2023年高考数学之平面向量专题突破专题八 平面向量的极化恒等式含解析.docx

2023年高考数学之平面向量专题突破2023年高考数学之平面向量专题突破专题八平面向量的极化恒等式利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决1极化恒等式：a·b(ab)2(ab)2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的2平行四边形模式：如图(1)，平行四边形ABCD，O是对角线交点则：(1)·|AC|2|BD|23三角形模式：如图(2)，在ABC中，设D为BC的中点，则·|AD|2|BD|2三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决记忆：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差考点一平面向量数量积的定值问题【方法总结】利用极化恒等式求数量积的定值问题的步骤(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；(3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值积化恒等式适用于求对共起点(终点)的两向量的数量积，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积，从而用极化恒等式解决在运用极化恒等式求数量积时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在于求中线及第三边的长度，通常用平面几何方法或用正余弦定理求解，从而得到数量的值【例题选讲】例1 (1)(2014·全国)设向量a，b满足|ab|，|ab|，则a·b()A1B2C3D5答案A解析通法由条件可得，(ab)210，(ab)26，两式相减得4a·b4，所以a·b1极化恒等式a·b(ab)2(ab)2(106)1(2) (2012·浙江)在ABC中，M是BC的中点，AM3，BC10，则·_答案16解析因为M是BC的中点，由极化恒等式得：·|AM|2|BC|29×10016(3)如图所示，AB是圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于点O对称的两点，且AB6，MN4，则·()A13B7C5D3答案C解析连接AP，BP，则，所以·()·()···|2··|2·|21×615(4)如图，在平行四边形ABCD中，AB1，AD2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则··_答案解析连结EG，FH，交于点O，则··221，··221，因此··(5) (2016·江苏)如图，在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点·4，·1，则·的值为_答案解析极化恒等式法设BDDCm，AEEFFDn，则AD3n根据向量的极化恒等式，有·229n2m24， ·22n2m21联立解得n2，m2因此·224n2m2即·坐标法以直线BC为x轴，过点D且垂直于BC的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xoy，如图：设A(3a，3b)，B(c，0)，C(c，0)，则有E(2a，2b)，F(a，b)·(3ac，3b)·(3ac，3b)9a2c29b24·(ac，b)·(ac，b)a2c2b21，则a2b2，c2··4a2c24b2基向量·()()4，·()()1，因此2，·()()(6)在梯形ABCD中，满足ADBC，AD1，BC3，·2，则·的值为_答案4解析过A点作AE平行于DC，交BC于E，取BE中点F，连接AF，过D点作DH平行于AC，交BC延长线于H，E为BH中点，连接DE，又，ADBC，则四边形ADEF为平行四边形，【对点训练】1已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为_2如图，AOB为直角三角形，OA1，OB2，C为斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则·()A1BCD3如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA3，OC5，若·7，则·的值是_4已知点A，B分别在直线x3，x1上，|4，当|取最小值时，·的值是_A0B2C3D65在边长为1的正三角形ABC中，D，E是边BC的两个三等分点(D靠近点B)，则·等于()ABCD6在ABC中，|，AB2，AC1，E，F为BC的三等分点，则·等于()ABCD7如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，·2，则·的值是()A44B22C24D728如图，在ABC中，已知AB4，AC6，A60°，点D，E分别在边AB，AC上，且2，2，若F为DE的中点，则·的值为_9如图，在ABC中，已知AB3，AC2，BAC120°，D为边BC的中点，若CDAD，垂足为E，则·_10在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB1，EF，CD，若·15则·的值为_考点二平面向量数量积的最值(范围)问题【方法总结】利用极化恒等式求数量积的最值(范围)问题的步骤(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；(3)求中线长的最值(范围)，从而得到数量的最值(范围)积化恒等式适用于求对共起点(终点)的两向量的数量积的最值(范围)问题，利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积的最值(范围)问题，从而用极化恒等式解决在运用极化恒等式求数量积的最值(范围)时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在于求中线长的最值(范围)，通过观察或用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)，从而得到数量的最值(范围)【例题选讲】例1(1)若平面向量a，b满足|2ab|，则a·b的最小值为_答案解析a·b(2ab)2(2ab)2|2ab|2|2ab|2当且仅当|2ab|0，|2ab|3，即|a|，|b|，< a，b >时，a·b取最小值(2)如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3，点B，C分别在m，n上，|5，则·的最大值是_答案解析坐标法以直线n为x轴，过点A且垂直于n的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，如图：则A，C，B，则，从而2252，即29，又·bc33，当且仅当bc时，等号成立极化恒等式连接BC，取BC的中点D，·AD2BD2，又AD，故·BD2BC2，又因为BCmin312，所以(·) max(3)(2017·全国)已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·()的最小值是()A2BCD1答案B解析方法一(解析法)建立坐标系如图所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，)，B(1，0)，C(1，0)设P点的坐标为(x，y)，图则(x，y)，(1x，y)，(1x，y)，·()(x，y)·(2x，2y)2(x2y2y)22×当且仅当x0，y时，·()取得最小值，最小值为故选B方法二(几何法)如图所示，2(D为BC的中点)，则·()2·图要使·最小，则与方向相反，即点P在线段AD上，则(2·)min2|，问题转化为求|的最大值又当点P在线段AD上时，|2×，|22，·()min(2·)min2×故选B极化恒等式法设BC的中点为D，AD的中点为M，连接DP，PM，·()2·2|2|22|2当且仅当M与P重合时取等号(4)已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则·的取值范围是_答案2，6解析取AB的中点D，连接CD，因为三角形ABC为正三角形，所以O为三角形ABC的重心，O在CD上，且OC2OD2，所以CD3，AB2又由极化恒等式得：·|PD|2|AB|2|PD|23，因为P在圆O上，所以当P在点C处时，|PD|max3，当P在CO的延长线与圆O的交点处时，|PD|min1，所以·2，6(5)如图，已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧AB上的一点，若2，则·的最小值为_答案52解析通法以圆心为坐标原点，平行于AB的直径所在直线为x轴，AB的垂直平分线所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(1，)，C(2，)，设P(2cos ，2sin )，则·(22cos ，2sin )·(12cos ，2sin )52cos 4sin 52sin()，其中0<tan <，所以0<<，当时，·取得最小值，为52极化恒等式法设圆心为O，由题得AB2，AC3取AC的中点M，由极化恒等式得·222，要使·取最小值，则需PM最小，当圆弧的圆心与点P，M共线时，PM最小易知DM，OM，所以PM有最小值为2，代入求得·的最小值为52(6)在面积为2的ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则·2的最小值是_答案2解析取BC的中点为D，连接PD，则由极化恒等式得·2222，此时当且仅当时取等号，·222另解取BC边的中点M，连接PM，设点P到BC边的距离为h则SABC··2h2，PMh，所以·22222h22(当且仅当h，h2时，等号成立)【对点训练】1已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则()·的最小值为()ABCD12如图，设A，B是半径为2的圆O上的两个动点，点C为AO中点，则·的取值范围是()A1，3B1，3C3，1D3，13如图，在半径为1的扇形AOB中，AOB，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则·的最小值为_4(2020·天津)如图，在四边形ABCD中，B60°，AB3，BC6，且，·，则实数的值为_，若M，N是线段BC上的动点，且|1，则·的最小值为_5在ABC中，AC2BC4，ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且MN1，若的最小值为，则cosACB_6已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，AB8，CD6，则·的取值范围是_7如图，设正方形ABCD的边长为4，动点P在以AB为直径的弧APB上，则·的取值范围为_8已知正ABC内接于半径为2的圆O，E为线段BC上的一个动点，延长AE交圆O于点F，则·的取值范围是_9已知AB是半径为4的圆O的一条弦，圆心O到弦AB的距离为1，P是圆O上的动点，则·的取值范围为_10矩形ABCD中，AB3，BC4，点M，N分别为边BC，CD上的动点，且MN2，则·的最小值为_11在ABC中，已知AB，C，则·的最大值为_12已知在ABC中，P0是边AB上一定点，满足P0BAB，且对于边AB上任一点P，恒有··，则()AABC90°BBAC90°CABACDACBC13在正方形ABCD中，AB1，A，D分别在x，y轴的非负半轴上滑动，则·的最大值为_14在三角形ABC中，D为AB中点，C90°，AC4，BC3，E，F分别为BC，AC上的动点，且EF1，则·最小值为_15在RtABC中，C90°，AC3，AB5，若点A，B分别在x，y轴的非负半轴上滑动，则·的最大值为_16已知正方形ABCD的边长为2，点F为AB的中点，以A为圆心，AF为半径作弧交AD于E，若P为劣弧EF上的动点，则·的最小值为_17如图，已知B，D是直角C两边上的动点，ADBD，|，BAD，()，()，则·的最大值为_18如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，BCD60°，CBCD2若点M为边BC上的动点，则·的最小值为_19(2018·天津)如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，BAD120°，ABAD1若点E为边CD上的动点，则·的最小值为_20如图，圆O为RtABC的内切圆，已知AC3，BC4，C，过圆心O的直线l交圆于P，Q两点，则·的取值范围为_21在三棱锥SABC中，SA，SB，SC两两垂直，且SASBSC2，点M为三棱锥SABC的外接球面上任意一点，则·的最大值为_22如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，·的取值范围是_23已知线段AB的长为2，动点C满足·（为常数），且点C总不在以点B为圆心，为半径的圆内，则负数的最大值为_24若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为()A2B3C6D8专题八平面向量的极化恒等式利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决1极化恒等式：a·b(ab)2(ab)2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的2平行四边形模式：如图(1)，平行四边形ABCD，O是对角线交点则：(1)·|AC|2|BD|23三角形模式：如图(2)，在ABC中，设D为BC的中点，则·|AD|2|BD|2三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决记忆：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差考点一平面向量数量积的定值问题【方法总结】利用极化恒等式求数量积的定值问题的步骤(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；(3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值积化恒等式适用于求对共起点(终点)的两向量的数量积，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积，从而用极化恒等式解决在运用极化恒等式求数量积时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在于求中线及第三边的长度，通常用平面几何方法或用正余弦定理求解，从而得到数量的值【例题选讲】例1 (1)(2014·全国)设向量a，b满足|ab|，|ab|，则a·b()A1B2C3D5答案A解析通法由条件可得，(ab)210，(ab)26，两式相减得4a·b4，所以a·b1极化恒等式a·b(ab)2(ab)2(106)1(2) (2012·浙江)在ABC中，M是BC的中点，AM3，BC10，则·_答案16解析因为M是BC的中点，由极化恒等式得：·|AM|2|BC|29×10016(3)如图所示，AB是圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于点O对称的两点，且AB6，MN4，则·()A13B7C5D3答案C解析连接AP，BP，则，所以·()·()···|2··|2·|21×615(4)如图，在平行四边形ABCD中，AB1，AD2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则··_答案解析连结EG，FH，交于点O，则··221，··221，因此··(5) (2016·江苏)如图，在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点·4，·1，则·的值为_答案解析极化恒等式法设BDDCm，AEEFFDn，则AD3n根据向量的极化恒等式，有·229n2m24， ·22n2m21联立解得n2，m2因此·224n2m2即·坐标法以直线BC为x轴，过点D且垂直于BC的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xoy，如图：设A(3a，3b)，B(c，0)，C(c，0)，则有E(2a，2b)，F(a，b)·(3ac，3b)·(3ac，3b)9a2c29b24·(ac，b)·(ac，b)a2c2b21，则a2b2，c2··4a2c24b2基向量·()()4，·()()1，因此2，·()()(6)在梯形ABCD中，满足ADBC，AD1，BC3，·2，则·的值为_答案4解析过A点作AE平行于DC，交BC于E，取BE中点F，连接AF，过D点作DH平行于AC，交BC延长线于H，E为BH中点，连接DE，又，ADBC，则四边形ADEF为平行四边形，【对点训练】1已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为_1答案1解析取AE中点O，设|AE|x(0x1)，则|AO|x，·|DO|2|AO|212x212如图，AOB为直角三角形，OA1，OB2，C为斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则·()A1BCD2答案B解析取AO中点Q，连接PQ，··PQ2AQ23如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA3，OC5，若·7，则·的值是_3答案9解析因为·22927216，所以·22251694已知点A，B分别在直线x3，x1上，|4，当|取最小值时，·的值是_A0B2C3D64答案C解析如图，点A，B分别在直线x1，x3上，|4，当|取最小值时，AB的中点在x轴上，·224405在边长为1的正三角形ABC中，D，E是边BC的两个三等分点(D靠近点B)，则·等于()ABCD5答案C解析解法一：因为D，E是边BC的两个三等分点，所以BDDECE，在ABD中，AD2BD2AB22BD·AB·cos60°2122××1×，即AD，同理可得AE，在ADE中，由余弦定理得cosDAE，所以·|·|cosDAE××解法二：如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得A，D，E，所以(，)，所以··极化恒等式法取DE中点F，连接AF，则·|AF|2|DF|26在ABC中，|，AB2，AC1，E，F为BC的三等分点，则·等于()ABCD6答案B解析坐标法由|，化简得·0，又因为AB和AC为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB与AC垂直，所以ABC为直角三角形以A为原点，以AC所在直线为x轴，以AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)不妨令E为BC的靠近C的三等分点，则E，F，所以，所以·××极化恒等式法取EF中点M，连接AM，则·|AM|2|EM|27如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，·2，则·的值是()A44B22C24D727答案B解析如图，取AB中点E，连接EP并延长，交AD延长线于F，·EP2AE2EP2162，EP3，又3，AE2DP，即FAE中，DP为中位线，AF2AD10，AEAB4，FE2PE6，AP240，··AP2EP240(3)2228如图，在ABC中，已知AB4，AC6，A60°，点D，E分别在边AB，AC上，且2，2，若F为DE的中点，则·的值为_8答案4解析取BD的中点N，连接NF，EB，则BEAE，BE2在DEB中FNEBFN·2·2(FN2DN2)49如图，在ABC中，已知AB3，AC2，BAC120°，D为边BC的中点，若CDAD，垂足为E，则·_9答案解析由余弦定理得，BC2AB2AC22 AB·AC·cos120°19，即BC，因为·AD2CD2|AB|·|AC|·cos120°3，所以|AD|，因为SABC2SADC，则|AB|·|AC|·sin120°2·|AD|CE|，解得|CE|，在RtDEC中，|DE|，所以·|ED|2|CD|210在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB1，EF，CD，若·15则·的值为_10答案解析极化恒等式如图，取中点，四边形中，易知三线共点于，又，在中，由中线长公式知,从而，=基向量法，则，可化为，考点二平面向量数量积的最值(范围)问题【方法总结】利用极化恒等式求数量积的最值(范围)问题的步骤(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；(3)求中线长的最值(范围)，从而得到数量的最值(范围)积化恒等式适用于求对共起点(终点)的两向量的数量积的最值(范围)问题，利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积的最值(范围)问题，从而用极化恒等式解决在运用极化恒等式求数量积的最值(范围)时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在于求中线长的最值(范围)，通过观察或用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)，从而得到数量的最值(范围)【例题选讲】例1(1)若平面向量a，b满足|2ab|，则a·b的最小值为_答案解析a·b(2ab)2(2ab)2|2ab|2|2ab|2当且仅当|2ab|0，|2ab|3，即|a|，|b|，< a，b >时，a·b取最小值(2)如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3，点B，C分别在m，n上，|5，则·的最大值是_答案解析坐标法以直线n为x轴，过点A且垂直于n的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，如图：则A，C，B，则，从而2252，即29，又·bc33，当且仅当bc时，等号成立极化恒等式连接BC，取BC的中点D，·AD2BD2，又AD，故·BD2BC2，又因为BCmin312，所以(·) max(3)(2017·全国)已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·()的最小值是()A2BCD1答案B解析方法一(解析法)建立坐标系如图所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，)，B(1，0)，C(1，0)设P点的坐标为(x，y)，图则(x，y)，(1x，y)，(1x，y)，·()(x，y)·(2x，2y)2(x2y2y)22×当且仅当x0，y时，·()取得最小值，最小值为故选B方法二(几何法)如图所示，2(D为BC的中点)，则·()2·图要使·最小，则与方向相反，即点P在线段AD上，则(2·)min2|，问题转化为求|的最大值又当点P在线段AD上时，|2×，|22，·()min(2·)min2×故选B极化恒等式法设BC的中点为D，AD的中点为M，连接DP，PM，·()2·2|2|22|2当且仅当M与P重合时取等号(4)已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则·的取值范围是_答案2，6解析取AB的中点D，连接CD，因为三角形ABC为正三角形，所以O为三角形ABC的重心，O在CD上，且OC2OD2，所以CD3，AB2又由极化恒等式得：·|PD|2|AB|2|PD|23，因为P在圆O上，所以当P在点C处时，|PD|max3，当P在CO的延长线与圆O的交点处时，|PD|min1，所以·2，6(5)如图，已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧AB上的一点，若2，则·的最小值为_答案52解析通法以圆心为坐标原点，平行于AB的直径所在直线为x轴，AB的垂直平分线所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(1，)，C(2，)，设P(2cos ，2sin )，则·(22cos ，2sin )·(12cos ，2sin )52cos 4sin 52sin()，其中0<tan <，所以0<<，当时，·取得最小值，为52极化恒等式法设圆心为O，由题得AB2，AC3取AC的中点M，由极化恒等式得·222，要使·取最小值，则需PM最小，当圆弧的圆心与点P，M共线时，PM最小易知DM，OM，所以PM有最小值为2，代入求得·的最小值为52(6)在面积为2的ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则·2的最小值是_答案2解析取BC的中点为D，连接PD，则由极化恒等式得·2222，此时当且仅当时取等号，·222另解取BC边的中点M，连接PM，设点P到BC边的距离为h则SABC··2h2，PMh，所以·22222h22(当且仅当h，h2时，等号成立)【对点训练】1已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则()·的最小值为()ABCD11答案C解析2，()·2·，取OC中点D，由极化恒等式得，·|PD|2|CD|2|PD|2，又|PD|0，()·的最小值为2如图，设A，B是半径为2的圆O上的两个动点，点C为AO中点，则·的取值范围是()A1，3B1，3C3，1D3，12答案A解析建立平面直角坐标系如图所示，可得O(0，0)，A(2，0)，C(1，0)，设B(2cos ，2sin)0，2)则·(1，0)·(2cos 1，2sin )2cos 11，3故选A极化恒等式法连接OB，取OB的中D，连接CD，则·|CD|2|BD|2CD21，又|CD|0，·的最小值为1|CD|2，·的最大值为33如图，在半径为1的扇形AOB中，AOB，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则·的最小值为_3答案解析取OB的中点D，连接PD，则·|2|2|2，于是只要求求PD的最小值即可，由图可知，当PDAB，时，PD，即所求最小值为4(2020·天津)如图，在四边形ABCD中，B60°，AB3，BC6，且，·，则实数的值为_，若M，N是线段BC上的动点，且|1，则·的最小值为_4答案解析第1空因为，所以ADBC，则BAD120°，所以·|·|·cos 120°，解得|1因为，同向，且BC6，所以，即第2空通法在四边形ABCD中，作AOBC于点O，则BOAB·cos 60°，AOAB·sin 60°以O为坐标原点，以BC和AO所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系如图，设M(a，0)，不妨设点N在点M右侧，则N(a1，0)，且a又D，所以，所以·a2a2所以当a时，·取得最小值极化恒等式法如图，取MN的中点P，连接PD，则·222，当时，|2取最小值，所以·的最小值为5在ABC中，AC2BC4，ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且MN1，若的最小值为，则cosACB_5答案解析取MN的中点P，则由极化恒等式得，的最小值为，由平几知识知：当CPAB时，CP最小，如图，作CHAB，H为垂足，则CH1，又AC2BC4，所以B30o，sinA=，所以cosACBcos（150o A）=6已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，AB8，CD6，则·的取值范围是_6答案9，0解析如图，·22216，|，|4，·的取值范围是9，07如图，设正方形ABCD的边长为4，动点P在以AB为直径的弧APB上，则·的取值范围为_7答案0，16解析如图取CD的中点E，连接PE，·2222，2|2，所以·的取值范围为0，168已知正ABC内接于半径为2的圆O，E为线段BC上的一个动点，延长AE交圆O于点F，则·的取值范围是_8答案0，6解析取AB的中点D，连接CD，因为三角形ABC为正三角形，所以O为三角形ABC的重心，O在CD上，且OC2OD2，所以CD3，AB2又由极化恒等式得：·|FD|2|AD|2|FD|23，因为F在劣弧BC上，所以当F在点C处时，|FD|max3，当F在点B处时， |PD|min，所以·0，69已知AB是半径为4的圆O的一条弦，圆心O到弦AB的距离为1，P是圆O上的动点，则·的取值范围为_9答案6，10解析极化恒等式法设AB的中点为C，连接CP，则·|2|2|215|215251510，|215915610矩形ABCD中，AB3，BC