陕西省安康市第二中学202-2022学年高三第二次调研数学试卷含解析.pdf

2022 年高考数学模拟试卷 注意事项 1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用 2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若双曲线22221(0,0)xyabab的一条渐近线与直线6310 xy 垂直，则该双曲线的离心率为（）A2 B52 C102 D2 3 2若直线240 xym经过抛物线22yx的焦点，则m（）A12 B12 C2 D2 3将函数()sin(2)3f xx()xR的图象分别向右平移3个单位长度与向左平移n(n0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则n的最小值为()A3 B23 C2 D 4已知数列 na满足*331log1lognnaanN,且2469aaa,则13573logaaa的值是()A5 B3 C4 D991 5已知F为抛物线2:8Cyx的焦点，点1,Am在C上，若直线AF与C的另一个交点为B，则AB()A12 B10 C9 D8 6 在长方体1111ABCDABC D中，1123ABADAA，则直线1DD与平面1ABC所成角的余弦值为（）A32 B33 C155 D105 7已知向量1,2,2,2ab，且ab，则等于（）A4 B3 C2 D1 8“角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于 1 的整数n，如果n为偶数就除以 2，如果n是奇数，就将其乘 3 再加 1，执行如图所示的程序框图，若输入10n，则输出i的（）A6 B7 C8 D9 9已知全集，则（）A B C D 10“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于 2 的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是 1742 年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将 6 拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（）A15 B13 C35 D23 11设双曲线22:1916xyC的右顶点为A，右焦点为F，过点F作平行C的一条渐近线的直线与C交于点B，则AFB的面积为（）A3215 B6415 C5 D6 12 易经包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，易经的博大精深，对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响 下图就是易经中记载的几何图形八卦田，图中正八 边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田已知正八边 形的边长为10m，阴阳太极图的半径为4m，则每块八卦田的面积约为（）A247.79m B254.07m C257.21m D2114.43m 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13若存在实数kb，使得不等式 f xkxbg x在某区间上恒成立，则称 fx与 g x为该区间上的一对“分离函数”，下列各组函数中是对应区间上的“分离函数”的有_.（填上所有正确答案的序号）0,2x，sinf xx，tang xx；1,)x，21f xx，21g xx；Rx，22f xx，xxg xee；(0,)x，1f xxx，2 lng xxx.14已知函数 2211xkxfxxx，若对于任意正实数123,x xx，均存在以 123,f xf xf x为三边边长的三角形，则实数 k 的取值范围是_.15已知双曲线22221(0,0)xyabab的左焦点为(3,0)F，A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为H，BF的中点为K，HK的中点为G，若|HK|=2|OG|，且直线AB的斜率为24，则|AB _，双曲线的离心率为_ 16函数()xf xae与()1g xx 的图象上存在关于x轴的对称点，则实数a的取值范围为_.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）已知函数 221f xxx.（1）求不等式 1fx 的解集；（2）若关于x的不等式 232f xtt在区间1,1内无解，求实数t的取值范围.18（12 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 2f xxmxm的最大值为 3，其中0m （1）求m的值；（2）若,a bR，0ab，222abm，求证：331abba 19（12 分）在直角坐标系中，已知圆222:()(1)1Mxaya，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线sin24平分圆 M 的周长.（1）求圆 M 的半径和圆 M 的极坐标方程；（2）过原点作两条互相垂直的直线12,l l，其中1l与圆 M 交于 O，A 两点，2l与圆 M 交于 O，B 两点，求OAB面积的最大值.20（12 分）已知函数2()lnf xxax aR,（1）若()f x在1x 处取得极值，求a的值；（2）求()f x在区间1,上的最小值；（3）在（1）的条件下，若2()()h xxf x，求证：当21xe时，恒有4()4()h xxh x成立 21（12 分）已知椭圆E：22221xyab（0ab）的左、右焦点分别为1F和2F，右顶点为A，且13AF，短轴长为2 3.（1）求椭圆E的方程；（2）若过点A作垂直x轴的直线l，点T为直线l上纵坐标不为零的任意一点，过2F作2TF的垂线交椭圆E于点P和Q，当27 2|24TFPQ时，求此时四边形1TPFQ的面积.22（10 分）已知数列 na满足：123112322221 22nnnaaaan对一切nN成立.（1）求数列 na的通项公式；（2）求数列21nnaa的前n项和nS.参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B【解析】由题中垂直关系，可得渐近线的方程，结合222cab，构造齐次关系即得解【详解】双曲线22221(0,0)xyabab的一条渐近线与直线6310 xy 垂直 双曲线的渐近线方程为12yx 12ba，得2222214,4ba caa 则离心率52cea 故选：B【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.2B【解析】计算抛物线的交点为10,8，代入计算得到答案.【详解】22yx可化为212xy，焦点坐标为10,8，故12m .故选：B.【点睛】本题考查了抛物线的焦点，属于简单题.3B【解析】首先根据函数()f x的图象分别向左与向右平移 m,n 个单位长度后，所得的两个图像重合，那么mnk T，利用()f x的最小正周期为，从而求得结果.【详解】()f x的最小正周期为，那么3nk(kZ)，于是3nk，于是当1k 时，n最小值为23，故选 B.【点睛】该题考查的是有关三角函数的周期与函数图象平移之间的关系，属于简单题目.4B【解析】由331log1lognnaa，可得13nnaa，所以数列 na是公比为3的等比数列，所以2462222981919aaaaaaa，则2991a，则3135712221333log()log(327243)log 33aaaaaa，故选 B.点睛：本题考查了等比数列的概念，等比数列的通项公式及等比数列的性质的应用，试题有一定的技巧，属于中档试题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，等比数列的性质和在使用等比数列的前 n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.5C【解析】求得A点坐标，由此求得直线AF的方程，联立直线AF的方程和抛物线的方程，求得B点坐标，进而求得AB【详解】抛物线焦点为2,0F，令1x，28y，解得2 2y ，不妨设1,2 2A，则直线AF的方程为2 222 2212yxx，由22 228yxyx，解得 1,2 2,4,4 2AB，所以224 14 22 29AB .故选：C【点睛】本小题主要考查抛物线的弦长的求法，属于基础题.6C【解析】在长方体中11/ABC D，得1DD与平面1ABC交于1D，过D做1DOAD于O，可证DO 平面11ABC D，可得1DD A为所求解的角，解1Rt ADD，即可求出结论.【详解】在长方体中11/ABC D，平面1ABC即为平面11ABC D，过D做1DOAD于O，AB 平面11AA D D，DO 平面111,AA D DABDO ABADD，DO平面11ABC D，1DD A为1DD与平面1ABC所成角，在1111,3,2,5Rt ADDDDAAADAD，111315cos55DDDD AAD，直线1DD与平面1ABC所成角的余弦值为155.故选:C.【点睛】本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题.7D【解析】由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解【详解】因为(1,2),(2,2)ab，且ab，22(2)0a b，则1 故选：D【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题 8B【解析】模拟程序运行，观察变量值可得结论【详解】循环前1,10in，循环时：5,2ni，不满足条件1n；16,3ni，不满足条件1n；8,4ni，不满足条件1n；4,5ni，不满足条件1n；2,6ni，不满足条件1n；1,7ni，满足条件1n，退出循环，输出7i 故选：B【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，从而得出结论 9C【解析】先求出集合 U，再根据补集的定义求出结果即可【详解】由题意得，故选 C【点睛】本题考查集合补集的运算，求解的关键是正确求出集合 和熟悉补集的定义，属于简单题 10A【解析】列出所有可以表示成和为 6 的正整数式子，找到加数全部为质数的只有3 36，利用古典概型求解即可.【详解】6 拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),而加数全为质数的有(3,3),根据古典概型知，所求概率为15P.故选：A.【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件，属于容易题.11A【解析】根据双曲线的标准方程求出右顶点A、右焦点F的坐标，再求出过点F与C的一条渐近线的平行的直线方程，通过解方程组求出点B的坐标，最后利用三角形的面积公式进行求解即可.【详解】由双曲线的标准方程可知中：223,45abcab ，因此右顶点A的坐标为(3,0)，右焦点F的坐标为(5,0)，双曲线的渐近线方程为：43yx，根据双曲线和渐近线的对称性不妨设点F作平行C的一条渐近线43yx的直线与C交于点B，所以直线FB的斜率为43，因此直线FB方程为：4(5)3yx，因此点B的坐标是方程组：224(5)31916yxxy的解，解得方程组的解为：1753215xy，即1732(,)515B，所以AFB的面积为：13232(53)21515.故选：A【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程的应用，考查了两直线平行的性质，考查了数学运算能力.12B【解析】由图利用三角形的面积公式可得正八边形中每个三角形的面积，再计算出圆面积的18，两面积作差即可求解.【详解】由图，正八边形分割成8个等腰三角形，顶角为360458，设三角形的腰为a，由正弦定理可得10135sin45sin2a，解得13510 2sin2a，所以三角形的面积为：211351 cos13510 2sinsin4550 22521222S，所以每块八卦田的面积约为：212521454.078.故选：B【点睛】本题考查了正弦定理解三角形、三角形的面积公式，需熟记定理与面积公式，属于基础题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13【解析】由题意可知，若要存在kxb使得 f xkxbg x成立，我们可考虑两函数 ,f xg x是否存在公切点，若两函数在公切点对应的位置一个单增，另一个单减，则很容易判断，对，都可以采用此法判断，对分析式子特点可知，2211xxx，进而判断【详解】0,2x时，令 0sinfxxx，则 01cos0fxx，0fx单调递增，00fxf x，即sinxx.令 0tangxxx，则 021cosgxxx，0gx单调递减，00gxg x，即tanxx，因此sintanxxx，满足题意.1,)x时，易知2211xxx，满足题意.注意到 002fg，因此如果存在直线ykxb，只有可能是 f x（或 g x）在0 x 处的切线，200f xxf，因此切线为2y，易知 22xxg xee，2f x，因此不存在直线ykxb满足题意.(0,)x时，注意到 110fg，因此如果存在直线ykxb，只有可能是 g x（或 f x）在1x 处的切线，2ln212gxxg，因此切线为22yx.令 0122fxxxx，则 0211fxx，易知 0fx在0,1上单调递增，在(1,)上单调递减，所以 0010fxf，即122xxx.令 02 ln22gxxxx，则 02lngxx，易知 0gx在0,1上单调递减，在(1,)上单调递增，所以 0010gxg，即2 ln22xxx.因此1222 lnxxxxx，满足题意.故答案为：【点睛】本题考查新定义题型、利用导数研究函数图像，转化与化归思想，属于中档题 141,42【解析】根据三角形三边关系可知 123f xf xf x对任意的123,x xx恒成立,将 fx的解析式用分离常数法变形,由均值不等式可得分母的取值范围,则整个式子的取值范围由1k 的符号决定,故分为三类讨论,根据函数的单调性求出函数值域,再讨论k,转化为 12f xf x的最小值与 3f x的最大值的不等式,进而求出k的取值范围.【详解】因为对任意正实数123,x xx,都存在以 123,f xf xf x为三边长的三角形,故 123f xf xf x对任意的123,x xx恒成立,222111111111kxxkxkf xxxxxxx ,令113txx,则113kytt,当10k ,即1k 时,该函数在3,上单调递减,则21,3ky；当1k,即1k 时,1y,当10k ,即1k 时,该函数在3,上单调递增,则2,13ky,所以,当1k 时,因为 122423kf xf x,3213kf x,所以223k,解得14k；当1k 时,1231f xf xf x,满足条件；当1k 时,122423kf xf x,且 3213kf x,所以2413k,解得112k,综上,142k,故答案为:1,42【点睛】本题考查参数范围,考查三角形的构成条件,考查利用函数单调性求函数值域,考查分类讨论思想与转化思想.152 3 62 【解析】设00,A x y，00,Bxy，根据中点坐标公式可得,H K坐标，利用0OH OK可得到A点坐标所满足的方程，结合直线斜率可求得2200,xy，进而求得AB；将A点坐标代入双曲线方程，结合焦点坐标可求得,a b，进而得到离心率.【详解】左焦点为3,0F，双曲线的半焦距3c 设00,A x y，00,Bxy，003,22xyH，003,22xyK，2HKOG，OHOK，即0OH OK，22003044xy，即22003xy，又直线AB斜率为24，即0024yx，2083x，2013y，2200442 3ABxy，A在双曲线上，2200221xyab，即2281133ab，结合2223cab可解得：2a，1b，离心率62cea.故答案为：2 3；62.【点睛】本题考查直线与双曲线的综合应用问题，涉及到直线截双曲线所得线段长度的求解、双曲线离心率的求解问题；关键是能够通过设点的方式，结合直线斜率、垂直关系、点在双曲线上来构造方程组求得所需变量的值.161a【解析】先求得与 g x关于x轴对称的函数()1h xx，将问题转化为()exf xa与()1h xx的图象有交点，即方程e1xax有解.对a分成0,0,0aaa三种情况进行分类讨论，由此求得实数a的取值范围.【详解】因为()1g xx 关于x轴对称的函数为()1h xx，因为函数()exf xa与()1g xx 的图象上存在关于x轴的对称点，所以()exf xa与()1h xx的图象有交点，方程e1xax有解.0a 时符合题意.0a 时转化为1e(1)xxa有解，即exy，1(1)yxa的图象有交点，1(1)yxa是过定点(1,0)的直线，其斜率为1a，若0a，则函数exy 与1(1)yxa的图象必有交点，满足题意；若0a，设exy，1(1)yxa相切时，切点的坐标为,emm，则e111emmmaa，解得1a，切线斜率为11a，由图可知，当11a，即01a时，exy，1(1)yxa的图象有交点，此时，2()exf xax与2()1h xxx 的图象有交点，函数2()exf xax与2()1g xxx的图象上存在关于x轴的对称点，综上可得，实数a的取值范围为1a.故答案为：1a【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数的零点以及对称性，函数与方程等基础知识，考查学生分析问题，解决问题的能力，推理与运算求解能力，转化与化归思想和应用意识.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）2,0；（2）1(,)(2,)2.【解析】（1）只需分2x，122x，21x 三种情况讨论即可；（2）232fxtt在区间1,1上恒成立，转化为 2min32f xtt，只需求出 minf x即可.【详解】（1）当2x 时，35fxx ，此时不等式无解；当122x时，31fxx，由122311xx 得102x；当21x 时，3f xx，由1231xx 得122x ，综上，不等式的解集为 2,0；（2）依题意，232fxtt在区间1,1上恒成立，则 2min32f xtt，当112x 时，532,)2f xx；当112x时，531 2,2f xx ，所以当1,1x 时，min2f x，由2232tt 得2t 或12t ，所以实数t的取值范围为1(,)(2,)2.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法、不等式恒成立问题，考查学生分类讨论与转化与化归的思想，是一道基础题.18（1）1m（2）见解析【解析】（1）分三种情况去绝对值，求出最大值与已知最大值相等列式可解得；（2）将所证不等式转化为1ab2ab1，再构造函数利用导数判断单调性求出最小值可证【详解】（1）0m，3,22,23,2m xmf xxmxmxmmxmm xm .当2xm时，f x取得最大值3m.1m.（2）由（），得221ab，222223344212aba babababbaababab.2212abab，当且仅当ab时等号成立，102ab.令 12h ttt，102t.则 h t在10,2上单调递减.112h th.当102ab时，121abab.331abba.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及不等式的恒成立问题，其中解答中根据绝对值的定义，合理去掉绝对值号，及合理转化恒成立问题是解答本题的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用.19（1）2，2(sincos)（2）2【解析】先求出1a，再求圆的半径和极坐标方程；（2）设1:2,:,2ll 12|,|OAOB求出12(sincos),22(cossin),再求出 2cos22OHBS得解.【详解】（1）将sin24化成直角坐标方程，得2xy 则12a，故1a，则圆 22:(1)(1)2Mxy，即22220 xyxy，所以圆 M 的半径为2.将圆 M 的方程化成极坐标方程，得22(sincos)0.即圆 M 的极坐标方程为2(sincos).（2）设1:212,:,|,|2llOAOB，则12(sincos),用2代替.可得22(cossin),22121,|2 cossin2cos222OHBllSOAOB max2OABS【点睛】本题主要考查直角坐标和极坐标的互化，考查极径的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20（1）2；（2）ln222aaa；（3）证明见解析【解析】（1）先求出函数的定义域和导数，由已知函数()f x在1x 处取得极值，得到()01f，即可求解a的值；（2）由（1）得22()2axafxxxx，定义域为(0,)，分0a，02a和2a 三种情况讨论，分别求得函数的最小值，即可得到结论；（3）由2()()h xxf x，得到()2lnh xx，把4()4()h xxh x，只需证22ln1xxx，构造新函数22()ln1xxxx，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】（1）由2()lnf xxax，定义域为(0,)，则()2afxxx，因为函数2()lnf xxax在1x 处取得极值，所以()01f，即20a，解得2a，经检验，满足题意，所以2a.(2)由（1）得22()2axafxxxx，定义域为(0,)，当0a 时，有()0fx，()f x在区间1,)上单调递增，最小值为(1)1f，当02a时，由()0fx得2ax，且012a，当0,2ax时，()0fx，()f x单调递减；当,2ax时，()0fx，()f x单调递增；所以()f x在区间1,)上单调递增，最小值为(1)1f，当2a 时，则12a，当1,2ax时，()0fx，()f x单调递减；当,2ax时，()0fx，()f x单调递增；所以()f x在2ax 处取得最小值ln2222aaaaf，综上可得：当2a 时，()f x在区间1,)上的最小值为 1，当2a 时，()f x在区间1,)上的最小值为ln222aaa.（3）由2()()h xxf x得()2lnh xx，当21xe时，0ln2x，则()4h x，欲证4()4()h xxh x，只需证4()4()xh xh x，即证44()1xh xx，即22ln1xxx，设22()ln1xxxx，则22212(1)(22)(1)()(1)(1)xxxxxxx x，当21xe时，()0 x，()x在区间21,e上单调递增，当21xe时，()(1)0 x，即22ln01xxx，故4()4()h xxh x，即当21xe时，恒有4()4()h xxh x成立.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题 21（1）22143xy（2）24 27【解析】（1）依题意可得22233acbabc，解方程组即可求出椭圆的方程；（2）设(2,)(0)Tm m，则221TFm，设直线PQ的方程为1xmy，联立直线与椭圆方程，消去x，设11,P x y，22,Q xy，列出韦达定理，即可表示|PQ，再根据27 2|24TFPQ求出参数m，从而得出TPQS，最后由点1F到直线PQ的距离得到1TPQF PQSS，由112TPQF PQTPQTPFQSSSS四边形即可得解；【详解】解：（1）22233acbabc，解得231abc，椭圆E的方程为22143xy.（2）(2,0)A，可设(2,)(0)Tm m，221TFm.22 1TFmkm，1PQkm，设直线PQ的方程为1xmy，221143xmyxy，2234690mymy，显然 恒成立.设11,P x y，22,Q xy，则122634myym，122934y ym，222212121212|PQxxyym yyyy 222221212222121636141343434mmmyyy ymmmm.22222234347 21|24121121TFmmmPQmm，4218170mm，解得21m，解得1m ，22TF，24|7PQ，12412 22277TPQS.此时直线PQ的方程为10 xy，1(1,0)F，点1F到直线PQ的距离为|1 1|22d，1124 227TPQF PQTPQTPF QSSSS四边形，即此时四边形1TPFQ的面积为24 27.【点睛】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的综合应用，考查计算能力，属于中档题 22（1）nan；（2）35412nnnSnn【解析】（1）先通过1n 求得11a，再由2n 得123112312222222nnnaaaan，和条件中的式子作差可得答案；（2）变形可得211 1122nnaann，通过裂项求和法可得答案.【详解】（1）123112322221 22nnnaaaan，当1n 时，1122a，11a，当2n 时，123112312222222nnnaaaan，得：22nnnan，nan，适合11a，故nan；（2）2111 11222nnaan nnn，11111111121324352nSnn 111112212nn 35412nnnn.【点睛】本题考查nS法求数列的通项公式，考查裂项求和，是基础题.