陕西省榆林市2022-2023学年高三第二次模拟检测数学（理科）试题含答案.pdf

?高三数学?第?页?共?页?理科?已知?则?已知函数?满足?当?时?若对任意的?都有?则?的最大值是?已知函数?在?和?上都是单调的?则?的取值范围是?已知三棱锥?的所有顶点都在球?的表面上?是边长为槡?的等边三角形?若三棱锥?体积的最大值是槡?则球?的表面积是?已知函数?若函数?则?的零点个数不可能是?第?卷二?填空题?本大题共?小题?每小题?分?共?分?把答案填在答题卡的相应位置?已知向量?若?则?某工厂从其所生产的某种配件中随机抽取了一部分进行质量检测?其某项质量测试指标值?服从正态分布?且?落在区间?内的配件个数为?则可估计所抽取的这批配件共有?万个?附?若随机变量服从正态分布?则?在锐角?中?内角?所对应的边分别是?且?则?的取值范围是?抛物线有如下光学性质?由其焦点射出的光线经抛物线反射后?沿平行于抛物线对称轴的方向射出?反之?平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点?已知抛物线?焦点为?准线为?为坐标原点?一束平行于?轴的光线?从点?点?在抛物线?内?射入?经过?上的点?反射后?再经过?上另一点?反射后?沿直线?射出?且经过点?若直线?与抛物线?的准线交于点?则直线?的斜率为?若?且?平分?则?本题第一空?分?第二空?分?高三数学?第?页?共?页?理科?榆林市?年度高三第二次模拟检测数学试题?理科?考生注意?本试卷分第?卷?选择题?和第?卷?非选择题?两部分?共?分?考试时间?分钟?请将各题答案填写在答题卡上?本试卷主要考试内容?高考全部内容?第?卷一?选择题?本大题共?小题?每小题?分?共?分?在每小题给出的四个选项中?只有一项是符合题目要求的?设集合?则?已知复数?则复数?的实部与虚部之和是?已知?则?某企业为了解员工身体健康情况?采用分层抽样的方法从该企业的营销部门和研发部门抽取部分员工体检?已知该企业营销部门和研发部门的员工人数之比是?且被抽到参加体检的员工中?营销部门的人数比研发部门的人数多?则参加体检的人数是?已知实数?满足约束条件?则?的最大值是?已知双曲线?的左?右焦点分别是?是双曲线?上的一点?且?若?则双曲线?的离心率是?如图?在正三棱柱?中?是棱?的中点?在棱?上?且?则异面直线?与?所成角的余弦值是?槡?槡?槡?槡?高三数学?第?页?共?页?理科?分?已知椭圆?四点?槡?中恰有三点在椭圆?上?求椭圆?的标准方程?过点?的直线?与椭圆?交于不同的两点?试问直线?的斜率之和是否为定值?若是定值?求出此定值?若不是定值?请说明理由?分?已知函数?讨论?的单调性?若?有两个零点?求?的取值范围?二?选考题?共?分?请考生从第?两题中任选一题作答?如果多做?则按所做的第一个题目计分?选修?坐标系与参数方程?分?在直角坐标系?中?曲线?的参数方程为?为参数?以坐标原点?为极点?轴的正半轴为极轴建立极坐标系?直线?的极坐标方程是?求曲线?的普通方程和直线?的直角坐标方程?设直线?与曲线?交于?两点?求?的值?选修?不等式选讲?分?已知函数?的最大值是?求?的值?若?求?的最小值?高三数学?第?页?共?页?理科?三?解答题?共?分?解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤?第?题为必考题?每个试题考生都必须作答?第?题为选考题?考生根据要求作答?一?必考题?共?分?分?通过市场调查?现得到某种产品的资金投入?单位?百万元?与获得的利润?单位?百万元?的数据?如下表所示?资金投入?利润?求样本?的相关系数?精确到?根据上表提供的数据?用最小二乘法求出?关于?的线性回归直线方程?现投入资金?千万元?求获得利润的估计值?附?相关系数?槡?槡?对于一组数据?其回归直线?的斜率和截距的最小二乘估计分别为?分?已知数列?的前?项和为?求数列?的通项公式?若?求数列?的前?项和?分?如图?在四棱锥?中?四边形?是菱形?槡?槡?是棱?上的动点?且?证明?平面?是否存在实数?使得平面?与平面?所成锐二面角的余弦值是槡?若存在?求出?的值?若不存在?请说明理由?高三数学?参考答案?第?页?共?页?理科?榆林市?年度高三第二次模拟检测数学试题参考答案?理科?由题意可得?则?因为?所以复数?的实部与虚部分别是?和?故复数?的实部与虚部之和是?因为?所以?设参加体检的人数是?则?解得?画出可行域?如图所示?且?表示的是可行域内的点与原点?连线的斜率?故?不妨设?在双曲线?的右支上?由题意可得?则?因为?所以?因为?所以?槡?即?则?故双曲线?的离心率?取棱?靠近点?的三等分点?取棱?的中点?连接?易证?则?是异面直线?与?所成的角?或补角?设?则?从而?槡?故?槡?槡?槡?在?中?由 余 弦 定 理 可 得?槡?因为?所以?所以?则?故?作出?的图象?图略?由图可知?当?时?则?解得?当?时?则?解得?综上?的取值范围是?设?外接圆的半径为?则?槡?设球?的半径为?因为三棱锥?体积的最大值是槡?所以?槡?槡?槡?槡?解得?故球?的表面积是?因为?所以?由?得?或?由?得?则?在?和?上单调递增?在?上单调递减?因为?当?时?当?时?所以可画出?的大致图象?图略?设?则?当?时?有三个不同的零点?不妨设?则?槡?从而?无实数根?或有?个实数根?或有?个实数?高三数学?参考答案?第?页?共?页?理科?根?有?个不同的实数根?有?个实数根?故?可能有?个实数根?或有?个实数根?或有?个实数根?当?时?有?个实数根?则?有?个实数根?有?个实数根?故?有?个实数根?当?时?有一个实数根?则?有?个实数根?综上?的零点个数可能是?或?或?或?由题意可得?则?解得?因为?服从正态分布?所以?则?因为?在区间?内的个数为?故可估计所抽取的这批配件共有?万个?因为?所以?所以?则?因为?所以?所以?则?即?因为?是锐角三角形?所以?所以?所以槡?槡?则?故?即?的取值范围是?设直线?的方程为?联立方程组?得?则?因为?所以?因为直线?的方程为?所以直线?与抛物线?的准线的交点为?所以直线?的斜率为?因为?平分?所以?所以?因为?所以?所以?得?解?由题意得?分因为?分所以?槡?槡?槡?槡?槡?槡?高三数学?参考答案?第?页?共?页?理科?故?槡?槡?槡?槡?分?分故线性回归直线方程为?分?当?时?百万元?分?解?因为?所以?故?所以?即?分当?时?分因为?所以?所以?分则?是首项和公比都为?的等比数列?由?可得?分?分则?是首项和公比都为?的等比数列?分故?因为?槡?证明?因为四边形?是菱形?所以?分因为?平面?且?所以?平面?分因为?平面?所以?分分?槡?所以?所以?分因为?平面?且?所以?平面?分?解?取棱?的中点?连接?易证?两两垂直?故以?为原点?分别以?的方向为?轴的正方向?建立空间直角坐标系?设?则?槡?槡?故?槡?槡?因为?所以?槡?则?槡?分设平面?的法向量为?则?槡?槡?令?槡?得?槡?槡?分平面?的一个法向量为?分设平面?与平面?所成的锐二面角为?则?槡?槡?整理得?解得?或?舍去?故存在实数?使得平面?与平面?所成锐二面角的余弦值是槡?分?高三数学?参考答案?第?页?共?页?理科?解?由椭圆的对称性可知?槡?在椭圆?上?分由题意可得?解得?分故椭圆?的标准方程为?分?当直线?的斜率不存在时?直线?的方程为?则不妨令?因为?所以?故?分当直线?的斜率存在时?设直线?的方程为?联立?整理得?分则由?得?分因为?所以?分综上?直线?的斜率之和是定值?且该定值为?分?解?由题意可得?分当?时?由?得?由?得?则?在?上单调递减?在?上单调递增?分当?时?则?由?得?或?由?得?则?在?上单调递减?在?和?上单调递增?分当?时?在?上恒成立?则?在?上单调递增?分当?时?则?由?得?或?由?得?则?在?上单调递减?在?和?上单调递增?分?由?可知当?时?在?上单调递减?在?上单调递增?要使?有两个零点?需至少满足?即?当?时?则?在?与?上各有一个零点?即?符合题意?分?高三数学?参考答案?第?页?共?页?理科?当?时?只有一个零点?则?不符合题意?分当?时?由?当?时?则?在?上恒成立?由?可知?在?上单调递增或先递减后递增?则?不可能有两个零点?即?不符合题意?分综上?的取值范围为?分?解?由?为参数?得?故曲线?的普通方程为?分由?得?故直线?的直角坐标方程为?分?由题意可知直线?的参数方程为?槡?槡?为参数?分将直线?的参数方程代入曲线?的普通方程并整理得?槡?分设?对应的参数分别是?则?槡?分故?分?解?分则?在?上单调递增?在?上单调递减?分故?即?分?由?可知?则?分因为?所以?当且仅当?即?时?等号成立?分故?即?的最小值是?分