专题6.1 含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题.doc

专题六不等式征询题一：含参数的不等式的恒成破、恰成破、能成破征询题一、考情分析纵不雅观近多青年高考关于不等式综合征询题的考察,要紧有三类征询题：恒成破征询题、能成破征询题以及恰成破征询题,恳求老师有较强的推理才能跟准确的打算才能,才能顺利解答从理论教学来看,这部分知识才能恳求高、难度大年夜,是老师操纵最为薄弱,看到就头疼的题目分析缘故,除了这类题目的入手确实不易之外,要紧是老师不形成解题的方法跟套路,致使于遇到类似的题目便发作可怕心理二、阅历分享(1)关于一元二次不等式恒成破征询题，恒大年夜于0确实是呼应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0确实是呼应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方不的常转化为求二次函数的最值或用不离参数法求最值(2)处理恒成破征询题肯定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，清楚谁的范围，谁确实是主元，求谁的范围，谁确实是参数(3)按照不等式恒成破求参数征询题，常用的方法是分类参数，转化为函数求最值三、知识拓展不等式的恒成破、能成破、恰成破征询题(1)恒成破征询题：假设f(x)在区间D上存在最小值，那么不等式f(x)>A在区间D上恒成破f(x)min>A(xD)；假设f(x)在区间D上存在最大年夜值，那么不等式f(x)<B在区间D上恒成破f(x)max<B(xD)(2)能成破征询题：假设f(x)在区间D上存在最大年夜值，那么在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成破f(x)max>A(xD)；假设f(x)在区间D上存在最小值，那么在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成破f(x)min<B(xD)(3)恰成破征询题：不等式f(x)>A恰在区间D上成破f(x)>A的解集为D；不等式f(x)<B恰在区间D上成破f(x)<B的解集为D.(4)运用全然不等式揣摸不等式是否成破：对所给不等式(或式子)变形，然后运用全然不等式求解条件不等式的最值征询题：通过条件转化成能运用全然不等式的方法求解求参数的值或范围：不雅观看题目特征，运用全然不等式判定相关成破条件，从而得参数的值或范围四、题型分析一、不等式恒成破征询题新课标下的高考越来越注重对老师的综合素养的考察,恒成破征询题确实是一个考察老师综合素养的特不好路途,它常以函数、方程、不等式跟数列等知识点为载体,渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思想的敏锐性、制作性等方面起到了积极的感染近多青年的数学高考中重复出现恒成破征询题,其方法逐渐多样化,但都与函数、导数知识密弗身分处理高考数学中的恒成破征询题常用以下几多种方法：函数性质法；主参换位法；不离参数法；数形结合理；消元转化法下面我就以近多青年高检验题为例加以分析(一)函数性质法1.一次函数单调性法给定一次函数,假设在内恒有,那么按照函数的图像线段如右以以下列图可得上述结论等价于1或2可吞并定成同理,假设在内恒有,那么有【例1】假设不等式对称心的一切都成破,求的范围【分析】我们可以用修改主元的方法,将视为主变元,立即元不等式化为：来求解来源:Z&xx&k.Com【点评】有些征询题,假设采纳太阿倒持即修改主元的策略,可发交易想不到的结果2.二次函数运用判不式、韦达定理及根的分布求解要紧有以下几多种全然典范：典范1：设1上恒成破；2上恒成破典范2：设1事前,上恒成破上恒成破2事前,上恒成破上恒成破【例2】【甘肃省天水市第一中学2018届高三上学期第二学段期中】关于任意实数，不等式恒成破，那么实数的取值范围是A.B.C.D.【答案】C【点评】不等式的恒成破，应跟函数的图像联系起来.二次项系数含字母，应对二次项系数是否为0，分情况讨论.当二次项系数不为0时，结合二次函数图像考虑，按照题意图像应恒在轴的下方，故抛物线开口向下且跟轴没交点，即判不式小于0.综合两种情况可得所求范围.【小试牛刀】已经清楚命题p：函数f(x)x22ax1在R上有零点命题q：x23(a1)x20在区间内恒成破假设命题“p且q是假命题,务虚数a的取值范围【分析】p真时,4a240a1或a1.那么p假时,1a1.q真时,令g(x)x23(a1)x2,那么得a.那么q假时,a.而p且q为假,即p与q一真一假或同假当p真q假时,a1或a1；当p假q真时,无解；当p假q假时,1a1.综上得a.3.不的函数：恒成破注：假设的最小值不存在,那么恒成破的下界大年夜于0；恒成破注：假设的最大年夜值不存在,那么恒成破的上界小于0【例3】已经清楚函数在处取得极值,其中,为常数1试判定,的值；2讨论函数的单调区间；3假设对任意,不等式恒成破,求的取值范围【分析】恒成破,即,要处理此题关键是求,【小试牛刀】【云南大年夜理州2017届第一次统测】设函数1求的最小值；2记的最小值为,已经清楚函数,假设关于任意的,恒有成破,务虚数的取值范围.【答案】1；2.【分析】1由已经清楚得令,得；令,得,因此的单调减区间为,单调增区间为从而2由1中得因此令,那么因此在上单调递增,由于,且事前,因此存在,使,且在上单调递减,在上单调递增由于,因此,即,由于关于任意的,恒有成破,因此因此,即,亦即,因此由于,因此,又,因此,从而,因此,故(二)不离参数法极端化原那么假设所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元不离于不等式中间,从而征询题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范围运用不离参数法来判定不等式,为实参数恒成破中参数的取值范围的全然步伐：1将参数与变量不离,即化为或恒成破的方法；2求在上的最大年夜或最小值；3解不等式(或),得的取值范围有用题型：1参数与变量能不离；2函数的最值易求出【例4.】【广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测】已经清楚函数,.1求函数在上的最小值；学！科网2对一切,恒成破,务虚数的取值范围；3讨论函数是否存在零点？假设存在,求出函数的零点；假设不存在,请说明因由.【分析】(1)求函数的层数可得,并由导数的标志揣摸函数的单调性可得函数在区间上的最小值为,分不讨论当与时函数在区间上的单调性与最小值即可；2对一切,恒成破,构造函数,求函数的最小值即可；(3),由知当且仅事前,的最小值是,构造函数,求其导数,研究函数的单调性与最值可知,且两个函数取得最大年夜值点与最小值点时不相当,因此有,即两个函数无大年夜众点,即函数无零点.【分析】,由得,由得,函数在上单调递减,在上单调递增.事前,；来源:ZXXK事前,在上单调递增,令,得,即,当知当且仅事前,的最小值是,设,那么,易知在上单调递增,在上单调递减,当且仅事前,取最大年夜值,且,对都有,即恒成破,故函数无零点.【小试牛刀】【贵州遵义市2017届高三第一次联考】已经清楚函数1求曲线在点处的切线方程跟函数的极值：2假设对任意,都有成破,务虚数的最小值【答案】1切线方程为,函数在时,取得极小值21【分析】1由于,因此,由于,因此曲线在处的切线方程为由解得,那么及的变卦情况如下：20递减极小值递增因此函数在时,取得极小值2由题设知：事前,事前,假设,令,那么,由于,显然不符合题设恳求9分假设,对,由于,显然,当,对,不等式恒成破,综上可知,的最小值为1(三)主参换位太阿倒持法某些含参不等式恒成破征询题,在不离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能随便不离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变卦思想角度“太阿倒持,即把习惯上的主元变与参数变量的“地位交换一下,变个视角重新查察恒成破征询题,屡屡可避免不必要的分类讨论或使征询题落次、简化,起到“山穷水尽疑无路,山穷水尽又一村的暗渡陈仓的结果【例5】【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对破赛】已经清楚事前,恒成破,那么实数的取值范围是_.【分析】把不等式右边看作关于a的函数【分析】设,那么对成破等价于,即,解之得或,即实数的取值范围是.【小试牛刀】已经清楚函数,且对任意的实数均有,()求函数的分析式；()假设对任意的,恒有,求的取值范围【分析】(),而,恒成破那么由二次函数性质得,解得,(四)数形结合直不雅观求解法假设所给不等式停顿公正的变形化为或后,能特不随便地画出不等号单方函数的图像,那么可以通过画图开门见山揣摸得出结果尤其关于选择题、填空题这种方法更显便当、快捷【例6】假设对任意,不等式恒成破,那么实数的取值范围是(A)(B)(C)D【分析】对,不等式恒成破,那么由一次函数性质及图像知,即【小试牛刀】假设不等式在内恒成破,务虚数的取值范围【分析】由题意知：在内恒成破,在一致坐标系内,分不作出函数跟的图像,不雅观看两函数图像,事前,假设函数的图像显然在函数图像的下方,不成破；事前,由图可知,的图像必须过点或在谁人点的上方,那么,综上得：(五)消元转化法【例7】已经清楚f(x)是定义在-1,1上的奇函数,且f(1)=1,假设,假设关于一切的恒成破,务虚数t的取值范围【点评】关于含有两个以上变量的不等式恒成破征询题,可以按照题意依次停顿消元转化,从而转化为只含有两变量的不等式征询题,使征询题掉掉落处理上述例子分析了近多青年岁学高考中恒成破征询题的题型及解法,值得一提的是,各种类型各种方法并不是完好孤破的,虽然方法表现的差异,但其实质却都与求函数的最值是等价的,这也正表达了数学中的“分歧美二、不等式能成破征询题的处理方法假设在区间上存在实数使不等式成破,那么等价于在区间上；假设在区间上存在实数使不等式成破,那么等价于在区间上的留心不等式能成破征询题即不等式有解征询题与恒成破征询题的区不从聚拢不雅观念看,含参不等式在区间上恒成破,而含参不等式在区间上能成破至少存在一个实数使不等式成破【例8】已经清楚f(x),g(x)分不是定义在R上的奇函数跟偶函数,且f(x)g(x)()x假设存在x0,1,使得等式af(x0)g(2x0)0成破,那么实数a的取值范围是【答案】2,【分析】由得,即,因此,存在x0,1,使得等式af(x0)g(2x0)0成破,即,设,那么,时,设,那么,而,易知在是递减,在上递增,因此,因此,即【点评】解题时需由奇偶性定义求出函数的分析式,存在x0,1,使得等式af(x0)g(2x0)0成破,其中等式可转化为,如斯求的取值范围就转化为求函数的值域因此在求函数值域时还用到换元法跟的单调性,征询题进一步停顿了转化【小试牛刀】已经清楚函数存在单调递减区间,求的取值范围【分析】函数存在单调递减区间,在有解即能成破,设由得,因此,由题设,的取值范围是3不等式偏偏成破征询题的处理方法【例9】已经清楚当的值域是,试务虚数的值【例10】已经清楚,假设存在,使得,务虚数的取值范围；假设存在,使得,务虚数的取值范围；假设对任意,恒有,务虚数的取值范围；假设对任意,恒有,务虚数的取值范围；假设对任意,存在,使得,务虚数的取值范围；假设对任意,存在,使得,务虚数的取值范围；假设存在,使得,务虚数的取值范围；假设存在,使得,务虚数的取值范围.分析：由可得,存在,使得,即方程在上有解.设,那么方程在上有解的条件是为值域中的元素,因此的取值范围确实是的值域.由于时=>0,因此在上是增函数,由此可求得的值域是0,因此实数的取值范围是0,.分析：据题意：假设存在,使得,即有解,故h(x)>,由知hx=,因此得<.点评：在求不等式中的参数范围过程中,当不等式中的参数或关于参数的式子可以与不的变量完好不离出来同时不离后不等式其中一边的函数的最值或值域可求时,常用不离参数法.不的要留心方程有解与不等式有解的区不,方程有解常通过不离参数法转化为求函数值域征询题,而不等式有解常通过不离参数法转化为求函数最值征询题.分析：对任意,恒有,即时恒成破,即,由可知0.点评：比较、可知不等式假设值域为,那么不等式恒成破；不等式有解；假设值域为,那么不等式恒成破；假设值域为那么不等式恒成破.分析：由题中条件可得的值域的值域,假设对任意,恒有,即,即,因此.点评：与虽然全然上不等式恒成破征询题,但却有特不大年夜的区不,中不等式的左右中间函数的自变量一样,而中不等式的左右中间函数的自变量差异,的取值在0,2上存在任意性.分析：对任意,假设存在,使得,即,由可知即,因此.点评：设的最大年夜值为,对任意,的条件,因此征询题转化为存在,使得,因此只需的最小值大年夜于即.分析：对任意,假设存在,使得,那么,因此即点评：由于对值域内的任一元素在定义域内必存在自变量与其对应,因此对任意,假设存在,使得的充要条件是在的值域内,因此,的值域是的值域的子集.分析：假设存在,使得,那么,即4,因此.点评：请将、仔细对比,领会任意与存在的区不.分析：假设存在使得,那么,实数的取值围是五、迁移运用1【湖南省邵阳市2018届高三上学期期末】假设关于的不等式的解集包含区间，那么的取值范围为A.B.C.D.【答案】D【分析】原不等式等价于,由于函数在区间上为增函数,当,故.应选D.2【安徽省芜湖市2018届高三上学期期末】已经清楚直线与双曲线的渐近线交于两点，设为双曲线上任一点，假设为坐标原点，那么以下不等式恒成破的是A.B.C.D.【答案】C【分析】双曲线的渐近线为，因此不妨设，由于，因此，即，因此，选C.3【湖北省武汉市2018届高中毕业生二月调研】已经清楚实数，称心约束条件，假设不等式恒成破，那么实数的最大年夜值为A.B.C.D.【答案】A【分析】绘制不等式组表现的破体地域如以下列图，考察目的函数，由目的函数的几多何意思可知，目的函数在点处取得最大年夜值，在点或点处取得最小值，即.题中的不等式即：，那么：恒成破，原征询题转化为求解函数的最小值，拾掇函数的分析式有：，令，那么，令，那么在区间上单调递减，在区间上单调递增，且，据此可得，事前，函数取得最大年夜值，那么现在函数取得最小值，最小值为：.综上可得，实数的最大年夜值为.5【衡水金卷2018年一般初等黉舍招生世界分歧检验模拟试卷】已经清楚数列中，假设关于任意的，不等式恒成破，那么实数的取值范围为A.B.C.D.【答案】A【分析】按照题意，数列中，即，那么有，那么有，即，关于任意的，不等式恒成破，化为：，设，可得且，即有，即，可得或，那么实数的取值范围是，应选A.6【宁夏大年夜学从属中学2018届高三上学期第三次月考】假设二次不等式在区间2,5上有解，那么的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【分析】关于不等式在上有解，因此在上有解，即在上有解，设，因此恒成破，因此函数在上单调递减函数，因此函数的值域为，因此，应选A.来源:Zxxk.Com7.【山西省长治二中、临汾一中、康杰中学、晋城一中2017届高三第一次联考】已经清楚函数,假设不等式<0对任意均成破,那么的取值范围为A.B.C.D.【答案】A8.【湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检】已经清楚函数,其中,假设存在唯一的整数,使得,那么的取值范围是(为自然对数的底数)来源:学|科|网【答案】【分析】设,由题意知存在唯一的整数使得在直线的下方,事前,事前,g(x)>0,事前,取最小值,事前,事前,直线恒过定点且歪率为,故且,解得.9.【河北省定州中学2017届高三上学期周练】已经清楚函数,假设存在,使得不等式成破,那么实数的取值范围为ABCD【答案】C10.【浙江省温州市2017届高三8月模拟】假设存在使得不等式成破,那么实数的取值范围是【答案】.【分析】原不等式等价于：,故征询题等价于,设,实数的取值范围是,故填：.11.【江苏省泰州中学2017届高三摸底检验】已经清楚实数、称心假设不等式恒成破,那么实数的最小值是【答案】【分析】可行域为一个三角形ABC及其内部,其中,因此,由于在上单调递增,因此,不等式恒成破等价于12已经清楚a是实数,函数f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零,那么实数a的取值范围为_假设对称心条件的正实数都有恒成破,那么实数a的取值范围为.【答案】【分析】2ax22x3<0在1,1上恒成破当x0时,适宜；当x0时,a<2,由于(,11,),当x1时,右边取最小值,因此a<.综上,实数a的取值范围是.13.已经清楚二次函数f(x)x22tx2t1,x1,2假设f(x)1恒成破,求t的取值范围【分析】假设t1,要使f(x)1恒成破,只需f(1)1,即4t21,那么t,这与t1冲突假设1t2,要使f(x)1恒成破,只需f(t)1,即t22t11,那么1t1,1t2.假设t2,要使f(x)1恒成破,只需f(2)1,即2t51,2t3.综上所述,t的取值范围是1,314.【安徽省“皖南八校2017届高三第二次联考】已经清楚函数.假设对定义域内任意,成破,务虚数的取值范围；假设,求证：对,不等式恒成破.【答案】详看法析【分析】解：的导数为,令得,因此,恒成破,即,因此.证明：的导数为,易知在上为增函数.欲证明,从图像分析可先证,先证明,即证：设,因此在内为减函数,因此,故关于成破,欲证即证：,令,因此在内为增函数,故成破.综上：对,不等式恒成破.15.【广东2017届高三上学期阶段测评】已经清楚函数,其中.事前,讨论的单调性；事前,恒成破,求的取值范围.【答案】事前,在上为增函数,事前,在,上为增函数,在上为减函数.【分析】函数的定义域为,设,1事前,成破,故成破,在上为增函数；2事前,令,得.显然,事前,为增函数,事前,为减函数,事前,为增函数,综上,事前,在上为增函数,事前,在,上为增函数,在上为减函数.5分显然,由可知：事前,故成破；事前,.令,得.显然,事前,为减函数,事前,为减函数；假设,那么,事前,为增函数,故成破；假设,那么,由在上为减函数可知,事前,为减函数,与题意不符,舍去.综上,的取值范围是.16.【山东省枣庄市2017届高三上学期期末】已经清楚函数.1求函数的单调区间及最值；2假设对恒成破,求的取值范围；3求证:.【答案】(1)增区间为,减区间为,最大年夜值为0,无最小值；(2)；(3)看法析【分析】(1)的定义域为,因此函数的增区间为,减区间为,无最小值.3又2知,事前,即.在式中,令,得,即,依次令,得.将谁人式子左右单方分不相加,得.17.【山西大年夜学从属中学2017级上学期11月模块诊断】本小题总分值12分已经清楚函数,学-科网假设,且存在单调递减区间,求的取值范围；设函数的图象与函数图象交于点,过线段的中点作轴的垂线分不交于点,证明在点处的切线与在点处的切线不平行.【答案】I1,00,+II详看法析方法二不离参数,a的取值范围为1,00,+.II设点P、Q的坐标分不是x1,y1,x2,y2,0<x1<x2.那么点M、N的横坐标为C1在点M处的切线歪率为C2在点N处的切线歪率为假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行,那么k1=k2.即,那么=因此设那么令那么由于时,因此在上单调递增.故那么.这与冲突,假设不成破.故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.五、迁移运用1.