湖南省长沙市第一中学2023届高三下学期2月月考(六)数学试题含解析.pdf

长沙市一中长沙市一中 2023 届高三月考试卷（六）届高三月考试卷（六）数学数学时量：时量：120 分钟分钟满分：满分：150 分分一一、单项选择题单项选择题（本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的）1.已知集合32,ZMx xnn，2,1,0,1,2N ，则MN（）A.2,1B.1,2C.1,1D.2,0,2-2.已知复数z满足1 i1 iz，i为虚数单位，则z（）A.iB.22i22C.11i22D.1 i3.已知30A ,，3,0B，0,3C，一束光线从点1,0F 出发经 AC 反射后，再经 BC 上点 D 反射，落到点1,0E上则点 D 的坐标为（）A.1 5,2 2B.3 3,2 2C.1,2D.2,14.若,24，且231coscos222，则tan（）A.3B.2C.3D.2 35.据一组样本数据 1122,nnx yxyxy，求得经验回归方程为1.20.4yx，且3x 现发现这组样本数据中有两个样本点1.2,0.5和4.8,7.5误差较大，去除后重新求得的经验回归直线l的斜率为1.1，则（）A.去除两个误差较大的样本点后，y的估计值增加速度变快B.去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程对应直线一定过点3,5C.去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为1.10.7yxD.去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点2,2.7的残差为 0.16.在四面体PABC中，PAAB，PAAC，120BAC，2ABACAP，则该四面体的外接球的表面积为（）A.12B.16C.18D.207.已知圆 O 的半径为 1，A 为圆内一点，12OA，B，C 为圆 O 上任意两点，则AC BC 的最小值是（）A.18B.116C.116D.188.设 f x是定义在R上的函数，若 2f xx是奇函数，f xx是偶函数，函数 ,0,121,1,f xxg xg xx，若对任意的0,xm，3g x 恒成立，则实数m的最大值为（）A.133B.174C.92D.143二二、多项选择题多项选择题（本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符有多项符合题目要求全部选对的得合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分）9.已知函数 sin04f xx在区间0,上有且仅有 3 条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（）A.的取值范围是9 13,44B.f x在区间0,上有且仅有 3 个不同的零点C.f x的最小正周期可能是45D.f x在区间0,15上单调递增10.已知抛物线 C：22xy的焦点为 F，准线为l，A，B 是 C 上异于点 O 的两点，O 为坐标原点，则（）A.l的方程为12x B.若32AF，则AOF的面积为24C.若0OA OB ，则9OA OBD.若120AFB，过 AB 的中点 D 作DEl于点 E，则ABDE的最小值为311.如图，正方体1111ABCDABC D中，顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，顶点1,B C A到的距离分别为1,2,3，则（）A.BD平面B.平面1A AC 平面C.直线1AB与所成角比直线1AA与所成角大D.正方体的棱长为1112.已知a，b为正实数，且26abab，则（）A.ab的最大值为 2B.2ab的最小值为 5C.1211ab的最小值为98D.0,3ab三、填空题（本题共三、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分）13.设直线10 xy 是曲线lnyax的一条切线，则a_14.楼道里有 8 盏灯，为了节约用电，需关掉 3 盏互不相邻的灯，则关灯方案有_种15.过双曲线C：222210,0 xyabab右焦点F作直线l，且直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为 A，直线l与另一条渐近线交于点 B且点 A，B 位于 x 轴的异侧，O 为坐标原点，若OAB的内切圆的半径为23b，则双曲线 C 的离心率为_16.小说三体中，一个“水滴”摧毁了人类整个太空舰队，当全世界第一次看到“水滴”的影像时，所有人都陶醉于它那绝美的外形这东西真的是太美了，像梦之海中跃出的一只镜面海豚，仿佛每时每刻都在宇宙之夜中没有尽头地滴落着有科幻爱好者为“水滴”的轴截面设计了二维数学图形，已知集合 22,cossin4,0Px yxy 由集合P中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分就如美丽的“水滴”则图中“水滴”外部阴影部分的面积为_四、解答题（本题共四、解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.记nS为正项数列 na的前n项和，已知1na是 4 与nS的等比中项（1）求 na的通项分式；（2）证明：2222123111154naaaa18.已知 a，b，c 分别为ABC三个内角 A，B，C 的对边，且cos3 sinaCaCbc（1）求 A；（2）已知ABC的面积为3 34，设 M 为 BC 的中点，且3AM，BAC的平分线交 BC 于 N，求线段 AN 的长度19.近日，某芯片研发团队表示已自主研发成功多维先进封装技术 XDFOI，可以实现 4nm 手机 SOC 芯片的封装，这是中国芯片技术的又一个重大突破，对中国芯片的发展具有极为重要的意义可以说国产 4nm 先进封装技术的突破，激发了中国芯片的潜力，证明了知名院士倪光南所说的先进技术是买不来的、求不来的，自主研发才是最终的出路研发团队准备在国内某著名大学招募人才，准备了 3 道测试题，答对两道就可以被录用，甲、乙两人报名参加测试，他们通过每道试题的概率均为01pp，且相互独立，若甲选择了全部 3 道试题，乙随机选择了其中 2 道试题，试回答下列问题（所选的题全部答完后再判断是否被录用）（1）求甲和乙各自被录用的概率；（2）设甲和乙中被录用的人数为，请判断是否存在唯一的p值0p，使得 1.5E？并说明理由20.如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为 2 的正方形，2PAPB（1）证明：PADPBC；（2）当直线 PA 与平面 PCD 所成角的正弦值最大时，求此时二面角PABC-的大小21.已知1,0F，D 是圆 C：22116xy上的任意一点，线段 DF 的垂直平分线交 DC 于点 P（1）求动点 P 的轨迹的方程：（2）过点,0M t的直线l与曲线相交于 A，B 两点，点 B 关于x轴的对称点为B，直线AB交x轴于点N，证明：OM ON 为定值22.已知函数 1elnaxf xxx，aR（1）当1a 时，求函数 f xx的最小值；（2）若函数 f xx的最小值为a，求a的最大值长沙市一中长沙市一中 2023 届高三月考试卷（六）届高三月考试卷（六）数学数学时量：时量：120 分钟分钟满分：满分：150 分分一一、单项选择题单项选择题（本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的）1.已知集合32,ZMx xnn，2,1,0,1,2N ，则MN（）A.2,1B.1,2C.1,1D.2,0,2-【答案】A【解析】【分析】利用列举法及交集的定义即可求解.【详解】32,Z.,5,2,1,4,7,Mx xnn,所以2,1MN .故选：A.2.已知复数z满足1 i1 iz，i为虚数单位，则z（）A.iB.22i22C.11i22D.1 i【答案】B【解析】【分析】根据向量的除法和向量模的求法，变形的1 i22(1 i)=1 i1 i(1 i)(1 i)z，即可求解.【详解】221 i1122(1 i)2(1 i)22=i1 i1 i1 i(1 i)(1 i)222z，故选：B3.已知30A ,，3,0B，0,3C，一束光线从点1,0F 出发经 AC 反射后，再经 BC 上点 D 反射，落到点1,0E上则点 D 的坐标为（）A.1 5,2 2B.3 3,2 2C.1,2D.2,1【答案】C【解析】【分析】根据入射光线与反射光线的性质可知GH方程，由GH与BC的交点可得 D，求坐标即可.【详解】根据入射光线与反射光线关系可知，分别作出,F E关于,AC BC的对称点,G H,连接GH，交BC于D，则 D 点即为所求，如图，因为AC所在直线方程为3yx=+，(1,0)F，设()G x y,，则132211yxyx，解得3,2xy，即(3,2)G，由BC所在直线方程为3yx ，(1,0)E，同理可得(3,2)H，所以直线GH方程为2y，由32yxy 解得(1,2)D，故选：C4.若,24，且231coscos222，则tan（）A.3B.2C.3D.2 3【答案】C【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式及二倍角的正弦公式，结合三角函数的齐次式法即可求解.【详解】因为,24，所以tan1，由231coscos222，得21cossin22，即222cos2sincos1cossin2，所以212tan11tan2，即2tan4tan30，解得tan3 或tan1(舍).故选：C.5.据一组样本数据 1122,nnx yxyxy，求得经验回归方程为1.20.4yx，且3x 现发现这组样本数据中有两个样本点1.2,0.5和4.8,7.5误差较大，去除后重新求得的经验回归直线l的斜率为1.1，则（）A.去除两个误差较大的样本点后，y的估计值增加速度变快B.去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程对应直线一定过点3,5C.去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为1.10.7yxD.去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点2,2.7的残差为 0.1【答案】C【解析】【分析】根据直线l的斜率大小判断 A；求出y判断 B；再求出经验回归方程判断 C；计算残差判断 D 作答.【详解】对于 A，因为去除两个误差较大的样本点后，经验回归直线l的斜率变小，则y的估计值增加速度变慢，A 错误；对于 B，由1.20.4yx及3x 得：4y，因为去除的两个样本点1.2,0.5和4.8,7.5，并且1.24.80.57.53,422，因此去除两个样本点后，样本的中心点仍为(3,4)，因此重新求得的回归方程对应直线一定过点(3,4)，B 错误；对于 C，设去除后重新求得的经验回归直线l的方程为1.1yxa，由选项 B 知，41.1 3a，解得0.7a，所以重新求得的回归方程为1.10.7yx，C 正确；对于 D，由选项 C 知，1.10.7yx，当2x 时，1.1 20.72.9y ，则2.72.90.2，因此去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点2,2.7的残差为0.2，D 错误.故选：C6.在四面体PABC中，PAAB，PAAC，120BAC，2ABACAP，则该四面体的外接球的表面积为（）A.12B.16C.18D.20【答案】D【解析】【分析】由线面垂直的判定定理可得PA 平面ABC，设底面ABC的外心为G，外接球的球心为O，D为PA的中点，可得四边形ODAG为平行四边形，所以1OG，在ABC中，由余弦定理及正弦定理可求AG，故可求外接球的半径，根据球的表面积公式即可求解.【详解】因为PAAB，PAAC，,ABACA AB AC平面ABC,所以PA 平面ABC.设底面ABC的外心为G，外接球的球心为O，则OG 平面ABC，所以/PAOG.设D为PA的中点，因为OPOA，所以DOPA.因为PA 平面ABC，AG 平面ABC,所以PA AG，所以/ODAG.因此四边形ODAG为平行四边形，所以112OGADPA.因为120BAC，2ABAC，所以2212cos442 2 22 32BCABACAB ACBAC ,由正弦定理，得2 324232AGAG.所以该外接球的半径R满足2225ROGAG,故该外接球的表面积为2420SR.故选:D.7.已知圆 O 的半径为 1，A 为圆内一点，12OA，B，C 为圆 O 上任意两点，则AC BC 的最小值是（）A.18B.116C.116D.18【答案】A【解析】【详解】首先设OA 与BC 所成角为，根据题意得到1coscos2AC BCOCOABCOC BCOA BCBCBCOBC ，再根据221111cos2222BCBCBCBC 求解即可.【点睛】如图所示：设OA 与BC 所成角为，因为1coscos2AC BCOCOABCOC BCOA BCBCBCOBC ，因为112cos2BCBCOBCOC ，所以211cos22AC BCBCBC 因为221111cos2222BCBCBCBC ，当0时，等号成立.因为02BC，所以当12BC 时，21122BCBC 取得最小值为18，所以当12BC 时，AC BC 取得最小值为18.故选：A8.设 f x是定义在R上的函数，若 2f xx是奇函数，f xx是偶函数，函数 ,0,121,1,f xxg xg xx，若对任意的0,xm，3g x 恒成立，则实数m的最大值为（）A.133B.174C.92D.143【答案】B【解析】【分析】由 2f xx是奇函数，f xx是偶函数，求出 2f xxx，再根据 ,0,121,1,f xxg xg xx，作出函数 g x的图象即可求解.【详解】因为 2f xx是奇函数，f xx是偶函数，所以 22fxxf xxfxxf xx ，解得 2f xxx，由 ,0,121,1,f xxg xg xx，当1,2x时，则10,1x，所以 2121g xg xf x，同理：当2,3x时，214242g xg xg xf x，以此类推，可以得到 g x的图象如下：由此可得，当4,5x时，164g xf x，由 3g x，得16453xx，解得174x 或194x，又因为对任意的0,xm，3g x 恒成立，所以1704m，所以实数m的最大值为174.故选：B.【点睛】本题考查了奇函数与偶函数的性质，抽象函数的周期性，通过递推关系分析出每一个区间的解析式是本题的关键，数形结合是解题中必须熟练掌握一种数学思想，将抽象转化为形象，有助于分析解决抽象函数的相关问题.二二、多项选择题多项选择题（本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符有多项符合题目要求全部选对的得合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分）9.已知函数 sin04f xx在区间0,上有且仅有 3 条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（）A.的取值范围是9 13,44B.f x在区间0,上有且仅有 3 个不同的零点C.f x的最小正周期可能是45D.f x在区间0,15上单调递增【答案】ACD【解析】【分析】由0,x，得,444x，再根据函数()f x在区间0,上有且仅有3条对称轴，可得57242，可求出的取值范围判断 A，再利用三角函数的性质可依次判断 BCD【详解】由0,x，得,444x，因为函数()f x在区间0,上有且仅有3条对称轴，所以57242，解得91344，故 A 正确；对于 B，(0,)x，,444x，5 7,422，当5,342x时，()f x在区间(0,)上有且仅有2个不同的零点；当73,42x时，()f x在区间(0,)上有且仅有3个不同的零点，故 B 错误；对于 C，周期2T，由91344，则414139，88139T，又8458,139，所以()f x的最小正周期可能是45，故 C 正确；对于 D，0,15x，,44 154x，又91344，2 7,0,1545152，所以()f x在区间0,15上一定单调递增，故 D 正确故选：ACD.10.已知抛物线 C：22xy的焦点为 F，准线为l，A，B 是 C 上异于点 O 的两点，O 为坐标原点，则（）A.l的方程为12x B.若32AF，则AOF的面积为24C.若0OA OB ，则9OA OBD.若120AFB，过 AB 的中点 D 作DEl于点 E，则ABDE的最小值为3【答案】BD【解析】【分析】A 选项，由抛物线方程得到准线方程，A 错误；由焦半径公式得到1Ay，进而求出2Ax，从 而 得 到AOF的 面 积，B 正 确；由0OA OB 得 到4ABx x ，4ABy y，表 达 出2222232ABABOA OBx yy x，结合基本不等式求出最值，C 错误；作出辅助线，设,AFa BFb，由焦半径公式得到2abDE，结合余弦定理，基本不等式得到ABDE的最小值.【详解】22xy的焦点为10,2F，准线方程为12y ，故 A 错误；由焦半径公式可知：1322AAFy，解得1Ay，故222AAxy，故2Ax，所以AOF的面积为111222224AOFx，B 正确；若0OA OB ，则0ABABx xy y，即22104ABABx xx x，解得：4ABx x ，则4ABy y，故222222222222232322AABBABABABABOA OBxyxyx yy xx y y x32264ABABx xy y，故8OA OB，当且仅当ABABx yy x时，等号成立，C 错误；过点A作1AAl 于点1A，过点 B 作1BBl 于点1B，设,AFa BFb，所以2abDE，因为2222222cosABababAFBabababab22223342abababDE，所以3ABDE，ABDE的最小值为3.故选：BD【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围11.如图，正方体1111ABCDABC D中，顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，顶点1,B C A到的距离分别为1,2,3，则（）A.BD平面B.平面1A AC 平面C.直线1AB与所成角比直线1AA与所成角大D.正方体的棱长为11【答案】ABD【解析】【分析】根据点到面的距离的性质，结合线面垂直的判定定理、线面角的定义、面面相交的性质进行求解判断即可.【详解】解：设,AC BD的交点为O，显然O是AC、BD的中点，因为平面ABCDA，C到平面的距离为2，所以O到平面的距离为1，又B到平面的距离为1，所以/BO平面，即/BD平面，即 A 正确；设平面ABCDl，所以/BD l，因为ABCD是正方形，所以ACBD，又因为1AA 平面ABCD，BD平面ABCD，所以1AABD，因为11,AAACA AA AC平面1A AC，所以BD平面1A AC，因此有l平面1A AC，而l，所以平面1A AC 平面，因此选项 B 正确；设1B到平面的距离为d，因为平面11AAB BA，11AAB B是正方形，点1A，B 到的距离分别为3，1，所以有3 1422dd，设正方体1111ABCDABC D的棱长为a，设直线1AB与所成角为，所以1442 2sin2ABaa，设直线1AA与所成角为，所以133sinAAa，因为32 2，所以sinsin，因此选项 C 不正确；因为平面1A AC 平面，平面1A AC平面A，所以1,C A在平面的射影,E F与A共线，显然1112,3,2,CEAFACa AAa AAAC，如图所示：由11ECACAECAEA AFECAA AF ，111cos,sinAFCEECAA AFACAA，由2212249cossin11112ECAA AFaaa （负值舍去），因此选项 D 正确，故选：ABD12.已知a，b为正实数，且26abab，则（）A.ab的最大值为 2B.2ab的最小值为 5C.1211ab的最小值为98D.0,3ab【答案】AC【解析】【分析】由已知条件结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可求解.【详解】依题意，对于 A：因为26abab，所以622 2abababab，当且仅当2ab时取等号，令0tab，则有22 260tt，解得3 22t，又因为0tab，所以02t，即02ab，ab的最大值为 2，故 A 选项正确；对于 B：因为26abab，所以221162222224abababababab，当且仅当2ab时取等号，令20tab，则有28480tt，解得4t 或t12（舍去），即24ab，所以2ab的最小值为 4，故 B 选项错误；对于 C：因为26abab，所以12111888bba，所以8182211119288821111abbbbb，当且仅当2118bb，即3b 时等式成立，所以1211ab的最小值为98，故 C 选项正确；对于 D：当14a，225b 时，4.150,3ab，所以 D 选项错误；故选：AC.三、填空题（本题共三、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分）13.设直线10 xy 是曲线lnyax的一条切线，则a_【答案】2【解析】【分析】设切点为00,xy，根据导数的几何意义求出切点的横坐标，再根据切点即在曲线上又在切线上即可得解.【详解】设切点为00,xy，1yx ，则0011x xyx ，所以01x，所以切点为1,a，又切线为10 xy，所以110a，解得2a .故答案为：2.14.楼道里有 8 盏灯，为了节约用电，需关掉 3 盏互不相邻的灯，则关灯方案有_种【答案】20【解析】【分析】根据题意，原问题等价于在 5 盏亮灯的 6 个空隙中插入 3 盏不亮的灯，由组合公式计算即可求解.【详解】依题意，原问题等价于在 5 盏亮灯的 6 个空隙中插入 3 盏不亮的灯，则有36C20种方案.故答案为：20.15.过双曲线C：222210,0 xyabab右焦点F作直线l，且直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为 A，直线l与另一条渐近线交于点 B且点 A，B 位于 x 轴的异侧，O 为坐标原点，若OAB的内切圆的半径为23b，则双曲线 C 的离心率为_【答案】52【解析】【分析】作出图象，设OAB的内切圆的圆心为M，易知M在AOB的平分线Ox上，过M分别作MNOA于N，MTAB于T，则有四边形MTAN为正方形，则2|3bNAMN，2|3bONa，由tanMNbAOFONa，可得2ab，由斜率公式即可得答案.【详解】解：如图所示：设 A 在第一象限，由题意可知22bcAFdbab，其中d为点(c,0)F到渐近线byxa的距离，|OFc，所以2222|OAOFAFcba，设OAB的内切圆的圆心为M，则M在AOB的平分线Ox上，过M分别作MNOA于N，MTAB于T，又因为FAOA于A，所以四边形MTAN为正方形，所以2|3bNAMN，所以2|3bONOANAa，又因为2|3tan2|3bMNbAOFbONaa，所以2233aba，2ab，所以22225cabb，所以5cb，所以5522cbeab.故答案为：52.16.小说三体中，一个“水滴”摧毁了人类整个太空舰队，当全世界第一次看到“水滴”的影像时，所有人都陶醉于它那绝美的外形这东西真的是太美了，像梦之海中跃出的一只镜面海豚，仿佛每时每刻都在宇宙之夜中没有尽头地滴落着有科幻爱好者为“水滴”的轴截面设计了二维数学图形，已知集合 22,cossin4,0Px yxy 由集合P中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分就如美丽的“水滴”则图中“水滴”外部阴影部分的面积为_【答案】162 33【解析】【分析】根据图形与 22,cossin4,0Px yxy，建立直角坐标系，画出图形，求出相应的坐标，先求第一、二象限的阴影面积，再求第三象限的阴影面积，再求和即可求解.【详解】根据题意，建立直角坐标系，如图所示：在方程22cossin4xy，0中，令0 x，则有222cos2 sinsin4yy，所以12sinyy，其中0，所以sin0,1，所以12sin0,2yy，解得3,13,3y，所以0,3A，0,3E，0,1G，0,3D，令0，则有2214xy，所以1,0C，3,0N，令，则有2214xy，所以1,0B，3,0M.由3,0M，3,0N，0,3E易得MEN与线段MN组成的图形为229xy的上半圆，由此可知，在第一、第二象限中的阴影面积是由229xy的上半圆减去2214xy上半圆与2214xy上半圆相交的部分形成，即BAC与线段BC组成的面积，设为S水滴上部.由0,3A，1,0B，1,0C三点易得ABC为边长为 2 的等边三角形，所以2122363ABCAnCSS 弓形，所以4233ABCAnCSSS弓形水滴上部，设第一、二象限的阴影面积为1S，则199419332236SS水滴上部.由1,0B，1,0C，0,1G易得BGC与线段BC组成的图形为221xy的下半圆，设在第三象限中的阴影面积为2S，则有24MODMpDSSS弓形，由图知113 333222MODSMOOD 1123322MBDSMBOD，23MBD，所以2142333MBDMpDSS 弓形，所以23 3413334234122MODMpDSSS弓形，所以图中“水滴”外部阴影部分的面积为：1219133162322 361223SSS.故答案为：162 33.【点睛】本题考查了圆与三角函数综合的知识点，可以根据图形的对称性建立直角坐标系，将图形转化为实际的数据，割补法是求阴影面积常用的方法，需要考生有一定的分析转化能力.四、解答题（本题共四、解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.记nS为正项数列 na的前n项和，已知1na是 4 与nS的等比中项（1）求 na的通项分式；（2）证明：2222123111154naaaa【答案】（1）21nan（2）证明见解析【解析】【分析】(1)由等比中项得214nnaS，进而由递推式计算出11a，并得到12nnaa，得数列 na是等差数列，进而可求解；(2)由22111114121nannn，从第二项开始放缩即可证明.【小问 1 详解】1na是 4 与nS的等比中项，214nnaS当1n 时，2111144aSa，11a 当2n时，21114nnaS，由-得，22111144nnnnnaaSSa，1120nnnnaaaa，0na，12nnaa，数列 na是首项为 l，公差为 2 的等差数列，na的通项公式21nan【小问 2 详解】由（1）得2111a，当2n时，22221111111441444121nannnnnnn，22222221232311111111nnaaaaaaa 1111111115151114122314444nnnn 18.已知 a，b，c 分别为ABC三个内角 A，B，C 的对边，且cos3 sinaCaCbc（1）求 A；（2）已知ABC的面积为3 34，设 M 为 BC 的中点，且3AM，BAC的平分线交 BC 于 N，求线段 AN 的长度【答案】（1）3A（2）3 55AN【解析】【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化将原式化简，再结合三角恒等变换即可求得结果；（2）根据题意，可得22222242AMABACABAB ACACcbbc ，再结合三角形的面积公式，代入计算，即可得到结果.【小问 1 详解】由题意知ABC中，cos3 sinaCaCbc，由正弦定理边角关系得：则sincos3sinsinACACsinsinsinsinsincoscossinsinBCACCACACC，3sinsincossinsinACACC，0,C，sin0C，3sincos1AA，2sin16A，1sin62A，又0,A，5,666A，所以=66A，即3A【小问 2 详解】如下图所示，在ABC中，AM为中线，2AMABAC ，22222242AMABACABAB ACACcbbc ，2212bcbc3 34ABCS，133 3sin244bcAbc，3bc，22215bcbbcc，ABCABNACNSSS，3 3115sin4264bc ANAN，3 55AN 19.近日，某芯片研发团队表示已自主研发成功多维先进封装技术 XDFOI，可以实现 4nm 手机 SOC 芯片的封装，这是中国芯片技术的又一个重大突破，对中国芯片的发展具有极为重要的意义可以说国产 4nm 先进封装技术的突破，激发了中国芯片的潜力，证明了知名院士倪光南所说的先进技术是买不来的、求不来的，自主研发才是最终的出路研发团队准备在国内某著名大学招募人才，准备了 3 道测试题，答对两道就可以被录用，甲、乙两人报名参加测试，他们通过每道试题的概率均为01pp，且相互独立，若甲选择了全部 3 道试题，乙随机选择了其中 2 道试题，试回答下列问题（所选的题全部答完后再判断是否被录用）（1）求甲和乙各自被录用的概率；（2）设甲和乙中被录用的人数为，请判断是否存在唯一的p值0p，使得 1.5E？并说明理由【答案】（1）甲被录用的概率为2332pp，乙被录用的概率为2333pp（2）不存在；理由见解析【解析】【分析】(1)分析已知，甲被录用符合二项分布，乙被录用符合组合排列，分别利用对应求概率公式计算即可.(2)先分析的可能取值，然后分别求解对应概率，再利用离散型数学期望的公式表示出数学期望，然后构造函数，利用求导分析函数单调性，进而判断即可.【小问 1 详解】由题意，设甲答对题目的个数为X，得3,XBp，则甲被录用的概率为2232313C132Pppppp，乙被录用的概率为222332C133Ppppp【小问 2 详解】的可能取值为 0，1，2，则12011PPP，1212111PPPP P，122PPP，121212120111112EPPPPP PPP 232323123233651.5PPpppppp，32101230pp，设 32110123 0fpppp，则 23024fppp当405p时，fp单调递减，当415p时，fp单调递增，又 03f，11f，4110525f，所以不存在p的值0p，使得00fp.20.如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为 2 的正方形，2PAPB（1）证明：PADPBC；（2）当直线 PA 与平面 PCD 所成角的正弦值最大时，求此时二面角PABC-的大小【答案】（1）证明见解析（2）6【解析】【分析】(1)分别取AB，CD的中点E，F，连接PE，EF，PF，证明出PCPD，可得PADPBC，由此可证得结论成立；(2)先根据条件推出PEF为二面角PABC-的平面角，设PEF，建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合基本不等式求出直线PA与平面PCD所成角的正弦值的最大值，求出对应的角的值，即可求解.【小问 1 详解】分别取AB，CD的中点E，F，连接PE，EF，PF，PAPB，E为AB的中点，PEAB四边形ABCD为正方形，则ABCD且ABCD，CDPEE，F分别为AB，CD的中点，EFAD，EFCD，EFPEE，CD 平面PEFPF 平面PEF，CDPF在PCD中，F为CD的中点，CDPF，PCPD又PAPB，ADBC，PADPBC，从而可得PADPBC【小问 2 详解】由（1）可知PEAB，EFAB，PEF为二面角PABC-的平面角，且223PEPAAE，以点E为坐标原点，EB，EF所在直线分别为 x，y轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设PEF，其中0，则1,0,0A，1,0,0B，1,2,0C，1,2,0D，0,2,0F，0,3cos,3sinP，1,3cos,3sinAP，2,0,0DC uuu r，0,3cos2,3sinFP 设平面PCD的法向量为,nx y z，由00n DCn FP，即20(3cos2)3sin0 xyz，取3siny，则23cosz，0 x，0,3sin,23cosn，222 3 sincos,3sin23cos2n APn APnAP 22sin1 cos3374 3cos74 3cos，令74 3cos74 3,74 3t，则7cos4 3t，则271111134 3cos,314142442tn APttttt ，当且仅当1t 时，即当3cos2时，即当6时，等号成立所以当直线PA与平面PCD所成角的正弦值最大时，二面角PABC-为621.已知1,0F，D 是圆 C：22116xy上的任意一点，线段 DF 的垂直平分线交 DC 于点 P（1）求动点 P 的轨迹的方程：（2）过点,0M t的直线l与曲线相交于 A，B 两点，点 B 关于x轴的对称点为B，直线AB交x轴于点N，证明：OM ON 为定值【答案】（1）22143xy（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由中垂线性质，可知42PCPFPCPDDCFC，得动点 P 的轨迹以C，F 为焦点的椭圆；（2）将直线l与曲线方程联立，利用韦达定理及题目条件表示出点 N 坐标，后可得答案.【小问 1 详解】圆C：22116xy，圆心为1,0，半径为 4，因为线段 DF 的垂直平分线交 DC 于 P 点，所以PDPF，所以42PCPFPCPDDCFC，所以由椭圆定义知，P 的轨迹是以C，F 为焦点的椭圆，则242aa，221cc，2223bac.故轨迹方程为：22143xy【小问 2 详解】依题意，直线l不垂直于坐标轴，设直线l的方程为0 xmyt m，将其与方程联立：22143xmytxy，消去 x 得2223463120mymtyt.方程判别式2248 430mt，设11,A x y，22,B xy，则22,Bxy，由韦达定理有122634mtyym，212231234ty ym，则直线AB的方程为121112yyyyxxxx，令1212211212N121212202my yt yyx yx yy yyxmtyyyyyy2312426tmtmtt，则40,Nt，得400,，,OMtONt.44OM ONtt 即OM ON 为定值 422.已知函数 1elnaxf xxx，aR（1）当1a 时，求函数 f xx的最小值；（2）若函数 f xx的最小值为a，求a的最大值【答案】（1）0（2）1【解析】【分析】（1）当1a 时，令 F xf xx，求得 121 exxxxFx，根据 Fx在不同区间的符号判断 F x的单调性，由单调性即可求出 F xf xx的最小值；（2）将 f xax等价变换为 0f xax，借助第（1）问中判断 121 exxxxFx的符号时构造的 1exg xx在1x 时取最小值，取lng axx，将问题转化为ln1axx有解问题即可.【小问 1 详解】当1a 时，令 1elnxxxF xf xxx，0,x，则 11112221 ee11ee11xxxxxxxxxxxxFxxx ，令 1exg xx，xR，则 1e1xgx，易知 gx在R上单调递增，且 10g，当0,1x时，0gx，g x在区间0,1上单调递减，且 110exg xxg，当1,x时，0gx，g x在区间1,上单调递增，且 110exg xxg，当0,1x时，121 e0 xxxFxx，F x在区间0,1上单调递减，当1,x时，121 e0 xxxFxx，F x在区间1,上单调递增，当1x 时，F x取得极小值，也是最小值，1 1mine1ln1 101F xF，当1a 时，函数 f xx的最小值为0.【小问 2 详解】由已知，f x的定义域为0,，若函数 f xx的最小值为a，则有 f xax，f xax，0f xax，令 h xf xax，即 1elnaxxaxh xxaxxf的最小值为0，由第（1）问知，当且仅当1x 时，1exg xx取最小值 10g，当且仅当ln1axx时，lng axx取得最小值0，又 l1l1n1nneelnllnlneeaxaxaxxxg axxaxxxaxxaxh xx，只需令ln1axx有解，即l