20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题2.13 利用导数求函数的单调性、极值、最值（解析版）.docx

第十三讲 运用导数求函数的单调性、极值、最值【套路秘籍】-始于足下始于足下一函数的单调性在某个区间(a，b)内，假设f(x)>0，那么函数yf(x)在谁人区间内单调递增；假设f(x)<0，那么函数yf(x)在谁人区间内单调递减二函数的极值(1)一般地，求函数yf(x)的极值的方法解方程f(x)0，当f(x0)0时：假设在x0附近的左侧f(x)>0，右侧f(x)<0，那么f(x0)是极大年夜值；假设在x0附近的左侧f(x)<0，右侧f(x)>0，那么f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步伐求f(x)；求方程f(x)0的根；调查f(x)在方程f(x)0的根附近的左右两侧导数值的标志假设左正右负，那么f(x)在谁人根处取得极大年夜值；假设左负右正，那么f(x)在谁人根处取得极小值三函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大年夜值与最小值(2)假设函数f(x)在a，b上单调递增，那么f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大年夜值；假设函数f(x)在a，b上单调递减，那么f(a)为函数的最大年夜值，f(b)为函数的最小值【修炼套路】-为君聊赋往日诗，努力请从往日始考向一单调区间【例1】求以下函数的单调区间：1；2.3)f(x).【答案】看法析【分析】1由题意得.令，解得或.事前，函数为增函数；事前，函数也为增函数.令，解得.事前，函数为减函数.故函数的单调递增区间为跟，单调递减区间为.2函数的定义域为.令，解得；令，解得.故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.(3)要使函数f(x)有意思，必须2xx20，即0x2.函数的定义域为0,2f(x)()(2xx2)·(2xx2).令f(x)0，那么0.即0x1.函数的单调递增区间为(0,1)令f(x)0，那么0，即1x2.函数的单调递减区间为(1,2)【套路总结】用导数研究函数的单调性1用导数证明函数的单调性证明函数单调递增减，只需证明在函数的定义域内02用导数求函数的单调区间求函数的定义域求导解不等式0得解集求,得函数的单调递增减区间。一般地，函数在某个区间可导，0在谁人区间是增函数一般地，函数在某个区间可导，0在谁人区间是减函数当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，或“跟字等隔开，不要用标志“连接【举一反三】1函数y4x2的单调增区间为_【答案】【分析】由y4x2，得y8x(x0)，令y>0，即8x>0，解得x>，函数y4x2的单调增区间为.2函数f(x)x·exex1的单调增区间是_【答案】(e1，)【分析】由f(x)x·exex1，得f(x)(x1e)·ex，令f(x)>0，解得x>e1，因此函数f(x)的单调增区间是(e1，)3已经清楚函数f(x)xlnx，那么f(x)的单调减区间是_【答案】【分析】由于函数f(x)xlnx的定义域为(0，)，因此f(x)lnx1(x>0)，当f(x)<0时，解得0<x<，即函数f(x)的单调减区间为.4已经清楚定义在区间(，)上的函数f(x)xsinxcosx，那么f(x)的单调增区间是_【答案】跟【分析】f(x)sinxxcosxsinxxcosx.令f(x)xcosx>0，那么其在区间(，)上的解集为，即f(x)的单调增区间为跟.考向二极值【例2】求函数f(x)2的极值【答案】看法析【分析】函数的定义域为R.f(x).令f(x)0，得x1或x1.当x变卦时，f(x)与f(x)的变卦情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)极小值极大年夜值由表可以看出：当x1时，函数有极小值，且f(1)23；当x1时，函数有极大年夜值，且f(1)21.【套路总结】函数极值征询题的稀有典范及解题策略1函数极值的揣摸：先判定导数为0的点，再揣摸导数为0的点的左、右两侧的导数标志2求函数极值的方法：判定函数的定义域求导函数求方程的根检查在方程的根的左、右两侧的标志，判定极值点假设左正右负，那么在谁人根处取得极大年夜值；假设左负右正，那么在谁人根处取得极小值；假设在谁人根的左、右两侧标志波动，那么在谁人根处不极值【举一反三】1求函数f(x)x33x29x5的极值【答案】看法析【分析】函数f(x)x33x29x5的定义域为R，且f(x)3x26x9.解方程3x26x90，得x11，x23.当x变卦时，f(x)与f(x)的变卦情况如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)单调递增10单调递减22单调递增因此，x1是函数的极大年夜值点，极大年夜值为f(1)10；x3是函数的极小值点，极小值为f(3)22.考向三最值【例3】求以下各函数的最值：(1)f(x)x34x4，x0,3(2)f(x)sin2xx(x，)【答案】看法析【分析】(1)因f(x)x34x4，那么f(x)x24(x2)(x2)令f(x)0，得x2或x2(舍去)当x变卦时，f(x)，f(x)的变卦情况如下表：x(0,2)2(2,3)f(x)0f(x)因此当x2时，f(x)x34x4有极小值，同时极小值为f(2).又由于f(0)4，f(3)1，因此，函数f(x)x34x4在0,3上的最大年夜值是4，最小值是.(2)f(x)2cos2x1.令f(x)2cos2x10，解得x1，x2.当x变卦时，f(x)与f(x)的变卦情况如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)由上表可知f(x)的最大年夜值是，最小值是.【套路总结】一求函数f(x)在a，b上最值的方法1假设函数f(x)在a，b上单调递增或递减，那么f(a)与f(b)一个为最大年夜值，一个为最小值2假设函数f(x)在区间(a，b)内有极值，先求出函数f(x)在区间(a，b)上的极值，与f(a)、f(b)比较，其中最大年夜的一个是最大年夜值，最小的一个是最小值3函数f(x)在区间(a，b)上有唯逐一个极值点时，谁人极值点的确是最大年夜(或最小)值点留心：1假设函数中含有参数时，要留心分类讨论思想的运用.2极值是函数的“局部不雅观点，最值是函数的“全部不雅观点，函数的极值不用定是最值，函数的最值也不用定是极值.要留心运用函数的单调性及函数图象直不雅观研究判定.【举一反三】1求以下函数的最值：(1)f(x)x32x24x5，x3,1；(2)f(x)ex(3x2)，x2,5【答案】看法析【分析】(1)f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4.令f(x)0，得x12，x2.f(2)13，f()，f(3)8，f(1)4，函数f(x)在区间3,1上的最大年夜值为13，最小值为.(2)f(x)3exexx2，f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3)ex(x3)(x1)，在区间2,5上，f(x)ex(x3)(x1)0，即函数f(x)在区间2,5上单调递减，x2时，函数f(x)取得最大年夜值f(2)e2；x5时，函数f(x)取得最小值f(5)22e5.考向四运用导数揣摸图像【例4】已经清楚函数的图象如以下列图，那么函数的图象可以是【答案】B【分析】由的图象及导数的几多何意思可知，事前，；事前，；事前，故B符合.【举一反三】3.已经清楚f(x)=14x2+sin2+x,f'(x)为f(x)的导函数,那么f'(x)的图象是()【答案】A【分析】f(x)=14x2+sin2+x=14x2+cosx,f'(x)=12x-sinx,它是一个奇函数,其图象关于原点对称,故打扫B,D.又f'(x)'=12-cosx,当-3<x<3时,cosx>12,f'(x)'<0,故函数y=f'(x)在区间-3,3内单调递减,打扫C.应选A.【运用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1函数f(x)x34x4的极大年夜值为_【答案】【分析】f(x)x24(x2)(x2)，f(x)在(，2)上单调递增，在(2,2)上单调递减，在(2，)上单调递增，因此f(x)的极大年夜值为f(2).2.函数yxex的最小值是_【答案】【分析】由于yxex，因此yexxex(1x)ex.当x>1时，y>0；当x<1时，y<0，因此当x1时，函数取得最小值，且ymin.3函数f(x)x2lnx的最小值为_【答案】【分析】f(x)x且x>0.令f(x)>0，得x>1.令f(x)<0，得0<x<1.f(x)在x1处取得极小值也是最小值，且f(1)ln1.4.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如以下列图，那么以下结论中肯定成破的是_(填序号)函数f(x)有极大年夜值f(2)跟极小值f(1)；函数f(x)有极大年夜值f(2)跟极小值f(1)；函数f(x)有极大年夜值f(2)跟极小值f(2)；函数f(x)有极大年夜值f(2)跟极小值f(2)【答案】【分析】由题图可知，当x<2时，f(x)>0；当2<x<1时，f(x)<0当1<x<2时，f(x)<0；当x>2时，f(x)>0.由此可以掉掉落函数f(x)在x2处取得极大年夜值，在x2处取得极小值5.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是。【答案】(2,+)【分析】函数f(x)=(x-3)ex的导数为f'(x)=(x-3)ex'=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由函数导数与函数单调性的关系,妥善f'(x)>0时,函数f(x)单调递增,现在由不等式f'(x)=(x-2)ex>0,解得x>2.6.假设x=1是函数f(x)=ax+lnx的极值点,那么。A.f(x)有极大年夜值-1B.f(x)有极小值-1C.f(x)有极大年夜值0D.f(x)有极小值0【答案】A【分析】x=1是函数f(x)=ax+lnx的极值点,f'(1)=0,a+11=0,a=-1.f'(x)=-1+1x=0x=1.当x>1时,f'(x)<0,当0<x<1时,f'(x)>0,因此f(x)有极大年夜值-1.7.已经清楚a为函数的极小值点，那么a=。【答案】2【分析】，令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故的极小值点为2，即.8已经清楚函数，求函数在上的最大年夜值跟最小值.【答案】看法析【分析】.当变卦时，的变卦情况如下表：1+00+递增极大年夜值递减极小值递增因此，事前，有极大年夜值，为；事前，有极小值，为，又，因此函数在上的最大年夜值为2，最小值为.9已经清楚函数在处取得极值.1求a、b的值；2假设有极大年夜值28，求在上的最大年夜值.【答案】看法析【分析】1由于，因此.由于在点处取得极值，故有，即，化简得，解得.2由1知，.令，得.事前，故在上为增函数；当时，故在上为减函数；事前，故在上为增函数.由此可知在处取得极大年夜值，在处取得极小值.由题设条件知，得，现在10.已经清楚函数f(x)x33ax2bxa2在x1处有极值0，求a，b的值【答案】a2，b9.【分析】f(x)3x26axb，且函数f(x)在x1处有极值0.即解得或当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，现在函数f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3)当x(，3)时，f(x)0，现在f(x)为增函数；当x(3，1)时，f(x)0，现在f(x)为减函数；当x(1，)时，f(x)0，现在f(x)为增函数故f(x)在x1处取得极小值a2，b9.12.设f(x)alnxx1，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值【答案】看法析【分析】(1)由于f(x)alnxx1，因此f(x).由于曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴，因此该切线歪率为0，即f(1)0，即a0，解得a1(2)由(1)知f(x)lnxx1(x0)，f(x).令f(x)0，解得x11，x2(因x2不在定义域内，舍去)当x(0,1)时，f(x)0，故f(x)在(0,1)上为减函数；当x(1，)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为增函数因此f(x)在x1处取得极小值f(1)3.