2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(含答案).pdf

2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。则|z|C.济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图:则下面结论中不正确的是 A.新农村建设后，种植收入减少 B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍 绝密启用前、选择题：本题共 2.已知集合 A.x B.3.C.x|x U x|x 某地区经过一年的新农村建设,D.x|x 1 U x|x 2 农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经 建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4.设Sn为等差数列 an的前n项和，若3&S2 S4,ai 2,则as 5.设函数f(x)x3(a 1)x2 ax,若f(x)为奇函数，贝U曲线 y f(x)在点(0,0)处的切线方程为 角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.AABC的三边所围成的区域记为 余部分记为III.在整个图形中随机取一点，此点取自 A.p1=p2 A.2而 B.2.5 C.一.2 3 D.2 uuuu 设抛物线C：y A.5 2=4x的焦点为F,B.x 过点(2 6 0)且斜率为一 3 C.的直线与C交于M,7 N两点，则 D.8 FM 已知函数f(x)ln x,x 0,g(x)f(x)x a.若 g(x)存在2个零点，则 a的取值范围是 A.T,0)B.0,+8)C.T,+8)D 1,+oo)8.9.uuur FN=10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.6.在 ABC中，AD为BC边上的中线,uuu E为AD的中点，贝U EB 3 uuu 1 uuu A.-AB-AC 1 uiur 3 uuu B.-AB-AC 3 uur 1 uuur C.-AB-AC 1 uuu 3 uuur D.-AB-AC 7.某圆柱的高为 2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点 M在正视图上的对应点为 A,圆柱 表面上的点N在左视图上的对应点为 B,则在此圆柱侧面上，从 M到N的路径中,最短路径的长度为 此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直 I,11,111的概率分别记为P1,p2,P3,则 I,黑色部分记为II,其 B.p1=p3 D.p1=p2+p3 11.已知双曲线C:y2 1,。为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分 3 别为M、叱若 OMN为直角三角形，贝U|MN|=12.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面 a所成的角相等,值为 A.B.乎 C.V D.艾 二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。x 2y 2 0 13.若x,y 满足约束条件 x y 1 0,则z 3x 2y的最大值为.y 0 14.记Sn为数列an的前n项和，若Sn 2an 1,则S6 15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 种.(用数字填写答案)16.已知函数f x 2sin x sin2x，贝U f x的最小值是.三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：60分。17.(12分)在平面四边形 ABCD 中，ADC 90,A 45,AB 2,BD 5.(1)求 cos ADB；(2)若 DC 2 2,求 BC.18.(12 分)如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点，以DF为折痕把 DFC折起，使点C 到达点P的位置，且PF BF.(1)证明：平面 PEF 平面ABFD;(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值 C.p2=p3 则a截此正方体所得截面面积的最大 19.(12 分)2 X 2 设椭圆C:y2 1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点，点M的坐标为(2,0).2(1)当l与x轴垂直时，求直线 AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：OMA OMB.20.(12 分)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合 格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取 20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下 的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 p(0 p 1),且各件产品是否为不合格品相互 独立.学科&网(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为 f(p),求f(p)的最大值点p0.(2)现对一箱产品检验了 20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件 产品的检验费用为 2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25元的赔偿费 用.学.科网(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X,求EX;(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？21.(12 分)1 已知函数f(x)x alnx.x(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:f x1 f x2 XI x2(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修4-4坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中，曲线CI的方程为y k|x|2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标 (1)求C2的直角坐标方程；(2)若Ci与C2有且仅有三个公共点，求 Ci的方程.23.选修4 5 不等式选讲(10分)已知 f(x)|x 1|ax 1|.(1)当a 1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立，求a的取值范围系，曲线C2的极坐标方程为 2 cos 3 0.参考答案:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13.6 14.63 17.（12 分）B A 15.16 16.B 3.3 2 D A B D C A B A 在 BCD中，由余弦定理得 _ 2 _ 2 _ 2 BC BD DC 2 BD DC cos BDC 25 8 2 5 2.2-2 5 25.所以BC 5.18.（12 分）解：（1）由已知可得，BF PF,BF EF,所以BF 平面PEF.又BF 平面ABFD,所以平面 PEFL平面ABFD.（2）作PH EF,垂足为 H.由（1）得，PHL平面 ABFD.解：（1）在 ABD中，由正弦定理得 sin BD A sin ADB 5 由题设知，2,-，所以sin ADB 由题设知，ADB 90，所以 cos ADB 1 _2 723 25 5（2）由题设及（1）知，cos BDC sin ADB 2 5 UULT UUIU 以H为坐标原点，HF的方向为y轴正方向，|BF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 Hxyz.2kx1x2 3k(%x2)4k DE PE.又 DP=2,DE=1,所以 PE=龙.又 PF=1,EF=2,故 PE PF.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为(12 分)解：(1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1.由已知可得，点 A的坐标为(1,顶)或(1,?-).所以AM的方程为y-x J2或N x J2.2 2(2)当l与x轴重合时，OMA OMB 0.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以 OMA OMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设 l的方程为y k(x 1)(k 0),A(x1,y1),B(x2,y2),则x1 J2,x2 J2,直线MA,MB的斜率之和为kMA kMB 旦旦 为 2 x2 2 由 y1 kx1 k,y2 kx2 k 得可得PH EH 5 3 则 H(0,0,0)，P(0,0,;)，D(1,凯,uuur DP 3.3 辿(1,一,)，HP 2 2.3一 一(0,0，了)为平面 ABFD的法向量.设DP与平面ABFD所成角为，则sin uuir uuur HP DP|-uuuF|HP|DP|3 4.3、.3 由(1)可得,19.2kx1x2 3k(%x2)4k kMA kMB(为 2)(x2 2)2 2 将y k(x 1)代入y2 1得 2 _ 2 2 2.2.(2k 1)x 4k x 2k 2 0.4k2 2k2 2 Xi X2 2,X1X2 2 2k2 1 2k2 1 从而kMA kMB 0,故MA,MB的倾斜角互补，所以 OMA OMB.综上，OMA OMB.20.(12 分)解：(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为 f(p)C20p2(1 p)18.因此 17 _ 9 17 r/jk 18 c /I/r /jk I7/jk (P)C202 p(1 p)18p(1 p)2C20P(1 p)(1 10 p).令 f(p)0,得 p 0.1.当 p(0,0.1)时，f(p)0;当 p(0.1,1)时，f(p)0 所以f(p)的最大值点为p0 0.1.(2)由(1)知，p 0.1.(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知 Y:B(180,0.1),X 即 X 40 25Y.所以 EX E(40 25Y)40 25EY 490.f2 则 2kx1x2 3k(x1 x2)4k 4k3 4k 12k3 8k3 4k 2k2 1 0.20 2 25Y,2 2 由于EX 400,故应该对余下的产品作检验.21.(12 分)解：(1)f(x)的正义域为(0,),f(x)2 1 2.x x x(i)若 a 2,则f(x)0,当且仅当a 2,x 1时f(x)0,所以f(x)在(0,(ii)如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为 400元.a、a2 4 a a2 4 -或x -)单调递减.(ii)若 a 2,令 f(x)0得，x 3 牍 a，a2 4 a a2 4 如(0,)U(,)时，f(x)。;业 a.a2 4 a.a2 4 a.a2 4 a a2 4 当 x(-,-)时，f(x)。.所以 f(x)在(0,、，2 2 调递减，在(一,a Ja 4)单调递增.2 2(2)由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当 a 2.时，g(x)0.),()单 由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2 ax 1 0，所以 X1X2 1,不妨设 x X2，贝U X2 1.由于 f(X1)f(X2)XI x2 X1X2 ln x1 ln x2 1 a-c ln x1 ln x2 2 a 1-2 2ln x2 x2 X2 所以也f(X2)XI x2 1 2等价于x2 2ln x2 0.1 设函数g(x)1 21n x，由(1)知，g(x)在(0,)单调递减，又g(1)x(1,)，1 所以x2 2ln X2 f(X1)f(X2)a 2.X1 X2 22.选修4-4:坐标系与参数方程(10 分)【解析】(1)由x cos sin 得C2的直角坐标方程为(x 1)2 y 2 4.(2)由(1)知。2是圆心为 A(1,0)，半径为2的圆.由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为11,y轴左边的射线为 l2.由于B在圆。2的外面，故C1与。2有且仅有三个公共点等价于 l1与。2只有一个公共点且l2与。2有 两个公共点，或12与C2只有一个公共点且11与C2有两个公共点.学#科网 r-_ A _,一|k 2|4 当l与C2只有一个公共点时，A到l所在直线的距离为 2,所以j 2 2,故k 日或k 0.，一,.4 一一，.，一，经检验，当k。时，l与C2没有公共点；当k 时，l与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共 点.当12与C2只有一个公共点时，A到12所在直线的距离为2,所以I 2,故k 0或k.-k2 1 3 4 一 经检验，当k 0时，li与C2没有公共点；当k 一时，I2与C2没有公共点.3 4 综上，所求Ci的方程为y-|x|2.3 23.选修4-5：不等式选讲(10分)2,x 1,【解析】(1)当 a 1 时，f(x)|x 1|x 1|,即 f(x)2x,1 x 1,2,x 1.1 故不等式f(x)1的解集为x|x.2(2)当x(0,1)时|x 1|ax 1|x成立等价于当x(0,1)时|ax 1|1成立.若 a 0,则当 x(0,1)时|ax 1|1 2，2,，所以一1,故0 a 2 a a 综上，a的取值范围为(0,2.若a 0,|ax 1|1的解集为0 x