平面向量痛点问题之三角形“四心”问题--2023年高一数学微专题含答案.pdf
题型一：重心定理题型二：内心定理题型三：外心定理题型四：垂心定理【知识点梳理】一、四心的概念介绍：题型一：重心定理题型二：内心定理题型三：外心定理题型四：垂心定理【知识点梳理】一、四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直二、三角形四心与推论：二、三角形四心与推论：(1)O是ABC的重心：SBOC:SCOA:SA0B=1:1:1OA+OB+OC=0(2)O是ABC的内心：SB0C:SCOA:SAOB=a:b:caOA+bOB+cOC=0(3)O是ABC的外心：SB0C:SCOA:SAOB=sin2A:sin2B:sin2Csin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0(4)O是ABC的垂心：SB0C:SCOA:SAOB=tanA:tanB:tanCtanAOA+tanBOB+tanCOC=0【方法技巧与总结】【方法技巧与总结】(1)内心：三角形的内心在向量AB AB+AC AC 所在的直线上.AB PC+BC PC+CA PB=0P为ABC的内心.(2)外心：PA=PB=PC P为ABC的外心.(3)垂心：PA PB=PB PC=PC PA P为ABC的垂心.(4)重心：PA+PB+PC=0P为ABC的重心.2023年高一数学微专题微专题 平面向量痛点问题之三角形微专题 平面向量痛点问题之三角形“四心四心”问题问题【题型归纳目录】【题型归纳目录】【典型例题】【典型例题】题型一：重心定理题型一：重心定理例例1.1.(20232023春春 山东聊城山东聊城 高一山东聊城一中校考阶段练习高一山东聊城一中校考阶段练习)已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足GA+GB+GC=0，则G点是三角形ABC的()A.垂心B.内心C.外心D.重心例例2.2.(20232023 春春 山东山东 高一阶段练习高一阶段练习)已知 G 是 ABC 的重心，点 D 满足 BD=DC，若 GD=xAB+yAC，则x+y为()A.13B.12C.23D.1例例3.3.(20232023 春春 上海金山上海金山 高一上海市金山中学校考期末高一上海市金山中学校考期末)记 ABC 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，点G是ABC的重心，若BGCG,5b=6c则cosA的取值是()A.5975B.5775C.1115D.6175题型二：内心定理题型二：内心定理例例4.4.(20232023 春春 江苏宿迁江苏宿迁 高一沭阳县修远中学校考期末高一沭阳县修远中学校考期末)已知点 P 为 ABC 的内心，BAC=23,AB=1,AC=2，若AP=AB+AC，则+=_例例5.5.(20232023春春 陕西西安陕西西安 高一陕西师大附中校考期中高一陕西师大附中校考期中)已知O是平面上的一个定点，ABC是平面上不共线的三点，动点P满足OP=OA+AB AB+AC AC R，则点P的轨迹一定经过ABC的()A.重心B.外心C.内心D.垂心例例6.6.(20232023 全国全国 高一假期作业高一假期作业)已知I为ABC所在平面上的一点，且 AB=c,AC=b,BC=a.若aIA+bIB+cIC=0，则I是ABC的()A.重心B.内心C.外心D.垂心例例7.7.(20232023 春春 四川成都四川成都 高一树德中学校考竞赛高一树德中学校考竞赛)在 ABC 中，cosA=34，O 为 ABC 的内心，若 AO=xAB+yAC x,yR，则x+y的最大值为()A.23B.6-65C.7-76D.8-2 27题型三：外心定理题型三：外心定理例例8.8.(20232023 春春 湖北武汉湖北武汉 高一校联考期末高一校联考期末)在 ABC 中，AB=2,AC=3,N 是边 BC 上的点，且 BN=NC,O为ABC的外心，则AN AO=()A.3B.134C.92D.94例例9.9.(20232023春春 河南许昌河南许昌 高一统考期末高一统考期末)已知P在ABC所在平面内，满足 PA=PB=PC，则P是ABC的()A.外心B.内心C.垂心D.重心例例10.10.(20232023 春春 四川自贡四川自贡 高一统考期末高一统考期末)直角 ABC 中，C=90,AB=4,O 为 ABC 的外心，OA OB+OB OC+OC OA=()A.4B.-4C.2D.-2例例11.11.(20232023 春春 辽宁丹东辽宁丹东 高一凤城市第一中学校考阶段练习高一凤城市第一中学校考阶段练习)已知 O 为 ABC 的外心，若 AB=1，则AB AO=()A.-12B.12C.-1D.23题型四：垂心定理题型四：垂心定理例例12.12.(20232023 春春 河南南阳河南南阳 高一统考期中高一统考期中)若 H 为 ABC 所在平面内一点，且 HA 2+BC 2=HB 2+CA 2=HC 2+AB 2则点H是ABC的()A.重心B.外心C.内心D.垂心例例13.13.(多选题多选题)()(20232023春春 湖南长沙湖南长沙 高一长沙市明德中学校考期中高一长沙市明德中学校考期中)已知O，N，P，I在ABC所在的平面内，则下列说法正确的是()A.若 OA=OB=OC，则O是ABC的外心B.若PA PB=PB PC=PC PA，则P是ABC的垂心C.若NA+NB+NC=0，则N是ABC的重心D.若CB IA=AC IB=BA IC=0，则I是ABC的垂心例例14.14.(20232023 春春 河南商丘河南商丘 高一商丘市第一高级中学校考阶段练习高一商丘市第一高级中学校考阶段练习)设 H 是 ABC 的垂心，且 4HA+5HB+6HC=0，则cosAHB=_【同步练习】【同步练习】一、一、单选题单选题1.(20232023 四川泸州四川泸州 泸县五中校考二模泸县五中校考二模)已知ABC的重心为O，则向量BO=()A.23AB+13AC B.13AB+23AC C.-23AB+13AC D.-13AB+23AC 2.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)对于给定的 ABC，其外心为 O，重心为 G，垂心为 H，则下列结论不正确的是()A.AO AB=12AB2B.OA OB=OA OC=OB OC C.过点G的直线l交AB、AC于E、F，若AE=AB，AF=AC，则1+1=3D.AH 与AB AB cosB+AC AC cosC共线3.(20232023 四川四川 校联考模拟预测校联考模拟预测)在平行四边形ABCD中，G为BCD的重心，AG=xAB+yAD，则3x+y=()A.73B.2C.83D.34.(20232023秋秋 河南信阳河南信阳 高三校考阶段练习高三校考阶段练习)过ABC的重心任作一直线分别交AB、AC于点D、E，若AD=xAB，AE=yAC，且xy0，则1x+1y=()A.4B.3C.2D.15.(20232023秋秋 上海上海 高二专题练习高二专题练习)O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：OP=OA+(AB+AC),0，则直线AP一定通过ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心6.(20232023秋秋 湖北湖北 高二校联考期中高二校联考期中)O是ABC的外心，AB=6,AC=10，AO=xAB+yAC,2x+10y=5，则cosBAC=()A.12B.13C.35D.13或357.(20232023 湖南湖南 高考真题高考真题)P 是 ABC 所在平面上一点，若 PA PB=PB PC=PC PA，则 P 是ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心8.(20232023 全国全国 高一专题练习高一专题练习)已知点O,P在ABC所在平面内，满OA+OB+OC=0，PA=PB=PC，则点O,P依次是ABC的()A.重心，外心B.内心，外心C.重心，内心D.垂心，外心9.(20232023 全国全国 高一专题练习高一专题练习)已知O,A,B,C是平面上的4个定点，A,B,C不共线，若点P满足OP=OA+AB+AC，其中R，则点P的轨迹一定经过ABC的()A.重心B.外心C.内心D.垂心10.(20232023 春春 安徽安庆安徽安庆 高一安庆一中校考阶段练习高一安庆一中校考阶段练习)在 ABC 中，设 O 是 ABC 的外心，且 AO=13AB+13AC，则BAC等于()A.30B.45C.60D.9011.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)在ABC中,AB=2,ACB=45,O是ABC的外心,则AC BC+OC AB 的最大值为()A.1B.32C.3D.7212.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)在 ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，O 为 ABC 的内心，若 AO=AB+BC，则+=()A.23B.34C.56D.3513.(20232023秋秋 四川绵阳四川绵阳 高二四川省绵阳南山中学校考开学考试高二四川省绵阳南山中学校考开学考试)若O，M，N在ABC所在平面内，满足|OA|=|OB|=|OC|,MA MB=MB MC=MC MA，且NA+NB+NC=0，则点O，M，N依次为ABC的()A.重心，外心，垂心B.重心，外心，内心C.外心，重心，垂心D.外心，垂心，重心14.(20232023 春春 浙江绍兴浙江绍兴 高二校考学业考试高二校考学业考试)已知点 O，P 在 ABC 所在平面内，且 OA=OB=OC，PA PB=PB PC=PC PA，则点O，P依次是ABC的()A.重心，垂心B.重心，内心C.外心，垂心D.外心，内心二、二、多选题多选题15.(20232023 春春 河南河南 高一校联考期中高一校联考期中)已知ABC的重心为O，边AB,BC,CA的中点分别为 D,E,F，则下列说法不正确的是()A.OA+OB=2OD B.若ABC为正三角形，则OA OB+OB OC+OC OA=0C.若AO AB-AC=0，则OABCD.OD+OE+OF=016.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)如图，M是ABC所在平面内任意一点，O是ABC的重心，则()A.AD+BE=CF B.MA+MB+MC=3MO C.MA+MB+MC=MD+ME+MF D.BC AD+CA BE+AB CF=017.(20232023秋秋 重庆渝北重庆渝北 高二重庆市两江育才中学校校考阶段练习高二重庆市两江育才中学校校考阶段练习)设O为ABC的外心，且满足2OA+3OB+4OC=0，OA=1，则下列结论中正确的是()A.OB OC=-78B.AB=62C.A=2CD.sinA=1418.(20232023 春春 安徽淮北安徽淮北 高一淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习高一淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习)生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的 三角形的几何学 一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上”这就是著名的欧拉线定理在 ABC 中，O，H，G 分别是外心、垂心和重心，D 为 BC 边的中点，下列四个选项中正确的是()A.GH=2OGB.GA+GB+GC=0C.AH=2ODD.SABG=SBCG=SACG19.(20232023 全国全国 模拟预测模拟预测)在ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，点O为ABC内的一点，则下列结论正确的是()A.若AO=OD，则AO=12OB+OC B.若AO=2OD，则OB=2EO C.若AO=3OD，则OB=58AB+38AC D.若点O为ABC的外心，BC=4，则OB BC=-420.(20232023春春 河北石家庄河北石家庄 高一统考期末高一统考期末)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理已知 ABC 的外心为 O，垂心为 H，重心为 G，且 AB=3，AC=4，下列说法正确的是()A.AH BC=0B.AG BC=-73C.AO BC=72D.OH=OA+OB+OC 三、三、填空题填空题21.(20232023 秋秋 上海长宁上海长宁 高二上海市延安中学校考期中高二上海市延安中学校考期中)已知 ABC 的顶点坐标 A-6,2、B 6,4，设G 2,0是ABC的重心，则顶点C的坐标为_.22.(20232023 秋秋 山西吕梁山西吕梁 高三统考阶段练习高三统考阶段练习)设 O 为 ABC 的外心，且满足 2OA+3OB+4OC=0，OA=1，下列结论中正确的序号为_OB OC=-78；AB=2；A=2C23.(20232023 河北河北 模拟预测模拟预测)已知 O 为 ABC 的外心，AC=3，BC=4，则 OC AB=_24.(20232023秋秋 上海嘉定上海嘉定 高二上海市嘉定区第一中学校考期中高二上海市嘉定区第一中学校考期中)已知ABC为ABC的三个内角，有如下命题：若ABC是钝角三角形，则tanA+tanB+tanC0；若ABC是锐角三角形，则cosA+cosBCB，其中正确命题的序号是_.25.(20232023秋秋 天津南开天津南开 高三南开大学附属中学校考开学考试高三南开大学附属中学校考开学考试)在ABC中，AB=3，AC=5，点N满足BN=2NC，点O为ABC的外心，则AN AO 的值为_.26.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知G为ABC的内心，且cosAGA+cosBGB+cosCGC=0，则A=_27.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)在ABC中，cosBAC=13，若O为内心，且满足 AO=xAB+yAC，则x+y的最大值为_28.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)设I为ABC的内心，若AB=2，BC=2 3，AC=4，则AIBC=_微专题微专题平面向量痛点问题之三角形平面向量痛点问题之三角形“四心四心”问题问题【题型归纳目录】【题型归纳目录】题型一：重心定理题型一：重心定理题型二：内心定理题型二：内心定理题型三：外心定理题型三：外心定理题型四：垂心定理题型四：垂心定理【知识点梳理】【知识点梳理】一、一、四心的概念介绍：四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直二、二、三角形四心与推论：三角形四心与推论：(1)O是ABC的重心：SBOC:SCOA:SA0B=1:1:1OA+OB+OC=0(2)O是ABC的内心：SB0C:SCOA:SAOB=a:b:caOA+bOB+cOC=0(3)O是ABC的外心：SB0C:SCOA:SAOB=sin2A:sin2B:sin2Csin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0(4)O是ABC的垂心：SB0C:SCOA:SAOB=tanA:tanB:tanCtanAOA+tanBOB+tanCOC=0【方法技巧与总结】【方法技巧与总结】(1)内心：三角形的内心在向量AB AB+AC AC 所在的直线上.AB PC+BC PC+CA PB=0P为ABC的内心.(2)外心：PA=PB=PC P为ABC的外心.(3)垂心：PA PB=PB PC=PC PA P为ABC的垂心.(4)重心：PA+PB+PC=0P为ABC的重心.【典型例题】【典型例题】题型一：重心定理题型一：重心定理例例1.1.(20232023春春 山东聊城山东聊城 高一山东聊城一中校考阶段练习高一山东聊城一中校考阶段练习)已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足GA+GB+GC=0，则G点是三角形ABC的()A.垂心B.内心C.外心D.重心【答案】D【解析】因为GA+GB+GC=0，所以GA+GB=-GC=CG.以GA、GB为邻边作平行四边形GADB，连接GD交AB于点O.如图所示:则CG=GD，所以GO=13CO，CO是AB边上的中线，所以G点是ABC的重心.故选：D例例2.2.(20232023 春春 山东山东 高一阶段练习高一阶段练习)已知 G 是 ABC 的重心，点 D 满足 BD=DC，若 GD=xAB+yAC，则x+y为()A.13B.12C.23D.1【答案】A【解析】因为BD=DC，所以D为BC中点，又因为G是ABC的重心，所以GD=13AD，又因为D为BC中点，所以AD=12AB+12AC，所以GD=1312AB+12AC=16AB+16AC，所以x=y=16，所以x+y=13.故选：A例例3.3.(20232023 春春 上海金山上海金山 高一上海市金山中学校考期末高一上海市金山中学校考期末)记 ABC 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，点G是ABC的重心，若BGCG,5b=6c则cosA的取值是()A.5975B.5775C.1115D.6175【答案】D【解析】依题意，作出图形，因为点G是ABC的重心，所以M是BC的中点，故AM=12AB+AC，由已知得 BC=a,AC=b,AB=c，因为BGCG，所以GM=12BC=12a，又因为点G是ABC的重心，所以GM=12GA，则AM=12a+a=32a，又因为 AM 2=14AB+AC 2，所以94a2=14c2+b2+2bccosA，则9a2=c2+b2+2bccosA，又由余弦定理得a2=c2+b2-2bccosA，所以9 c2+b2-2bccosA=c2+b2+2bccosA，整理得2c2+2b2-5bccosA=0，因为5b=6c，令b=6k k0，则c=5k，所以2 5k2+2 6k2-5 6k 5kcosA=0，则cosA=122150=6175.故选：D.题型二：内心定理题型二：内心定理例例4.4.(20232023 春春 江苏宿迁江苏宿迁 高一沭阳县修远中学校考期末高一沭阳县修远中学校考期末)已知点 P 为 ABC 的内心，BAC=23,AB=1,AC=2，若AP=AB+AC，则+=_【答案】9-3 72【解析】在ABC，由余弦定理得BC=AC2+AB2-2ACABcosBAC=7,设O,Q,N分别是边AB,BC,AC上的切点，设AN=AO=x，则NC=QC=2-x,BO=BQ=1-x，所以BC=BQ+QC=1-x+2-x=7 x=3-72，由AP=AB+AC 得，AP AB=AB+AC AB，即 AO AB=AB2+AC AB AO=-，同理由AP AC=AB+AC AC 2AN=-+4,联立以及AN=AO=x即可解得：+=3x=33-72=9-3 72，故答案为：9-3 72例例5.5.(20232023春春 陕西西安陕西西安 高一陕西师大附中校考期中高一陕西师大附中校考期中)已知O是平面上的一个定点，ABC是平面上不共线的三点，动点P满足OP=OA+AB AB+AC AC R，则点P的轨迹一定经过ABC的()A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】C【解析】因为AB AB 为AB 方向上的单位向量，AC AC 为AC 方向上的单位向量，则AB|AB|+AC|AC|的方向与BAC的角平分线一致，由OP=OA+AB AB+AC AC ，可得OP-OA=AB AB+AC AC ，即AP=AB AB+AC AC ，所以点P的轨迹为BAC的角平分线所在直线，故点P的轨迹一定经过ABC的内心.故选：C.例例6.6.(20232023 全国全国 高一假期作业高一假期作业)已知I为ABC所在平面上的一点，且 AB=c,AC=b,BC=a.若aIA+bIB+cIC=0，则I是ABC的()A.重心B.内心C.外心D.垂心【答案】B【解析】因为IB=IA+AB,IC=IA+AC，所以aIA+bIB+cIC=aIA+b IA+AB+c IA+AC=a+b+cIA+bAB+cAC=0，所以(a+b+c)IA=-(bAB+cAC)，所以IA=-(bAB+cAC)a+b+c=-ba+b+cAB+ca+b+cAC=-1a+b+cbAB+cAC=-bca+b+cAB c+AC b=-bca+b+cAB AB+AC AC ，所以IA 在角A的平分线上，故点I在BAC的平分线上，同理可得，点I在BCA的平分线上，故点I在ABC的内心，故选：B.例例7.7.(20232023 春春 四川成都四川成都 高一树德中学校考竞赛高一树德中学校考竞赛)在 ABC 中，cosA=34，O 为 ABC 的内心，若 AO=xAB+yAC x,yR，则x+y的最大值为()A.23B.6-65C.7-76D.8-2 27【答案】D【解析】如图：圆O在边AB,BC上的切点分别为E,F，连接OE,OF，延长AO交BC于点D设OAB=，则cosA=cos2=1-2sin2=34，则sin=24设AD=AO=xAB+yAC B,D,C三点共线，则x+y=1，即x+y=11=AOAD=AOAO+ODAOAO+OF=11+OFAO=11+OEAO=11+sin=11+24=8-2 27即x+y8-2 27故选：D题型三：外心定理题型三：外心定理例例8.8.(20232023 春春 湖北武汉湖北武汉 高一校联考期末高一校联考期末)在 ABC 中，AB=2,AC=3,N 是边 BC 上的点，且 BN=NC,O为ABC的外心，则AN AO=()A.3B.134C.92D.94【答案】B【解析】因为BN=NC，则N是BC的中点，所以AN=12AB+12AC，设外接圆的半径为r，所以AO AN=AO 12AC+12AB=12AO AC+12AO AB=12r3cosOAC+12r2cosOAB=12332+1221=134故选：B例例9.9.(20232023春春 河南许昌河南许昌 高一统考期末高一统考期末)已知P在ABC所在平面内，满足 PA=PB=PC，则P是ABC的()A.外心B.内心C.垂心D.重心【答案】A【解析】PA=PB=PC 表示P到A,B,C三点距离相等，P为外心故选：A例例10.10.(20232023 春春 四川自贡四川自贡 高一统考期末高一统考期末)直角 ABC 中，C=90,AB=4,O 为 ABC 的外心，OA OB+OB OC+OC OA=()A.4B.-4C.2D.-2【答案】B【解析】直角ABC中，C=90，AB=4，O为ABC的外心，O为AB的中点，即OA=OB=2，OA+OB=0且OA OB=|OA|OB|cos180=-4，OA OB+OB OC+OC OA=-4+OC(OA+OB)=-4+0=-4，故选：B例例11.11.(20232023 春春 辽宁丹东辽宁丹东 高一凤城市第一中学校考阶段练习高一凤城市第一中学校考阶段练习)已知 O 为 ABC 的外心，若 AB=1，则AB AO=()A.-12B.12C.-1D.23【答案】B【解析】因为点O为ABC的外心，设AB的中点为D，连接OD，则ODAB，如图所以AB AO=AB(AD+DO)=AB AD+AB DO=12AB2+0=1212=12.故选：B.题型四：垂心定理题型四：垂心定理例例12.12.(20232023 春春 河南南阳河南南阳 高一统考期中高一统考期中)若 H 为 ABC 所在平面内一点，且 HA 2+BC 2=HB 2+CA 2=HC 2+AB 2则点H是ABC的()A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】D【解析】HA 2+BC 2=HB 2+CA 2 HA 2+BH+HC 2=HB 2+CH+HA 2，得BH HC=CH HA HC BA=0，即HC BA；HA 2+BC 2=HC 2+AB 2 HA 2+BH+HC 2=HC 2+AH+HB 2，得BH HC=AH HB BH AC=0，即BH AC；HB 2+CA 2=HC 2+AB 2 HB 2+CH+HA 2=HC 2+AH+HB 2，CH HA=AH HB HA CB=0，即HA CB，所以H为ABC的垂心.故选：D.例例13.13.(多选题多选题)()(20232023春春 湖南长沙湖南长沙 高一长沙市明德中学校考期中高一长沙市明德中学校考期中)已知O，N，P，I在ABC所在的平面内，则下列说法正确的是()A.若 OA=OB=OC，则O是ABC的外心B.若PA PB=PB PC=PC PA，则P是ABC的垂心C.若NA+NB+NC=0，则N是ABC的重心D.若CB IA=AC IB=BA IC=0，则I是ABC的垂心【答案】ABCD【解析】对A，根据外心的定义，易知A正确；对B，PB PA-PC=PB CA=0PBCA，同理可得：PACB,PCAB，所以P是垂心，故B正确；对C，记AB、BC、CA的中点为D、E、F，由题意NA+NB=2ND=-NC，则|NC|=2|ND|，同理可得：|NA|=2|NE|,|NB|=2|NF|，则N是重心，故C正确；对D，由题意，CBIA,ACIB,BAIC，则I是垂心，故D正确故选：ABCD.例例14.14.(20232023 春春 河南商丘河南商丘 高一商丘市第一高级中学校考阶段练习高一商丘市第一高级中学校考阶段练习)设 H 是 ABC 的垂心，且 4HA+5HB+6HC=0，则cosAHB=_【答案】-2211【解析】H是ABC的垂心，HA BC，HA BC=HA HC-HB=0，HA HB=HC HA，同理可得，HB HC=HC HA，故HA HB=HB HC=HC HA，4HA+5HB+6HC=0，4HA 2+5HA HB+6HA HC=0，HA HB=-411HA 2，同理可求得HA HB=-12HB 2，cosAHB=HB HA HB HA=-411HA 2HB HA，cosAHB=HB HA HB HA=-12HB 2HB HA，cos2AHB=211，即cosAHB=-2211.故答案为：-2211【同步练习】【同步练习】一、一、单选题单选题1.(20232023 四川泸州四川泸州 泸县五中校考二模泸县五中校考二模)已知ABC的重心为O，则向量BO=()A.23AB+13AC B.13AB+23AC C.-23AB+13AC D.-13AB+23AC【答案】C【解析】设E,F,D分别是AC,AB,BC的中点，由于O是三角形ABC的重心，所以BO=23BE=23 AE-AB=2312AC-AB=-23AB+13AC.故选：C.2.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)对于给定的 ABC，其外心为 O，重心为 G，垂心为 H，则下列结论不正确的是()A.AO AB=12AB2B.OA OB=OA OC=OB OC C.过点G的直线l交AB、AC于E、F，若AE=AB，AF=AC，则1+1=3D.AH 与AB AB cosB+AC AC cosC共线【答案】B【解析】如图，设AB中点为M，则OMAB，AOcosOAM=AM，AO AB=AO AB cosOAB=AB AO cosOAB=AB AB 2=12AB 2，故A正确；OA OB=OA OC 等价于OA OB-OC=0等价于OA CB=0，即OABC，对于一般三角形而言，O是外心，OA不一定与BC垂直，比如直角三角形ABC中，若B为直角顶点，则O为斜边AC的中点，OA与BC不垂直，故B错误；设BC的中点为D，则AG=23AD=13AB+AC=131AE+1AF=13AE+13AF，E，F，G三点共线，13+13=1，即1+1=3，故C正确；AB AB cosB+AC AC cosC BC=AB BC AB cosB+AC BC AC cosC=AB BC cos-BAB cosB+AC BC cosCAC cosC=-BC+BC=0，AB AB cosB+AC AC cosC与BC 垂直，又AH BC，AB AB cosB+AC AC cosC与AH 共线，故D正确.故选：B.3.(20232023 四川四川 校联考模拟预测校联考模拟预测)在平行四边形ABCD中，G为BCD的重心，AG=xAB+yAD，则3x+y=()A.73B.2C.83D.3【答案】C【解析】如图，设AC与BD相交于点O，由G为BCD的重心，可得O为BD的中点，CG=2GO，则AG=AO+OG=AO+13OC=43AO=4312AB+AD=23AB+23AD，可得x=y=23，故3x+y=83.故选：C.4.(20232023秋秋 河南信阳河南信阳 高三校考阶段练习高三校考阶段练习)过ABC的重心任作一直线分别交AB、AC于点D、E，若AD=xAB，AE=yAC，且xy0，则1x+1y=()A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】设ABC的重心为点G，延长AG交BC于点M，则M为线段BC的中点，因为D、G、E三点共线，设DG=DE，即AG-AD=AE-AD，所以，AG=1-AD+AE=1-xAB+yAC，因为M为BC的中点，则AM=AB+BM=AB+12BC=AB+12AC-AB=12AB+12AC，因为G为ABC的重心，则AG=23AM=13AB+13AC，所以，1-x=y=13，所以，1x+1y=3 1-+3=3.故选：B.5.(20232023秋秋 上海上海 高二专题练习高二专题练习)O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：OP=OA+(AB+AC),0，则直线AP一定通过ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】C【解析】取线段BC的中点E，则AB+AC=2AE 动点P满足：OP=OA+(AB+AC)，0，则OP-OA=2AE 则AP=2AE.则直线AP一定通过ABC的重心故选：C6.(20232023秋秋 湖北湖北 高二校联考期中高二校联考期中)O是ABC的外心，AB=6,AC=10，AO=xAB+yAC,2x+10y=5，则cosBAC=()A.12B.13C.35D.13或35【答案】D【解析】当O在AC上，则O为AC的中点，x=0,y=12满足2x+10y=5，符合题意，ABBC，则cosBAC=ABAC=35；当O不在AC上，取AB,AC的中点D,E，连接OD,OE，则ODAB,OEAC，则AB AO=AB AO cosOAD=AB AO AD AO=12AB 2=18，同理可得：AC AO=12AC 2=50AB AO=AB xAB+yAC=xAB2+yAB AC=36x+60ycosBAC=18，AC AO=AC xAB+yAC=xAC AB+yAC 2=60 xcosBAC+100y=50，联立可得36x+60ycosBAC=1860 xcosBAC+100y=502x+10y=5，解得x=14y=920cosBAC=13，故选：D.7.(20232023 湖南湖南 高考真题高考真题)P 是 ABC 所在平面上一点，若 PA PB=PB PC=PC PA，则 P 是ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】D【解析】因为PA PB=PB PC，则PB PC-PA=PB AC=0，所以，PBAC，同理可得PABC，PCAB，故P是ABC的垂心.故选：D.8.(20232023 全国全国 高一专题练习高一专题练习)已知点O,P在ABC所在平面内，满OA+OB+OC=0，PA=PB=PC，则点O,P依次是ABC的()A.重心，外心B.内心，外心C.重心，内心D.垂心，外心【答案】A【解析】设AB中点为D，因为OA+OB+OC=0，所以OA+OB+OC=2OD+OC=0，即-2OD=OC，因为OD,OC 有公共点O，所以，O,D,C三点共线，即O在ABC的中线CD，同理可得O在ABC的三条中线上，即为ABC的重心；因为 PA=PB=PC，所以，点P为ABC的外接圆圆心，即为ABC的外心综上，点O,P依次是ABC的重心，外心.故选：A9.(20232023 全国全国 高一专题练习高一专题练习)已知O,A,B,C是平面上的4个定点，A,B,C不共线，若点P满足OP=OA+AB+AC，其中R，则点P的轨迹一定经过ABC的()A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】A【解析】根据题意，设BC边的中点为D，则AB+AC=2AD，因为点P满足OP=OA+AB+AC，其中R所以，OP-OA=AP=AB+AC=2AD，即AP=2AD，所以，点P的轨迹为ABC的中线AD，所以，点P的轨迹一定经过ABC的重心.故选：A10.(20232023 春春 安徽安庆安徽安庆 高一安庆一中校考阶段练习高一安庆一中校考阶段练习)在 ABC 中，设 O 是 ABC 的外心，且 AO=13AB+13AC，则BAC等于()A.30B.45C.60D.90【答案】C【解析】依题意，因为AO=13AB+13AC，所以O也是ABC的重心，又因为O是ABC的外心，所以ABC是等边三角形，所以BAC=60.故选：C.11.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)在ABC中,AB=2,ACB=45,O是ABC的外心,则AC BC+OC AB 的最大值为()A.1B.32C.3D.72【答案】C【解析】解:由题知,记ABC的三边为a,b,c,因为O是ABC的外心,记AB中点为D,则有ODAB,所以OD AB=0且CD=12CA+CB,所以AC BC+OC AB=CA CB+OD+DC AB=CA CB+OD AB+DC AB=CA CB-12CA+CB AB=CA CB-12CA+CB CB-CA=CA CB+12CA 2-CB 2=bacosACB+12b2-a2=122ab+b2-a2,在ABC中,由余弦定理得:cosACB=a2+b2-c22ab=22,即a2+b2-c2=2ab,即a2+b2-2=2ab,代入中可得:AC BC+OC AB=b2-1,在ABC中,由正弦定理得:asinA=bsinB=csinC=222=2,所以b=2sinB2,所以AC BC+OC AB=b2-13,当b=2,a=c=2,A=C=45,B=90时取等,故AC BC+OC AB 的最大值为3.故选:C12.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)在 ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，O 为 ABC 的内心，若 AO=AB+BC，则+=()A.23B.34C.56D.35【答案】C【解析】由AO=AB+BC 得AO=OB-OA+OC-OB，则 1-OA+-OB+OC=0，因为O为ABC的内心，所以 BCOA+ACOB+ABOC=0，从而 1-:-:=5:4:3，解得=712，=14，所以+=56.故选：C.13.(20232023秋秋 四川绵阳四川绵阳 高二四川省绵阳南山中学校考开学考试高二四川省绵阳南山中学校考开学考试)若O，M，N在ABC所在平面内，满足|OA|=|OB|=|OC|,MA MB=MB MC=MC MA，且NA+NB+NC=0，则点O，M，N依次为ABC的()A.重心，外心，垂心B.重心，外心，内心C.外心，重心，垂心D.外心，垂心，重心【答案】D【解析】因为|OA|=|OB|=|OC|，所以 OA=OB=OC，所以O为ABC的外心；因为MA MB=MB MC=MC MA，所以MB(MA-MC)=0，即MB CA=0，所以MBAC，同理可得：MABC，MCAB，所以M为ABC的垂心；因为NA+NB+NC=0，所以NA+NB=-NC，设AB的中点D，则NA+NB=2ND，所以-NC=2ND，所以C，N，D三点共线，即N为ABC的中线CD上的点，且NC=2ND，所以N为ABC的重心故选：D14.(20232023 春春 浙江绍兴浙江绍兴 高二校考学业考试高二校考学业考试)已知点 O，P 在 ABC 所在平面内，且 OA=OB=OC，PA PB=PB PC=PC PA，则点O，P依次是ABC的()A.重心，垂心B.重心
