苏教版高中数学高一必修一2.5《函数与方程互化》方法指导.pdf

打印版 打印版 函数与方程的互化 函数与方程问题具有相辅相成、相得益彰的关系，所以通过两者之间的相互作用，可以优化解题过程。一、用函数解决方程问题 把方程问题转化为函数问题，就可以运用函数值、函数图象及其性质解决方程问题。例 1 方程01313 xx在区间（a，b）（a,b 是整数，且 b-a=1）上有一个根，则 a+b的值是多少。点拨：欲寻找方程的根所在的区间，并证明其惟一性，要先画图观察，再由函数的单调性证明根的惟一性，其关键是构造函数。解析：令,131)(3xxxf,0)2()3(,31)2(,5)3(ffff 方程0)(xf在区间（-3，-2）内至少有一根。设任意实数21,xx，且.121xx 131)(,131)(23221311xxxfxxxf，1)(31)()()(31)()(31)()(22212121212221212121323121xxxxxxxxxxxxxxxxxxxfxf 由.121xx 知021xx，3222121xxxx。故0)()(21xfxf，即)()(21xfxf。函数)(xf在（-，-1上单调递增。同理，可证出函数)(xf在1，+）上单调递增，在（-1，1）上单调递减。又因为035)1(f，031)1(f，故方程01313 xx在 R 上只有一解，又 a,b 是整数，且 b-a=1,所以 a=-3,b=-2.故 a+b=-5.二、用方程解决函数问题 把函数问题转化为方程问题的目的，就是要运用方程的根解决函数的图象、性质等问题。例 2 若一次函数baxxf)(有一个零点 2，则函数axbxxg2)(的图象可能是（）。打印版 打印版 点拨：欲画函数)(xg的图象，需先求出方程0)(xg的根，其关键是利用方程0)(xf的根是 2 求出ba的值。解析：依题意有02ba，得21ba；又由02 axbx，解得 x=0,或bax，即函数axbxxg2)(有零点 0 和-0.5，也就是该函数图象与 x 轴交点的横坐标分别为 0和-0.5，故选（C）。x y o 2(A)x y o-2(B)x y-0.5(C)o x 0.5 y(D)o