20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题5.3 平面向量的数量积及运用（解析版）.docx

5.3破体向量数量积【套路秘籍】-始于足下始于足下1向量的夹角已经清楚两个非零向量a跟b，作a，b，那么AOB的确是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是0，2破体向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为，那么数量|a|b|·cos叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b投影|a|cos叫做向量a在b倾向上的投影，|b|cos叫做向量b在a倾向上的投影几多何意思数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的倾向上的投影|b|cos的乘积拓展：向量数量积不称心：消去律，即a·ba·cbc；结合律，即(a·b)·ca·(b·c)3向量数量积的运算律(1)a·bb·a.(2)(a)·b(a·b)a·(b)a·b.(3)(ab)·ca·cb·c.4破体向量数量积的有关结论已经清楚非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.结论几多何表示坐标表示模|a|a|夹角coscosab的充要条件a·b0x1x2y1y20|a·b|与|a|b|的关系|a·b|a|b|x1x2y1y2|5向量在破体几多何中的运用(1)用向量处置稀有破体几多何征询题的技艺：征询题典范所用知识公式表示线平行、点共线等征询题共线向量定理ababx1y2x2y10，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，a0垂直征询题数量积的运算性质aba·b0x1x2y1y20，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角征询题数量积的定义cos(为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度征询题数量积的定义|a|，其中a(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法处置破体几多何征询题的步伐破体几多何征询题向量征询题处置向量征询题处置几多何征询题6向量在分析几多何中的运用向量在分析几多何中的运用，是以分析几多何中的坐标为背景的一种向量描画它要紧夸大年夜向量的坐标征询题，进而运用直线跟圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运的确是调查的主体【修炼套路】-为君聊赋往日诗，努力请从往日始考向一数量积全然运算【例1】1破体向量a与b的夹角为45°，a(1,1)，|b|2，那么|3ab|等于()A136B2C.D.2已经清楚向量a，b称心(2ab)·(ab)6，且|a|2，|b|1，那么a与b的夹角为_3已经清楚点A，B，C在圆x2y21上运动，且ABBC.假设点P的坐标为(2,0)，那么|的最大年夜值为()A6B7C8D9【答案】1D23B【分析】1依题意得|a|，a·b×2×cos45°2，|3ab|，应选D.2(2ab)·(ab)6，2a2a·bb26，又|a|2，|b|1，a·b1，cosa，b，又a，b0，a与b的夹角为.3解法一：由圆周角定理及ABBC，知AC为圆的直径故2(4,0)(O为坐标原点)设B(cos，sin)，(cos2，sin)，(cos6，sin)，|7，当且仅当cos1时取等号，现在B(1,0)，故|的最大年夜值为7.应选B.解法二：同解法一得2(O为坐标原点)，又，|3|3|3×217，当且仅当与同向时取等号，现在B点坐标为(1,0)，故|max7.应选B.【套路总结】一破体向量数量积的典范及求法：1.破体向量数量积有两种打算公式：一是夹角公式；二是坐标公式.2.求较复杂的破体向量数量积的运算时，可先运用破体向量数量积的运算律或相关公式停顿化简.二求解破体向量模的方法1.写出有关向量的坐标，运用公式|a|即可2.当运用向量的线性运算跟向量的数量积公式停顿求解，|a|.三求破体向量的夹角的方法1.定义法：cos，留心的取值范围为0，2.坐标法：假设a(x1，y1)，b(x2，y2)，那么cos.3.解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中停顿求解四求向量模及最值(范围)的方法1代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解2几多何法(数形结合理)，弄清所求的模表示的几多何意思，结合动点表示的图形求解3运用绝对值三角不等式|a|b|a±b|a|b|求模的取值范围【举一反三】1.设向量a，b称心|a|2，|b|1，a·(ab)3，那么a与b的夹角为_【答案】【分析】由题意得a·(ab)a2a·b42×1×cos42cos3，cos，0，.2已经清楚向量与的夹角为120°，且|3，|2.假设，且，那么实数的值为_答案【分析】，·0，()·0，即()·()·22·0.向量与的夹角为120°，|3，|2，(1)|·cos120°940，解得.3.设向量a，b，c称心|a|b|2，a·b2，ac，bc60°，那么|c|的最大年夜值为_【答案】4【分析】因为|a|b|2，a·b2，因此cosa，b，a，b120°.如以下列图，设a，b，c，那么ac，bc，AOB120°.因此ACB60°，因此AOBACB180°，因此A，O，B，C四点共圆不妨设为圆M，因为ba，因此2a22a·bb212.因此|2，由正弦定理可得AOB的外接圆即圆M的直径为2R4.因此当|为圆M的直径时，|c|取得最大年夜值4.4.已经清楚向量a，b，c，称心|a|2，|b|a·b3，假设(c2a)·0，那么|bc|的最小值是()A2B2C1D2【答案】A【分析按照条件，设a(1,)，b(3,0)，设c(x，y)，那么(c2a)·(x2，y2)·(x2，y)0；(x2)2(y)23；c的终点在以(2，)为圆心，为半径的圆上，如以下列图：|bc|的最小值为2.应选A.5.在ABC中，已经清楚(2,3)，(1，k)，且ABC的一个内角为直角，那么实数k的值为_【答案】或或【分析】假设A90°，那么有·0，即23k0，解得k.假设B90°，那么有·0，因为(1，k3)，因此23(k3)0，解得k.假设C90°，那么有·0，即1k(k3)0，解得k.综上所述，得k或或.考向二破体向量与其他知识的综合【例2】如图，在ABC中，已经清楚点D，E分不在边AB，BC上，且AB3AD，BC2BE.(1)用向量，表示；(2)设AB9，AC6，A60°，求线段DE的长【答案】【分析】(1)AB3AD，BC2BE，()，.(2)281，236，·9×6×cos60°27，22·2，DE|.【套路总结】向量在分析几多何中的“两个感染(1)载体感染：向量在分析几多何征询题中出现，多用于“包装，关键是运用向量的意思、运算脱去“向量外衣，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而处置有关距离、歪率、夹角、轨迹、最值等征询题(2)货色感染：运用aba·b0(a，b为非零向量)，abba(a0)，可处置垂直、平行征询题，特不地，向量垂直、平行的坐标表示对于处了分析几多何中的垂直、平行征询题是一种比较轻便的方法【举一反三】1.已经清楚O是ABC内部一点，0，·2且BAC60°，那么OBC的面积为()A.B.C.D.【答案】A【分析】0，O为三角形的重心，OBC的面积为ABC面积的.·2，|·|cosBAC2.BAC60°，|·|4，ABC面积为|·|sinBAC，OBC的面积为.应选A.2过抛物线y22px(p>0)的中心F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，假设，·48，那么抛物线的方程为()Ay28xBy24xCy216xDy24x【答案】B【分析】如以下列图，F为线段AB中点，AFAC，ABC30°.由·48，得BC4，得AC4.由中位线的性质有pAC2.故抛物线的方程为y24x.应选B.3.已经清楚O是坐标原点，点A(1,2)，假设点M(x，y)为破体地域上的一个动点，那么·的取值范围是_【答案】1,4【分析】作出点M(x，y)称心的破体地域如图阴影部分所示(含界线)，设z·，因为A(1,2)，M(x，y)，因此z·x2y，即yxz.平移直线yx，由图象可知，当直线yxz经过点C(0,2)时，截距最大年夜，现在z最大年夜，最大年夜值为4，当直线yxz经过点B时，截距最小，现在z最小，最小值为1，故1z4，即1·4.【运用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1向量的夹角为，那么的最大年夜值为ABCD【答案】C【分析】又此题精确选项：2设向量，称心，那么A2BC4D【答案】B【分析】，向量，称心那么应选：B3已经清楚正三角形的边长为2，设，那么ABCD【答案】C【分析】如图，正三角形的边长为2，取中点，设，故A差错；的夹角为120°，故B差错；，故C精确；，故D差错应选：C4已经清楚的边，的长分不为20,18，那么的角平分线的长为ABCD【答案】C【分析】如图，由因此的角平分线，因此，因此，即.单方平方得，因此，应选C.5在ABC中，|，AB2，AC1，E，F为BC的三平分点，那么·等于()A.B.C.D.答案B分析由|，化简得·0，又因为AB跟AC为三角形的两条边，它们的长不可以为0，因此AB与AC垂直，因此ABC为直角三角形以A为原点，以AC所在直线为x轴，以AB所在直线为y轴树破破体直角坐标系，如以下列图，那么A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)不妨令E为BC的濒临C的三平分点，那么E，F，因此，因此·××.6假设O为ABC所在破体内任一点，且称心()·(2)0，那么ABC的形状为()A正三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形【答案】C【分析】因为()·(2)0，即·()0，因为，因此()·()0，即|，因此ABC是等腰三角形，应选C.7平行四边形中，在上投影的数量分不为，-1，那么在上的投影的取值范围是ABCD【答案】A【分析】树破直角坐标系：设，那么，解得：，因此，那么在上的投影，令，那么，令，那么有，在上，单调递增，故，故，那么在上的投影的取值范围是8设向量且，那么ABCD【答案】B【分析】因为，因此x-2=0,因此x=2.因此.应选：B9在中，假设且，那么的面积为ABCD【答案】C【分析】由得，由三角形面积公式得，应选C.10已经清楚中，是边上一动点，那么ABCD无法判定【答案】C【分析】此题精确选项：11已经清楚向量与倾向一样，那么_。【答案】2.【分析】，与倾向一样，且，.故答案为：2.12在破体直角坐标系xOy中，在x轴、y轴正倾向上的投影分不是3、4，那么与平行的单位向量是_【答案】±【分析】在x轴、y轴正倾向上的投影分不是3、4，=3，4，|5那么的单位向量±故答案为：±13已经清楚向量，那么向量的单位向量为_，向量在倾向上的正射影的数量为_【答案】【分析】设向量的单位向量为那么向量与单位向量为共线，又因此解得因此向量的单位向量为设向量与的夹角为，那么那么向量在向量倾向的投影为代入可得14设数轴上有四个点A，B，C，D，其中A，C对应的实数分不是1跟-3，且AC=CB，CD是单位向量，那么点B对应的实数为_；点D对应的实数为_；BC=_【答案】-7-4或-24【分析】记B,D对应的实数分不是b,d.由AC=CB可得点B在点C的左边且|AC|=|CB|，那么1-3=-3-b，解得b=-7，即点B对应的实数为-7.由CD是单位向量可得|CD|=1，那么|-3-d|=1，解得d=-4或d=-2.BC=-3-7=4.15直线2x+y-3=0与圆x2+y2-2x-2y=0订交于A，B两点，O为坐标原点，那么OA+OB=_【答案】22【分析】设Ax1,y1,Bx2,y2，AB的中点为M，联破直线方程与圆的方程：x2+y2-2x-2y=0y=-2x+3，拾掇可得：5x2-10x+3=0，故x1+x2=2，y1+y2=(-2x1+3)+(-2x2+3)=-2(x1+x2)+6=2，据此可得：M1,1，|OM|=1+1=2，结合破体向量的运算法那么有：OA+OB=2OM=22.故答案为：2216已经清楚向量,那么向量的夹角为_【答案】【分析】按照题意，设向量，向量，向量的夹角为，向量，那么，那么有，变形可得，即，那么，那么有，变形可得，将联破可得：，解可得，又由，那么那么，那么；故答案为：17在中，为的中点，点称心，假设，那么_.【答案】200【分析】中，为的中点，点称心，且，故答案为200.18已经清楚向量称心：，当取最大年夜值时，_【答案】【分析】当且仅当与反向时取等号又拾掇得：此题精确结果：19假设两个非零向量称心，那么向量与的夹角为_【答案】60°【分析】，如图，由题意，|OC|2|OA|，AOC60°，即向量与向量的夹角为60°，故答案为：60°20设非零向量的夹角为，假设，且不等式对任意恒成破，那么实数的取值范围是_【答案】【分析】由得：即：那么：为非零向量那么：恒成破，解得：此题精确结果：21.已经清楚ABC是边长为2的等边三角形，P为破体ABC内一点，那么·()的最小值是。【答案】【分析】解法一：设BC的中点为D，AD的中点为E，那么有2，那么·()2·2()·()2(22)而22，当P与E重合时，2有最小值0，故现在·()取最小值，最小值为222×.应选B.解法二：以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点树破破体直角坐标系，如图，那么A(1,0)，B(1,0)，C(0，)，设P(x，y)，取BC的中点D，那么D.·()2·2(1x，y)·22.因此，当x，y时，·()取得最小值，最小值为2×.22.已经清楚a，b是两个互相垂直的单位向量，且c·ac·b1，那么对任意的正实数t，的最小值是。【答案】2【分析】设a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)，那么由c·ac·b1，得c(1,1)，ctab(1,1)t(1,0)(0,1)，2，当且仅当t1时等号成破.23 已经清楚a，b是单位向量，a·b0.假设向量c称心|cab|1，那么|c|的取值范围是。【答案】1，1【分析】以a跟b分不为x轴跟y轴正倾向的单位向量树破直角坐标系，那么a(1,0)，b(0,1)，设c(x，y)，那么cab(x1，y1)，|cab|1，(x1)2(y1)21.即(x，y)是以点M(1,1)为圆心，1为半径的圆上的点，而|c|.因此|c|可以理解为圆M上的点到原点的距离，由圆的性质可知，|OM|r|c|OM|r，即|c|1，124如以下列图，半圆的直径AB6，O为圆心，C为半圆上差异于A，B的任意一点，假设P为半径OC上的动点，那么()·的最小值为_【答案】【分析】圆心O是直径AB的中点，2，()·2·，|32，|·|，即()·2·2|·|，当且仅当|时，等号成破，故最小值为.25已经清楚破体向量，称心|1，且与的夹角为120°，那么的模的取值范围是_【答案】【分析】设在ABC中，a|1，A60°，|c，由正弦定理得，那么c，即csinC.又0<sinC1，即c的取值范围是，那么的模的取值范围是.26设a，b，c是一致破体内的三个向量，a(1,2)假设|c|2，且ca，求c的坐标；假设|b|，且a2b与2ab垂直，求a与b的夹角.【答案】看法析【分析】因为ca，设ca(，2)，又|c|2，因此5220，解得±2，因此c(2,4)或(2，4)因为(a2b)·(2ab)0，因此2a2a·b4a·b2b20，解得a·b，即··cos，又0，因此.27.在ABC中，角A，B，C所对的边分不为a，b，c，已经清楚向量m，n，且2m·n|m|，·1.(1)求角A的大小；(2)求ABC的面积S.【答案】看法析【分析】(1)因为2m·n2sincos2cos2sinA(cosA1)sin1，又|m|1，因此2m·n|m|sin，即sin.因为0<A<，因此<A<，因此A，即A.(2)cosAcoscoscoscossinsin，因为·bccosA1，因此bc.又sinAsinsin，因此ABC的面积SbcsinA()×.