分）如图，OA=2，以点 A 为圆心，1 为半径画A 与 OA 的延长线交于 点 C，过点 A 画 OA 的垂线，垂线与A 的一个交点为 B，连接 BC（1）线段 BC 的长等于 ；（2）请在图中按下列要求逐一操作，并回答问题：以点 A 为圆心，以线段 BC 的长为半径画弧，与射线 BA 交于点 D，使 线段 OD 的长等于 连 OD，在 OD 上画出点 P，使 OP 的长等于，请写出画法，并说明理 由 【分析】（1）由圆的半径为 1，可得出 AB=AC=1，结合勾股定理即可得出结论；（2）结合勾股定理求出 AD 的长度，从而找出点 D 的位置，根据画图的步骤，完成图形即可；根据线段的三等分点的画法，结合 OA=2AC，即可得出结论【解答】解：（1）在 RtBAC 中，AB=AC=1，BAC=90，BC=故答案为：（2）在 RtOAD 中，OA=2，OD=AD=BC，OAD=90，第 21 页（共 32 页）以点 A 为圆心，以线段 BC 的长为半径画弧，与射线 BA 交于点 D，使线段 OD 的长等于 依此画出图形，如图 1 所示 故答案为：A；BC OD=，OP=，OC=OA+AC=3，OA=2，故作法如下：连接 CD，过点 A 作 APCD 交 OD 于点 P，P 点即是所要找的点 依此画出图形，如图 2 所示 【点评】本题考查了作图中的寻找线段的三等分点以及勾股定理，解题的关 键 是：（1）利用勾股定理求出 BC 的长；（2）利用勾股定理求出 AD 的长；会画线段的三等分点本题属于中档题，难度不大，（2）中巧妙的借助了 OA=2AC，从而利用比例找出了点 P 的位置 23（6 分）某校为了解全校学生上学期参加社区活动的情况，学校随机调查了 本校 50 名学生参加社区活动的次数，并将调查所得的数据整理如下：参加社区活动次数的频数、频率分布表 活动次数 x 频数 频率 0 x3 10 0.20 第 22 页（共 32 页）3x6 a 0.24 6x9 16 0.32 9x12 6 0.12 12x15 m b 15x18 2 n 根据以上图表信息，解答下列问题：（1）表中 a=12，b=0.08；（2）请把频数分布直方图补充完整（画图后请标注相应的数据）；（3）若该校共有 1200 名学生，请估计该校在上学期参加社区活动超过 6 次的 学生有多少人？【分析】（1）直接利用已知表格中 3x6 范围的频率求出频数 a 即可，再求 出 m 的值，即可得出 b 的值；（2）利用（1）中所求补全条形统计图即可；（3）直接利用参加社区活动超过 6 次的学生所占频率乘以总人数进而求出答 案【解答】解：（1）由题意可得：a=500.24=12（人），m=5010121662=4，b=0.08；故答案为：12，0.08；（2）如图所示：第 23 页（共 32 页）；（3）由题意可得，该校在上学期参加社区活动超过 6 次的学生有：1200（10.200.24）=672（人），答：该校在上学期参加社区活动超过 6 次的学生有 672 人【点评】此题主要考查了频数分布直方图以及利用样本估计总体，正确将条 形 统计图和表格中数据相联系是解题关键 24（8 分）甲、乙两队进行打乒乓球团体赛，比赛规则规定：两队之间进行 3 局比赛，3 局比赛必须全部打完，只要赢满 2 局的队为获胜队，假如甲、乙两 队之间每局比赛输赢的机会相同，且甲队已经赢得了第 1 局比赛，那么甲队最 终获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）【分析】根据甲队第 1 局胜画出第 2 局和第 3 局的树状图，然后根据概率公式 列式计算即可得解【解答】解：根据题意画出树状图如下：一共有 4 种情况，确保两局胜的有 3 种，所以，P=【点评】本题考查了用树状图列举随机事件出现的所有情况，并求出某些事件 的概率，但应注意在求概率时各种情况出现的可能性务必相同用到的知识点 为：概率=所求情况数与总情况数之比 第 24 页（共 32 页）25（10 分）某公司今年如果用原线下销售方式销售一产品，每月的销售额可 达 100 万元由于该产品供不应求，公司计划于 3 月份开始全部改为线上销售，这样，预计今年每月的销售额 y（万元）与月份 x（月）之间的函数关系的图象 如图 1 中的点状图所示（5 月及以后每月的销售额都相同），而 经销成本 p（万 元）与销售额 y（万元）之间函数关系的图象图 2 中线段 AB 所示 （1）求经销成本 p（万元）与销售额 y（万元）之间的函数关系式；（2）分别求该公司 3 月，4 月的利润；（3）问：把 3 月作为第一个月开始往后算，最早到第几个月止，该公司改用线 上销售后所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出 200 万元？（利润=销售额经销 成本）【分析】（1）设 p=ky+b，（100，60），（200，110）代入即可解决问题（2）根据利润=销售额经销 成本，即可解决问题（3）设最早到第 x 个月止，该公司改用线上销售后所获得利润总额比同期用线 下方式销售所能获得的利润总额至少多出 200 万元，列出不等式即可解决问 题 【解答】解：（1）设 p=ky+b，（100，60），（200，110）代入得 解 得，p=y+10 （2）y=150 时，p=85，三月份利润为 15085=65 万元 y=175 时，p=97.5，四月份的利润为 17597.5=77.5 万元（3）设最早到第 x 个月止，该公司改用线上销售后所获得利润总额比同期用线 第 25 页（共 32 页）下方式销售所能获得的利润总额至少多出 200 万元 5 月份以后的每月利润为 90 万元（y=200，求得 p=110，200110=90），65+77.5+90（x2）40 x200，x4.75，最早到第 5 个月止，该公司改用线上销售后所获得利润总额比同期用线下方 式销售所能获得的利润总额至少多出 200 万元【点评】本题考查一次函数的应用、待定系数法、不等式等知识，解题的关键 是构建一次函数解决问题，搞清楚利润=销售额经销 成本，属于中考常考题 型 26（10 分）已知二次函数 y=ax 2ax+c（a0）的图象与 x 轴的负半轴和正半 轴分别交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，它的顶点为 P，直线 CP 与过点 B 且 垂直于 x 轴的直线交于点 D，且 CP：PD=2：3（1）求 A、B 两点的坐标；（2）若 tanPDB=，求这个二次函数的关系式 【分析】（1）由二次函数的解析式可求出对称轴为 x=1，过点 P 作 PEx 轴于 点 E，所以 OE：EB=CP：PD；（2）过点 C 作 CFBD 于点 F，交 PE 于点 G，构造直角三角形 CDF，利用 tanPDB=即可求出 FD，由于CPGCDF，所以可求出 PG 的长度，进而求 出 a 的值，最后将 A（或 B）的坐标代入解析式即可求出 c 的值【解答】解：（1）过点 P 作 PEx 轴于点 E，y=ax 2ax+c，该二次函数的对称轴为：x=1，第 26 页（共 32 页）2 2 OE=1 OCBD，CP：PD=OE：EB，OE：EB=2：3，EB=，OB=OE+EB=，B（，0）A 与 B 关于直线 x=1 对称，A（，0）；（2）过点 C 作 CFBD 于点 F，交 PE 于点 G，令 x=1 代入 y=ax 2ax+c，y=ca，令 x=0 代入 y=ax 2ax+c，y=c PG=a，CF=OB=，tanPDB=，FD=2，PGBD CPGCDF，=PG=，第 27 页（共 32 页）2 2 a=，y=x x+c，把 A（，0）代入 y=x x+c，解得：c=1，该二次函数解析式为：y=x x1 【点评】本题考查二次函数，涉及待定系数法求出二次函数解析式，相似三角 形的性质与判定，锐角三角函数等知识内容，解题的关键是利用作垂线构造直 角三角形，再利用相似三角形的对应边的比相等即可得出答案 27（10 分）如图，已知ABCD 的三个顶点 A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）（mn0），作ABCD 关于直线 AD 的对称图形 AB 1C 1D（1）若 m=3，试求四边形 CC1B1B 面积 S 的最大值；（2）若点 B1 恰好落在 y 轴上，试求 的值 2 2 2 第 28 页（共 32 页）【分析】（1）如图 1，易证 SBCEF=SBCDA=SB1C1DA=SB1C1EF，从而可得 SBCC1B1=2S BCDA=4（n）+9，根据二次函数的最值性就可解决问题；（2）如图 2，易证AODB1OB，根据相似三角形的性质可得 OB1=，然后 在 RtAOB 1 中运用勾股定理就可解决问题【解答】解：（1）如图 1，ABCD 与四边形 AB 1C 1D 关于直线 AD 对称，四边形 AB1C1D 是平行四边形，CC1EF，BB1EF，BCADB1C1，CC1BB1，四边形 BCEF、B1C 1EF 是平行四边形，S BCEF =S BCDA =S B1C1DA =S B1C1EF ，S BCC1B1 =2S BCDA A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）、m=3，AB=mn=3n，OD=2n，SBCDA=ABOD=（3n）2n=2（n 3n）=2（n）+，S BCC1B1 =2S BCDA =4（n）+9 4 0，当 n=时，S BCC1B1 最大值为 9；2 2 2 2 （2）当点 B1 恰好落在 y 轴上，如图 2，DFBB1，DB1OB，第 29 页（共 32 页）B1DF+DB1F=90，B1BO+OB1B=90，B1DF=OBB1 DOA=BOB 1=90，AODB1OB，=，OB1=由轴对称的性质可得 AB 1=AB=mn 在 RtAOB 1 中，n+（）=（mn），整理得 3m 8mn=0 m0，3m8n=0，=【点评】本题主要考查了轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数 的最值性、勾股定理等知识，得到 S BCC1B1=2S BCDA 2 2 2 2 是解决第（1）小题的关键，第 30 页（共 32 页）在 RtAOB1 中运用勾股定理是解决第（2）小题 28（8 分）如图 1 是一个用铁丝围成的篮框，我们来仿制一个类似的柱体形篮 框如图 2，它是由一个半径为 r、圆心角 90的扇形 A2OB A2C2EO、B2D2EO，及若干个缺一边的矩形状框 2，矩形 A1C 1D 1B1、A2C 2D 2B2、An Bn C n D n，OEFG 围成，其中 A1、G、B 1 在 上，A2、A3、An 与 B2、B3、Bn 分别在半径 OA2 和 OB2 上，C2、C3、Cn 和 D 2、D 3D n 分别在 EC 2 和 ED 2 上，EFC 2D 2 于 H 2，C 1D 1EF 于 H 1，FH 1=H 1H 2=d，C 1D 1、C 2D 2、C 3D 3、C n D n 依次等距离平行排放（最后一个矩形 状框的边 C n D n 与点 E 间的距离应不超过 d），A1C 1A2C 2A3C 3A n C n（1）求 d 的值；（2）问：CnDn 与点 E 间的距离能否等于 d？如果能，求出这样的 n 的值，如果 不能，那么它们之间的距离是多少？【分析】（1）根据 d=FH2，求出 EH2 即可解决问题 （2）假设 C n D n 与点 E 间的距离能等于 d，列出关于 n 的方程求解，发现 n 没有 整数解，由 r r=2+2 4.8，求出 n 即可解决问题 【解答】解：（1）在 RtD2EC2 中，D2EC2=90，EC2=ED2=r，EFC2D2，EH 2=r，FH 2=r r，d=（r r）=r，（2）假设 CnDn 与点 E 间的距离能等于 d，由题意 第 31 页（共 32 页）r=r，这个方程 n 没有整数解，所以假设不成立 r r=2+2 4.8，直角三角形C 2ED 2 最多分成 5 份，n=6，此时 C n D n 与点 E 间的距离=r4 r=r 【点评】本题考查垂径定理、等腰直角三角形的性质，理解题意是解决问题的 关键，学会利用方程去思考，发现 n=6 是解题的关键 第 32 页（共 32 页）