2023届高考数学专项练习导数解密通关技能篇专题15 导数中同构与放缩的应用(解析版).pdf

2023 届高考数学专项练习导数解密通关技能篇专题届高考数学专项练习导数解密通关技能篇专题 14 两个经典不等两个经典不等式的应用式的应用(解析版解析版)专题专题 15导数中同构导数中同构与放缩的应用与放缩的应用同构法是将不同的代数式(或不等式、方程)通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通过整体思想或换元等将问题转化的方法，这体现了转化思想此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题当然，用同构法解题，除了要有同构法的思想意识外，对观察能力，对代数式的变形能力的要求也是比较高的，考点一考点一部分同构携手放缩法部分同构携手放缩法（同构放缩需有方，切放同构一起上）【方法总结方法总结】在学习指对数的运算时，曾经提到过两个这样的恒等式：(1)当 a0 且 a1 时，有logaxxa，(2)当 a0 且 a1 时，有logxaxa再结合指数与对数运算法则，可以得到下述结论(其中 x0)(“ex”三兄弟与“lnx”三姐妹)(3)lnxxxx，lnln()xxxx(4)lnxxxx，lnlnxxxx(6)lnx xxx，lnlnxxxx再结合常用的切线不等式：1xx，exx，ln1xx，lnxx 等，可以得到更多的结论(7)lnln1xxxxxx，lnln()e1xxxxxxln(ln)xxxxxx，1elnln()xxxxxxxx(8)lnln1xxxxxx，lnlnxxxxxxln(ln)xxxxxx，1lnlnxxxxxx(9)lnln1x xxxxx，lnlnxxxxxxln(ln)x xxxxx，1lnlnxxxxxx【例题选讲例题选讲】例例 1(1)已知1()lnxf xxxx，则函数()f x的最大值为_(2)函数ln1()xxf xx的最小值是_(3)函数22ln()1xxxf xx的最小值是_例例 2(1)不等式ln10 xxaxx 恒成立，则实数 a 的最大值是_(2)不等式(ln1)0 xxa xx恒成立，则正数 a 的取值范围是_(3)不等式(ln)0 xxa xx恒成立，则正数 a 的取值范围是_(4)已知函数()ln1(1)bxf xxaxxx，其中 b0，若()0f x 恒成立，则实数 a 与 b 的大小关系是_(5)已知函数()ln1xf xax，若()0f x 恒成立，则实数 a 的取值范围是_(6)已知不等式1lnxkxx，对任意的正数 x 恒成立，则实数 k 的取值范围是_(7)已知不等式ln10axaxxx，对任意的正数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是_(8)已知函数()(ln)xf xxa xx有两个零点，则实数 a 的取值范围是_例例 3(2020 届太原二模)已知函数()ln1f xxax.(1)若函数()f x有两个零点，求实数 a 的取值范围；(2)若()exf xx恒成立，求实数 a 的取值范围【对点精练】【对点精练】1函数()lnxf xxxx的最小值为_2函数ln()1xxxf xx的最小值为_3函数()(ln1)xf xxxx的最大值是_4已知不等式(1)lnxxa xx，对任意正数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是_5已知函数()(ln1)xf xxa xx，若()0f x 恒成立，则实数 a 的取值范围是_6已知函数2()ln1xf xax，若()0f x 恒成立，则实数 a 的取值范围是_7已知 a，b 分别满足23ee,(ln1)eaabb，则 ab_8已知 x0是函数22()eln2xf xxx的零点，则020elnxx_考点二考点二整体同构携手脱衣法整体同构携手脱衣法【方法总结方法总结】在成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一个函数），无疑大大加快解决问题的速度，找到这个函数模型的方法，我们就称为整体同构法如，若 F(x)0 能等价变形为 fg(x)fh(x)，然后利用 f(x)的单调性，如递增，再转化为 g(x)h(x)，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程），简称同构法1地位同等同构地位同等同构（主要针对双变量，合二为一泰山移）(1)fx1fx2x1x2k(x1x2)f(x1)f(x2)kx1kx2f(x1)kx1f(x2)kx2yf(x)kx 为增函数；(2)fx1fx2x1x2kx1x2(x1k(x1x2)x1x2kx2kx1f(x1)kx1f(x2)kx2yf(x)kx为减函数；含有地位同等的两个变 x1，x2或 p，q 等的不等式，进行“尘化尘，土化土”式的整理，是一种常见变形，如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）2指对跨阶指对跨阶同构同构（主要针对单变量，左同右同取对数）(1)积型：lne(ln)e ()e elne lneln()lnlnlnln(ln)()lnabxaaaabf xxabbbbf xxxaabbf xxx 构造函数三种同构方式构造函数构造函数同左 同右 取对 如，322222lnlnelnlnmmmmxxxxmxxmexxxxex，后面的转化同(1)说明；在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知(2)商型：lneee ()lnee()lnlnelnlnlnlnln(ln)()lnabxaaaf xabxbbxf xabbxaabbf xxx 构造函数三种同构方式构造函数构造函数同左 同右 取对 (3)和差：lneeln ()e elnelneln()lnabxaaaabf xxabbbbf xxx 构造函数两种同构方式构造函数同左 同右 如；ln(1)ln(1)1ln(1)ln(1)axaxxaxxxaxxaxx 3无中生有同构无中生有同构（主要针对非上型，凑好形式是关键）(1)elneln21axxaxaxaxxx同乘(无中生有)，后面的转化同()；(2)lnln1eln()eln(1)1elnln(1)1e+lnxxxaxxaaaxaaa xaxxaa 同加(无中生有)ln(1)ln(1)1ln(1)lnln(1)xxxxxax；(3)lnlnlnlogelneln2 1lnxxaxaaxaxxaxxa()，后面的转化同()【例题选讲例题选讲】例例 4(1)若1201xx，则A2121eelnlnxxxxB2121eelnlnxxxxC1221eexxxxD1221eexxxx(2)若120 xxa，都有211212lnlnxxxxxx成立，则 a 的最大值为()A2B1CeD2e(3)已知2()ln(1)f xaxx，在区间(1,2)内任取两实数 p，q，且 pq，不等式(1)(1)1f pf qpq恒成立，则实数 a 的取值范围为_例例 5对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的一个同构函数(1)2log20kxxk(2)2ln0mxxxm(3)1(1)2()lnaxaxxx(4)ln(1)xaxaxxx(5)2ln0 xxx例例 6(1)已知不等式log(0,1)xaax aa，对任意正数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是_(2)已知函数()ln(1)33f xmxx，若不等式()3exf xmx在(0,)上恒成立，则实数 m 的取值范围是()A03mB3m C3m D0m(3)对任意0 x，不等式22 elnln0 xaxa恒成立，则实数 a 的最小值为_(4)已知函数()ln()(0)xf xaaxaa a，若关于 x 的不等式()0f x 恒成立，则实数 a 的取值范围是()A2(0,e B2(0,e)C21,e D2(1,e(5)对任意0 x，不等式1(e1)2()lnaxaxxx恒成立，则实数 a 的最小值为_(6)已知不等式1lneaxxaxx对任意的(1,)x恒成立，则实数 a 的最小值为()AeBe2CeD2e例例 7已知函数ln(1)()xf xx.(1)判断()f x在(0,)上的单调性；(2)若0 x，证明：2(e1)ln(1)xxx例例 8(2020新高考)已知函数 f(x)aex1lnxlna(1)当 ae 时，求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若 f(x)1，求 a 的取值范围【对点精练】【对点精练】1已知函数()ln()xf xmx mR，若对任意正数 x1，x2，当 x1x2时，都有1212()()f xf xxx成立，则实数 m 的取值范围是_2已知函数()xf xaxx，(0,)x，当 x2x1时，不等式1221()()0f xf xxx恒成立，则实数 a的取值范围是()A(,eB(,e)Ce(,)2De(,23对不等式21ln0 xx进行同构变形，并写出相应的一个同构函数4对方程2ln0 xxx进行同构变形，并写出相应的一个同构函数5对不等式ln(1)2(1)2xaxxax 进行同构变形，并写出相应的一个同构函数6设实数0，若对任意的(0,)x，不等式ln0 xx恒成立，则的最小值为_7已知函数1()ln(0)xf xaaxa a，若关于 x 的不等式()0f x 恒成立，则实数 a 的取值范围是_8已知对任意0 x，不等式1(e1)(1)ln0kxkxx恒成立，则实数 k 的取值范围为_9已知0a，不等式1ln0axxax，对任意的实数1x 恒成立，则实数 a 的最小值是()A12eB1eCeD2e10已知函数13()2ln()mxf xxxmx，当ex 时，()0f x 恒成立，则实数 m 的取值范围为()A(,4eB(,3eC(,2eD3e(,2专题专题 15导数中同构与放缩的应用导数中同构与放缩的应用同构法是将不同的代数式(或不等式、方程)通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通过整体思想或换元等将问题转化的方法，这体现了转化思想此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题当然，用同构法解题，除了要有同构法的思想意识外，对观察能力，对代数式的变形能力的要求也是比较高的，考点一部分同构携手放缩法考点一部分同构携手放缩法（同构放缩需有方，切放同构一起上）【方法总结方法总结】在学习指对数的运算时，曾经提到过两个这样的恒等式：(1)当 a0 且 a1 时，有logaxxa，(2)当 a0 且 a1 时，有logxaxa再结合指数与对数运算法则，可以得到下述结论(其中 x0)(“ex”三兄弟与“lnx”三姐妹)(3)lnxxxx，lnln()xxxx(4)lnxxxx，lnlnxxxx(6)lnx xxx，lnlnxxxx再结合常用的切线不等式：1xx，exx，ln1xx，lnxx 等，可以得到更多的结论(7)lnln1xxxxxx，lnln()e1xxxxxxln(ln)xxxxxx，1elnln()xxxxxxxx(8)lnln1xxxxxx，lnlnxxxxxxln(ln)xxxxxx，1lnlnxxxxxx(9)lnln1x xxxxx，lnlnxxxxxxln(ln)x xxxxx，1lnlnxxxxxx【例题选讲】【例题选讲】例例 1(1)已知1()lnxf xxxx，则函数()f x的最大值为_答案2解析1ln1()lnlnln(ln2)2xxxf xxxxxxxxxx(当且仅当 xlnx10 取等号)(2)函数ln1()xxf xx的最小值是_答案1解析lnln1ln1ln1ln1ln1()1xxxxxxxxxxxf xxxxx(当且仅当 xlnx0 取等号)(3)函数22ln()1xxxf xx的最小值是_答案1解析22ln2ln2ln2ln12ln()1111xxxxxxxxxf xxxx(当且仅当 x2lnx0 取等号)例例 2(1)不等式ln10 xxaxx 恒成立，则实数 a 的最大值是_答案1解析mineln1eln1ln10()xxxxxxxxaxxaxx 恒成立lneln1xxxxln1ln11xxxx，当且仅当 xlnx0 等号成立(2)不等式(ln1)0 xxa xx恒成立，则正数 a 的取值范围是_答案0a 解析ln(ln1)0(ln1)0(ln1)xxxxxa xxxa xxa xx，当 xlnx10 时，原不等式恒成立，当 xlnx10 时，lnln1xxaxx，由于lnln1=1ln1ln1xxxxxxxx，当且仅当 xlnx1 等号成立，所以a，故0a(3)不等式(ln)0 xxa xx恒成立，则正数 a 的取值范围是_答案0a解析ln(ln)0(ln)0(ln)(xxxxtxa xxxa xxa xxat令ln)txx(0)00(0)ttatataaatt(4)已知函数()ln1(1)bxf xxaxxx，其中 b0，若()0f x 恒成立，则实数 a 与 b 的大小关系是_答案ab解析lnln1()0ln11lnlnx bxbxx bxxf xxaxxxaxax ，由于ln1ln11lnlnx bxxxbxxbxx，当且仅当 xblnx0 等号成立，所以ab(5)已知函数()ln1xf xax，若()0f x 恒成立，则实数 a 的取值范围是_答案a 解析ln1ln10 xxxaxa，由于 lnx1x，exex，两者都是当且仅当 x1等号成立，则ln11eexxxx，所以a(6)已知不等式1lnxkxx，对任意的正数 x 恒成立，则实数 k 的取值范围是_答案k 1解析elne1lnxxxkxxkxx，由于 exex，lnexx，两者都是当且仅当 x1等号成立，所以xx，lne1xx则elne1xxxx，所以k 1(7)已知不等式ln10axaxxx，对任意的正数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是_答案1(，解析lnln1ln1ln1ln10axaxxxaxxaxxaxxaxx ，当且仅当axlnx0，即lnxax时等号成立，由lnxax有解，易得1a(8)已知函数()(ln)xf xxa xx有两个零点，则实数 a 的取值范围是_答案(,)解析ln()(ln)(ln)xxxf xxa xxa xx，令ln,txx tR，显然该函数单调递增，即e0tat有两个根，即etat有两个根，令e()tg tt，()g t在(，1)单调递减，在(1，)单调递增min()(1)eg tg，ea 例例 3(2020 届太原二模)已知函数()ln1f xxax.(1)若函数()f x有两个零点，求实数 a 的取值范围；(2)若()exf xx恒成立，求实数 a 的取值范围解析(1)()f x定义域是(0,)，1()fxax，当0a 时，()0fx，()f x在定义域上单调递增，不可能有两个零点；当0a 时，由1()0fxax，得10 xa，当1(0,)xa时，()0fx，()f x在定义域上单调递增，当1(,+)xa 时，()0fx，()f x在定义域上单调递减，所以当1xa 时，()f x取得极大值当0 x 时，()f x，当x 时，()f x，因为()f x有两个零点，所以1()0fa，解得10a(2)要使()exf xx恒成立，只要ln1xaxexx恒成立，只要eln1xxxax恒成立，令eln1()xxxg xx，则eln1xxxxlneln1ln1ln11xxxxxxxx，当且仅当时取等号所以()exf xx恒成立，实数 a 的取值范围为1a【对点精练】【对点精练】1函数()lnxf xxxx的最小值为_1答案解析ln()lnlnln1ln1xxxf xxxxxxxxxx，当且仅当 xlnx0 等号成立2函数ln()1xxxf xx的最小值为_2答案1解析lnlnlnln1ln()1111xxxxxxxxxf xxxx，当且仅当 xlnx0 等号成立3函数()(ln1)xf xxxx的最大值是_3答案0解析lnln1ln1()(ln1)xxxxxxxxxxxf xxxx ln1(ln1)0 xxxxx(当且仅当 xlnx0 取等号)4已知不等式(1)lnxxa xx，对任意正数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是_4答案1a 解析ln(1)ln1xxxxxa xxax，由于lnlnln11xxxxxxxxln1ln11xxxx，所以a 15已知函数()(ln1)xf xxa xx，若()0f x 恒成立，则实数 a 的取值范围是_5答案0a 解析ln()0(ln1)(ln1)xxxf xxa xxa xx，当 xlnx10时，原不等式恒成立，当 xlnx10 时，lnln1xxaxx，由于ln(ln)=ln1ln1xxxxxxxx，当且仅当 xlnx1 等号成立，所以a，故0a 6已知函数2()ln1xf xax，若()0f x 恒成立，则实数 a 的取值范围是_6答案2a 解析22ln1()ln1exxxf xaxa，由于 lnx1x，e2x2ex，两者都是当且仅当 x1 等号成立，则2ln112e2exxxx，所以2a 7已知 a，b 分别满足23ee,(ln1)eaabb，则 ab_7答案e3解析同构化处理，并利用函数的单调性222ln232eeeeeee lne(ln1)elneeeeeaaabaaabbbbb，lneelneebaba，令()exf xx，显然该函数单调递增，即()(ln)ebf af，即lneba，则 abe38已知 x0是函数22()eln2xf xxx的零点，则020elnxx_8答案2解析22222222eeeeeln2e2lnelnlnln(ln()ln()xxxxxxxxxxxxxx，所以2eln()xx，即2ln xx，或2 xx，则02000elnln2xxxx考点二整体同构携手脱衣法考点二整体同构携手脱衣法【方法总结方法总结】在成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一个函数），无疑大大加快解决问题的速度，找到这个函数模型的方法，我们就称为整体同构法如，若 F(x)0 能等价变形为 fg(x)fh(x)，然后利用 f(x)的单调性，如递增，再转化为 g(x)h(x)，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程），简称同构法1地位同等同构地位同等同构（主要针对双变量，合二为一泰山移）(1)fx1fx2x1x2k(x1x2)f(x1)f(x2)kx1kx2f(x1)kx1f(x2)kx2yf(x)kx 为增函数；(2)fx1fx2x1x2kx1x2(x1k(x1x2)x1x2kx2kx1f(x1)kx1f(x2)kx2yf(x)kx为减函数；含有地位同等的两个变 x1，x2或 p，q 等的不等式，进行“尘化尘，土化土”式的整理，是一种常见变形，如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）2指对跨阶同构指对跨阶同构（主要针对单变量，左同右同取对数）(1)积型：lne(ln)e()eelne lneln()lnlnlnln(ln)()lnabxaaaabf xxabbbbf xxxaabbf xxx 构造函数三种同构方式构造函数构造函数同左 同右 取对 如，322222lnlnelnlnmmmmxxxxmxxmexxxxex，后面的转化同(1)说明；在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知(2)商型：lneee()lnee()lnlnelnlnlnlnln(ln)()lnabxaaaf xabxbbxf xabbxaabbf xxx 构造函数三种同构方式构造函数构造函数同左 同右 取对(3)和差：lneeln ()e elnelneln()lnabxaaaabf xxabbbbf xxx 构造函数两种同构方式构造函数同左 同右 如；ln(1)ln(1)1ln(1)ln(1)axaxxaxxxaxxaxx 3无中生有同构无中生有同构（主要针对非上型，凑好形式是关键）(1)elneln21axxaxaxaxxx同乘(无中生有)，后面的转化同()；(2)lnln1eln()eln(1)1elnln(1)1e+lnxxxaxxaaaxaaa xaxxaa 同加(无中生有)ln(1)ln(1)1ln(1)lnln(1)xxxxxax；(3)lnlnlnlogelneln2 1lnxxaxaaxaxxaxxa()，后面的转化同()【例题选讲】【例题选讲】例例 4(1)若1201xx，则A2121eelnlnxxxxB2121eelnlnxxxxC1221eexxxxD1221eexxxx解析设()elnxf xx，则1()exfxx，故()f x在(0,1)上有一个极值点，即()f x在(0,1)上不是单调函数，无法判断1()f x与2()f x的大小，故 A、B 错；构造函数()xeg xx，2(1)()xexg xx，故()g x在(0,1)上单调递减，所以 12g xg x，选 C(2)若120 xxa，都有211212lnlnxxxxxx成立，则 a 的最大值为()A2B1CeD2e解析121221lnln11xxxxxx，即121122lnln11xxxxxx，令ln1()xf xxx，则()f x在(0,)a上为增函数，()0f x在(0,)a上恒成立，2ln()xfxx，令()0fx，解得 x1，()f x在(0,1)上为增函数，在(1,)上为减函数，1a，a的最大值为 1，选 B(3)已知2()ln(1)f xaxx，在区间(1,2)内任取两实数 p，q，且 pq，不等式(1)(1)1f pf qpq恒成立，则实数 a 的取值范围为_解 析 当 pq 时，(1)(1)(1)(1)f pf qpq即(1)(1)(1)(1)f ppf qq，令()(1)(1)g xf xx，则(1)(1)g pg q，()g x在(1,2)递减，即2()ln(2)(1)(1)g xaxxx，在(1,2)递减，()0 x在(1,2)上恒成立，()2(1)102axxx 在上恒成立，2276axx 在(1,2)上 恒 成 立，2min(276)15axx 当 p0设 g(x)f(x)，则 g(x)aex11x20，g(x)在(0，)上单调递增，即 f(x)在(0，)上单调递增，当 a1 时，f(1)0，则 f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，f(x)minf(1)1，f(x)1 成立；当 a1 时，1a1，11ea0，使得 f(x0)aex011x00，且当 x(0，x0)时 f(x)0，aex011x0，lnax01lnx0，因此 f(x)minf(x0)aex01lnx0lna1x0lnax01lna2lna121x0 x02lna11，f(x)1，f(x)1 恒成立；当 0a1 时，f(1)alnaa1，f(1)0，h(x)单调递增；在(1，)上 h(x)(ln1)exaxxax，令()exg xx，显然()g x为增函数，则原命题等价于()g x(ln1)ln1lnln1gaxxaxaxx，令()ln1h xxx，则1()xh xx，所以()h x在(0,1)上递减，在(1,)上递增，则min()(1)2h xh，所以ln2a，即得20ea8已知对任意0 x，不等式1(e1)(1)ln0kxkxx恒成立，则实数 k 的取值范围为_8答案1(,)e解析1(e1)(1)ln0(e1)(1)lnelnkxkxkxkxkxxxkxkxxxxx，即lneln elnkxxkxkxxx令()exf xxx，则()f x在(0,)上递增，所以()(ln)f kxfx，所以lnkxx，则lnxkx，由导数法易证ln1exx，所以1ek 9已知0a，不等式1ln0axxax，对任意的实数1x 恒成立，则实数 a 的最小值是()A12eB1eCeD2e9 答案C解析1lnln0lnaxxaaaaxxaxxxxx，即lnlneaxaxxx，令()exf xx，则()f x在(1,)单调递增，即()(ln)af xfx，即lnaxx，lnxax 令()lnxg xx，由导数法知min()(e)eg xg，ea 故选 C10已知函数13()2ln()mxf xxxmx，当ex 时，()0f x 恒成立，则实数 m 的取值范围为()A(,4eB(,3eC(,2eD3e(,210答案解析1113222()02ln()2ln(1)ln(1)mmmxxxmmf xxxmxxxxxxx，即212lnlne(1)mxxmxx，令()exg xx，则()g x在e,)单调递增，即2(ln)(1)mgxgx，当0m 时，212lnlne(1)mxxmxx 恒成立，当0m 时，2ln12 lnmxmxxxx，令()2 lnh xxxx，则()2ln30h xx，()h x在e,)上单调递增，min()(e)3eh xh故选 B