2019年中考数学真题分类训练——专题14：图形的相似_1.pdf

2019年中考数学真题分类训练一一专题 14:图形的相似 一、选择题 1.（2019邵阳）如图，以点 O为位似中心，把 ABC放大为原图形的 2倍得到2 A B C,以下说法中 错误的是 A.ABCA A B C B.点C、点。点C三点在同一直线上 C.：=1:2 AOAA D.AB/A B【答案】C ABCH,E为AB中点，以BE为边作正方形 BEFG边EF交CD于点H,在 边BE上取点M使BM=BC作MN/BG交CD于点L,交FG于点N,欧几里得在几何原本中利用该图解释 为半径作圆弧交线 了（+）（-）=2-2,现以点 为圆心，段 于点，连结，记 的面 abab a b F FE DH P EP EPH 积为S1,图中阴影部分的面积 S1 为 S2.若点A,L,G在同一直线上，则 一的值为 S2 2.（2019温州）如图，在矩形 A.2 2 C.D.4 6【答案】C ABC中，AC=2 BC=4,D为BC边上的一点，且/CADW B.若 ADC的面积为 a,则 ABD的面积为 3.（2019淄博）如图，在 A.2a C.3a【答案】C 4.（2019杭州）如图，在 重合），连接AM交DE于点 A AD B.5a 2 D.7a 2 ABCH 点D,E分别在AB和AC上，DE/BC,M为BC边上一点（不与点 N,则 B.MN DN CE NE D.MC BM B,C BD MN AN AN AE C DN N E BM MC【答案】C AB II EF/DC AD/BC,EF与AC交于点G,则是相似三角形共有 5.（2019玉林）如图,A.3对 B.5对 C.6对 D.8对【答案】C 6.（2019常德）如图，在等腰三角形 ABC中，AB=AC图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积 为1,AABC的面积为 42,则四边形 DBCE勺面积是 A/A.20 B.22 C.24 D.26【答案】D 7.（2019凉山）如图，在 ABC中，D在AC边上，AD：DC=1：2,。是BD的中点，连接 AO并延长交 BC于 E,贝U BE：EC=A.1：2 B.1：3 C.1：4 D.2：3【答案】B 8.（2019 赤峰）如图，E 分别是 ABC边 AB,AC上的点，/ADEW ACB 若 AD=2 AB=6,AC=4 贝U AE 的长是 A.1【答案】C B.2 D.4 C.3 9.（2019 重庆）如图，ABCA CDO 若 BO=6 DO=3 CD=2 贝U AB的长是 “兵”所在位置的格点构成的三角形相似 【答案】B EFL AC于点F,E如EF交AB于点G.若EF=EG则CD的长为 A.2 B.3 D.5【答案】C 10.（2019连云港）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、A.处 B.处 D.处 11.（2019安徽）如图，在 Rt ABC中，/ACB=90,AC=6,BC=12点D在边BC上，点E在线段AD上,A.3.6 B.4 C.4.8 D.5 C.4 C.处 【答案】B 12.（2019 兰州）已知 ABCA ABC,AB=8,AB=6,则 BC BC A.2 B.4 c.3 D.16 3 9【答案】B 13.（2019常州）若 ABbA BC，相似比为 1：2,则 ABCA AB C的周长的比为 【答案】B 二、填空题 14.（2019吉林）在某一时刻，测得一根高 为 1.8m的竹竿的影长为 3m,同时同地测得一栋楼的影长为 90m则这栋楼的高度为 m【答案】54 3上的动点，连 15.（2019台州）如图，直线 1/2/3,分别为直线 1,2,接，线 l l l ABC l l l ABBCAC BD=4且L=_2，则m+n的最大值为.n 3 h 1.44?-策 25【答案】16.（2019南京）如图，在 ABC中，BC的垂直平分线 MN交AB于点D,CD平分Z ACB若AD=2,BD=3 则AC的长 _ A.2:1 B.1:2 C.4:1 D.1:4 段AC交直线l2于点 D.设直线l1,l2之间的距离为 m 直线l 2,l3之间的距离为n,若Z ABC=90,.0 烟台)如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长 均为 相似比为 匚把 ABCS小，得到 A1B1O贝U点 2 或(-2,-1)如图，以点 O为位似中心，将 OA城大后得到 OCD OA=2 AC=3,则 当二 为 A(-2,-1),B(-2,-3),O(0,0),AA1B1O1顶点坐标分别为 A1(1,-1),B1(1,-5),O1(5,与 111是以点 ABO ABO 为位似中心的位似图形，贝U 点的坐标为 P P|H.4 0.:I V*-:8 18.(2019)本溪)在平面直角坐标系中，点 A,B的坐标分别是 A(4,2),B(5,0),以点O为位似中心,19.(2019 宜宾)如图，已知直角 ABC中,CD是斜边 AB上的高，AC=4,BC=3贝U AD=17.(2019 1个单位长度，ABO的顶点坐标分别 A的对应点A1的坐标为 20.(2019 河池)CD 【答案】DE=2 BC=6,贝U EF=【答案】4 三、解答题 22.(2019福建)已知 ABC和点A,如图.(1)以点 A为一个顶点作 ABC，使 ABC ABC且 ABC的面积等于 ABC面积的4倍;尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2)设D、E、F分别是 ABC三边AB BC AC的中点，D、E、F分别是你所作的 ABC三边AB、人%/B/A JL 5 3,直 21.（2019淮安）如图，1 II 2 线 3分另U相交于、与1、2、点 a b l l l ABC 和点、.若 DEF=3,AB(要求:BC、CA的中点，求证：DEfA DEF J 解：（1）作线段 AC=2AC、AB=2AB、BC=2BC,得 ABC即可所求.AC=2AC、AB=2AB、BC=2BC,/.AABCA A B C,/.SAAZC _ _(AB)2=4.S2 ABC AB(2)如图,.DE _1BC,DAC,EF1AB,2 2/.ADEFA ABC 同理：DEF ABC,由(1)可知：ABCA A B C,/.ADEFA DEF.23.(2019绍义)如图，矩形 ABC呻，AB=a BC=b点M N分别在边AB,CD上，点E,F分别在边BC,D、E、F分别是 ABC三边AB BC AC的中点,AD上，MN EF交于点 P,记 k=MN EF.(1)若：的值为1,当 时，求 的值.(2)若a:b的值为 一，求k的最大值和最小值.2 3 3 若k的值为3,当点N是矩形的顶点，/MPE=60,MP=EF=3P时，求a：b的值.作FHL BC于H,MQ CD于Q,设EF交M町点O.四边形 ABC睡正方形，FH=AB MQ=BC.AB=CB FH=MQ EFL MN ./EON=90,/ECN=90,./MNQ+CEO=180,/FEHN CEO=180,:、/FEH=Z MNQ./EHF=Z MQN=90,/.AFHEA MQN(ASA),MN=EF k=MN EF=1.(2).a:b=1:2,.b=2a,由题意：2v,v ,解：（1）如图1中,aMN 5a a EF 5a.当MN的长取最大时，EF取最短，此时 k的值最大，最大值为 V 5,当MN的长取最短时，EF的值取最大，此时 k的值最小，最小值为 5 5(3)连接 FN,ME MN EF.k=3,MP=EF=3PE 二=3,PM PE PN PF 二 _ _2,PM PE/.APNFA PME NF PN 2,ME/NF,ME PM 设 PE=2m 贝U PF=4m MP=6m NP=12m 如图2中，当点 N与点D重合时，点 M恰好与点B重合.过点 F作FHL BD于点H.YT./=/=60,MPE FPH PH=2mFH=23mDH=10m 二 a 一=AB-=3 b AD HD 5 如图3中，当点 N与点C重合，过点E作EhU M町点H.则PH=m HE/3R)ME/FC,./MEB=FCBW CFD./B=Z D,.MEIA CFD.=+=13,.tan/-MB HCE BC HC-HE 13 CD FC 2,-a CD 2MB 23,MB ME b BC BC 13 r 厂 V V 综上所述，a:b的值为 3或23 5 13 L 2=01/1/8=oa+i/i=oi/i/2-Z 2 L=ao-aa=oa.乙 乙 乙 0v=e日.0=ev=ao 百 廿。av=aa.乙 乙 i7=i/iv=ai/i=i/ia/&日IAI avi/i 7 di/i=i/ia/06=aav 7百 dai/i aav 7.baa aai/i 7/ho/i/ia（乙）o av=aa.ao aa.Xiaav doa y取 06=aoa aav 7百&ao aav 7.bav 74?iaa/.:血亚（L）:搠 ,WNIAI/fe=av 69=ao 呈（乙）bo-av=aa 顼*（L）N av ao/i/ia 革 a bav 7导水日e 06=aoa aav 7 图皿（中迎 6io乙）.死 羊神BOM BW CD,MNA CND BM _2，且 MC=2 J7,CD CN 3 MN=7.5 25.(2019舟山)小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展.(1)温故：如图 1,在 ABC中，ADL BC于点D,正方形 PQMN勺边QM在BC上，顶点 P,N分别在AB,AC 上，若BC=a,AD=h求正方形 PQMN勺边长(用 a,h表示).(2)操作：如何画出这个正方形 PQMNE?如图2,小波画出了图 1的 ABC然后按数学家波利亚在怎样解题中的方法进行操作：先在 AB上任取 一点P,画正方形 PQMN，使点Q,M在BC边上，点N在 ABC内，然后连结 BN，并延长交 AC于点 N,画N以BC于点M NPL NM交AB于点P,PCL BC于点Q,得到四边形 PQMN(3)推理：证明图 2中的四边形 PQMN1正方形.(4)拓展：小波把图 2中的线段BN称为“波利亚线”，在该线上截取 ZQEM=90时，求“波利亚线”BN的长(用a,h表示).请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题.NE=NM连结EQ EM（如图3）,当 解：(1)证明：如图 1,由正方形 PQMN得 PN/BC,APtA ABC NP-AEp PN -hPN BC AD a h (3)证明：由画法得，/QMN=PNM=POM=90,四边形PQMNJ矩形,.NM BC,N以 BC,.NM/NM.BNMs BNM NM!PN_.NM PN.N M=P N,.NM=PN 四边形PQMN?正方形.(4)如图2,过点N作NFUME于点R.id：.NE=NM /NEM=NME 1 ER=RM1EM 2 NMBN,TOW!NMBN NP=BN_ NP BN PZ 乂./EQM+EMQ=EMQ+EMN=90,./EQM=EMN.又/QEM NRM=90,NM=QM.EQfA RMN(AA0,.EQ=RM EQ=EM 2:/QEM=90,.BEQV NEM=90,./BEQW EMB 乂./EBMW QBE/.ABECA BME BQ _=_BEEQ BE BMEM 设 BQ=x 贝U BE=2x,BM=4x QM=BM BQ=3x=MN=NE BN=BE+NE=5x.5NM=5ah BN=-3 3a 3h 26.（2019巴中）ABC在边长为 1的正方形网格中如图所示.以点C为位似中心，作出 ABC的位似图形 A1B1C使其位似比为 1：2.且 A1B1C位于点C的异侧，并 表示出A1的坐标.作出 ABC绕点C顺时针旋转 90后的图形 A2B2C 在的条件下求出点 B经过的路径长.如图，A2B2C为所作.OB=2 42 17 点B经过的路径长=90”17乎 _ J17 180 2 27.(2019 衢州)如图，在 RtAABC中，Z C=90,AC=6 Z BAC=60,AD平分Z BAC&BC于点 D,过点 D作DE/AC交AB于点E,点M是线段AD上的动点，连结 BM并延长分别交 D核AC于点F、G.解：如图，A1B1C为所作，点 A1的坐标为(3,-3).C G 在 RtAADC,DC=AC?tan30=6 2 3.畚用圈(1)求CD的长.(2)若点M是线段AD的中点，求EF的值.DF(3)请问当DM的长满足什么条件时，在线段 DE上恰好只有一点 P,使得/CPG=60?(1)平分Z,/=60,AD BACBAC.Z DAC/BAC=30,2 解:(2)由题意易知：.DE/AC,./EDAW DAC/DFM芝 AGM.AM=DM DFI AGM(ASA,-DF=AG 由 DE/AC,得 BFA BGA EFBEBDAGABBC EF EF BD 4 _3 2.DF _ AG _ BC _ 板3_ 3 了(3)./CPG=60，过C,P,G作外接圆，圆心为 Q,.CQ决顶角为120。的等腰三角形.当。Q与DE相切时，如图1,过点Q作Q&AC于H,并延长HQ与DE交于点P.连结QC QG 图1 设OQ 的半径 QP=r.则 QH 1 r,r 1 r=23,-2 2 一 4 _3 4 3 解得 一一 r 3 3 易知DFW AAGM可得DM DF 4,AM AG 3 BC=63 BD=43 当。Q经过点E时，如图2,过点C作CQAB,垂足为K,设OQ 的半径 QC=QE=r 贝U QK=3 S r.V 图2 在 Rt AEQK中，12+（33_r）2=r2,解得 r _43,9-技3 一 14,9 3 _r 易知 DFAGM 可得 DMT=，5 当。Q经过点D时，如图3中，此时点 M与点G重合，且恰好在点 A处，可得DM=4 J3.图3 B J V V 厂.综上所述，当=63 口、143 4 V 时，满足条件的点 7 5 OE小明同学先在操场上 A处放一面镜子，向后退到 B处,只有一 个.P 28.（2019荆门）如图，为了测虽一栋楼的高度 AC=2m BD=2.1m如果小明眼睛距地面高度 BF,DG为1.6m,试确 C F S/D C B A 0 M由光的反射定律知，延长 GC FA相交于点 M连接GF并延长交 OE 于点H,.GF/AC,MA(A MFG ACMAM(FGMFMH 即：AC OE OE BDMH _ MOOH OE 2,OE=3 OE1.6-2.1 答：楼的高 度 OE为32米.29.(2019 安徽)如图，Rt ABC 中，Z ACB=90,AC=BC P ABC 内部一点，且 Z 恰好在镜子中看到楼的顶 部 E;再将镜子放 到 C处，然后后退 D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶 至V 部 E(O,A,B,C,D在同一条直线上)，测 得 定楼的高 OE 度 解：如图，设 E关于O的对称点为 OE OEBF 十 APBW BPC=135.(1)求证：PAEA PBG(2)求证：PA=2PC(3)若点P到三角形的边 AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,求证h12=h2-h3.证明：(1).Z ACB=90,AB=BC ./ABC=45=/PBAN PBC 又/APB=135,.PAB+/PBA=45,:、/PBC之 PAB 乂./APB=Z BPC=135 PAB PBC 二 iPB-AB PB PC BC 在 Rt ABC 中，AB=AC AB=2,BC.PB 三必2PC,PA 2PB,PA=2PC(3)如图，过点 P作PDL BC,PI AC交BG AC于点D,E,.PF=h1,PD=h2 PE=h3,./CPB APB=135+135=270,./APC=90,B B PA(2).A PAEA PBC （2）如 1,在四边 ABC国口四边 A1B1C1D忡，图 形 形 Z ABCW AB BC CD A1B1C1 C1D1,=.求/BCDW B1 A1B1 GD ./EAP+/ACP=90,乂.ZACBM ACP PCD=90,:、/EAP=Z PCD Rt AEE Rt CDP 2 PE AP 上3一 2,3,DP PC 2，即 h2 h=2h hi AB-PAEA PBC.一一 一 2,h2 BC.hi 2h2,hi 2h2 2h2 h2 h2h3.即 h=h-h.1 2 3 30.（2019长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相 似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比.（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”四条边成比例的两个凸四边形相似；（命题）三个角分别相等的两个凸四边形相似；（命题）两个大小不同的正方形相似.（命题）解：(1)四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等.三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例.两个大小不同的正方形相似.是真命题.故答案为：假，假，真.(2)证明：如图 1中，连接 BD,B1D1 BC CD./=/111,且 BCDBCD BC CD/.ABCtA B1C1D1 ./CDBW C1D1B1 ZC1B1D1W CBD AB BC CD BD AB ,二 AB BC CD BiD A1B1./ABC之 A1B1C1 ./ABD之 A1B1D1 /.AABCA A1B1D1 AD AB,ZA=/A1,Z ADBW A1D1B1 A1D A1B1 AB BC CD AD -=-=-=-,ZADCnA1D1C1/A=ZA1,ABC=A1B1C1 Z BCD=B1C1D1 AB BC CD AD 四边形 与四边形 1111相似.ABCD ABCD(3)证明：.四边形 ABC曲四边形EFCDI似.DEEF-AEAB 十.EF=OE+O F.DE-OE OF AE AB 11 11，EF ABCD _DE-DE OE _OF .AD=DE+AE 2 1 DE AE AE 2AE=DE+AE.AE=DE S1=1.S2 AD AB AD AB AB AD AD AB AB AD AE