最新03 第三节格林公式及其应用.doc

第三节格林公式及其使用散布图示地区的连通性格林公式例1例2例3例4例5应用格林公式盘算破体图形的面积例6例7对于曲线积分的多少个等价命题二元函数的全微分求积例8例9例10例11例12例13例14例15全微分方程及其解法内容小结讲堂训练习题113前往内容要点一、格林公式定理1设闭地区D由分段润滑的曲线L围成，函数及在D上存在一阶延续偏导数，那么有(3.1)此中L是D的取正向的界限曲线.假设在格林公式(3.1)中，令得，上式左端是闭地区D的面积的两倍，因而有二、破体曲线积分与途径有关的界说与前提定理2设开地区是一个单连通域，函数及在内存在一阶延续偏导数，那么以下命题等价：1曲线积分在内与途径有关；2表白式为某二元函数的全微分；3在内恒成破；4对内任一闭曲线，.由定理的证实进程可见，假设函数，满意定理的前提，那么二元函数(3.3)满意，咱们称为表白式的原函数.或例题选讲例1E01求，此中为圆周依逆时针偏向图10-3-5解由题意知,为地区界限的正向,故依照格林公式,有例2盘算此中曲线是半径为的圆在第一象限局部.解引入辅佐曲线令由格林公式,设那么有因为因而例3E02求，此中为由点到点的上半圆周图10-3-6.解在轴作衔接点与点的辅佐线,它与上半圆周便形成封锁的半圆形因而依照格林公式因为的方程为因而综上所述,得注：本例中，咱们经过增加一段复杂的辅佐曲线，使它与所给曲线形成一封锁曲线，而后应用格林公式把所求曲线积分化为二重积分来盘算.在应用格林公式盘算曲线积分时，这是常用的一种办法.例4盘算此中是认为极点的三角形闭地区.解令那么使用格林公式,得例5E03盘算此中L为一条无重点,分段润滑且不经过原点的延续闭曲线,L的偏向为逆时针偏向.解记所围成的闭地区为令那么事先，有(1)事先，由格林公式知(2)事先，作位于内圆周记由跟所围成,使用格林公式，得故例6E04求椭圆，所围成图形的面积.解所求面积例7盘算抛物线与轴所围成的面积.解为直线曲线为例8盘算此中为由点到点的曲线弧解原积分与途径有关.故原积分例9E05盘算此中L为如图10-3-11所示的圆弧段解因因而曲线积分与途径有关,作新途径折线,因而例10E06盘算积分沿不经过坐标原点的途径.解显然,事先，因而例11试求常数,使与途径有关,并求的值.解由得因而例12验证:在全部面内,是某个函数的全微分,并求出一个如此的函数.证1且故在全部面内,是某个函数的全微分.取积分道路如图,那么证2应用原函数法责备微分函数由此中是的待定函数.由此得又必需满意所求函数为例13E07设函数在破体上存在一阶延续偏导数,曲线积分与途径有关,同时对恣意t,总有求解由曲线积分与途径有关的前提知因而此中为待定函数.由题意可知双方对求导,得或因而例14E08设曲线积分与途径有关,此中存在延续的导数,且盘算解因积分与途径有关散由由知故例15拔取使表白式为某一函数的全微分,并求出那个函数.解假设表白式全微分式,那么即得例16E09求方程的通解.解原方程是全微分方程,原方程的通解为例17求解解这里，因而题设方程是全微分方程.可取由全微分求积公式得:因而，方程的通解为例18E10求方程的通解.解原方程是全微分方程,将左端从新组合原方程的通解为例19求微分方程的通解.解将题设方程改写为即将方程左端从新组合,有故题设方程的通解为讲堂训练1.盘算此中L为正向圆周曲线2.盘算此中L为沿摆线从O(0,0)到的一段弧.3.验证是全微分,并求其一个原函数.