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第12周习题课参考内容积分的物理使用，积分证实题一、重积分的物理使用1.求出半径为的空心球体全体被压入水下需求做的功。解：能够用两类办法考虑进程剖析或许后果剖析法一：设空心球的半径为，全体压入水中的深度为，将其压入水中深度时，浮力的巨细为，那么再向下压入深度，需求做功，全体压入水中；为盘算，只需盘算高度为的球冠的体积，如图因而法二：如右图树破空间直角坐标系，令为水面地位，压入水中空心球盘踞地区为任取点的体积微元，其压入水中的深度为，需求做功，因而留意：后果恰恰即是水面到球心的间隔乘以球的体积，或许说水面到形心的间隔乘以浮力巨细。推行：更普通的状况树破空间直角坐标系如右图，轴垂直向下，令为水面地位，压入水中空心物体盘踞的地区为此中为x-y破体上的有界地区与z有关。法一：，此中为水面在时空心物体遭到的浮力巨细，也确实是地区在破体跟之间局部的体积，因而，代入上式并交流z-h的积分次第，得法二：任取，该点体积微元，压入水中深度为，需求做功因而回想这里：是压入水中物体形心的垂直坐标水面到形心的间隔，是物体扫除水的总体积浮力的巨细。2.如图，半径为的均质圆盘的密度为，圆盘上方有一密度为的细棒，长度，距圆盘，求圆盘对细棒的引力。解：如图，细棒在z轴上的区间中，圆盘在x-y破体上地区，令所求引力为，那么由对称性任取处的细棒微元，其品质为，再取上处的圆盘面积微元，其品质为，以上两微元作为质点的万有引力巨细投影到z轴偏向失掉留意，因而，表现引力指向z轴负向留意：括号内3项恰恰为上图中某三角形的3条边的长度。3.如图物体，半球局部密度为，圆柱局部密度为，质心恰恰在半球球心，求柱体局部的高度。解：如图树破坐标系，为使物体的重心z-坐标，只须使其对于x-y破体的静力矩，盘算因而为使，只需，从而。二、积分证实题1. 设二元函数在破体的一个闭矩形上延续，且，。求证：假定，那么。证实：假定否则，无妨令有一点在外部，由在的延续性，存在以点为心，认为边长的闭正方形，使得，。再依照积分的地区可加性，以及保序性枯燥性可知，与题设抵触。这阐明。2记，求证。证实：先将重积分化为累次积分，再对累次积分作恰当变更。起首；记，分部积分得。留意到，即，咱们失掉，此中右端前一个积分为零，这是由于。综上即失掉所需论断。3. 设，应用二重积分与累次积分的关联，顺次证实以下积分不等式：(i) ；该式之前证实过(ii) ；称为Cauchy-Schwarz不等式(iii) ，这里弥补假定，。注：证实上述不等式的办法有很多。这里训练应用二重积分与累次积分的关联来证实。证实：(i)将积分化为二重积分。(ii)由不等式得，由此破即失掉不等式(ii)。(iii)留意到，在ii中将换成，将换成，那么得由此导出需求的论断。注：假定不按照标题次序，那么在ii中取即得i。三、应用积分盘算证实不等式1设在开单元圆盘上是的，在闭单元圆盘上延续。假定函数在单元圆周上取值为常数零，求证。证实：将重积分化为累次积分，而后再做分部积分，并应用假定前提。同理可证。因而。证毕。2.设函数及其偏导数在破体域上延续，此中域可表为：，这里跟为上的延续函数，且。进一步假定，求证存在常数，使得那个不等式常称作Poincare不等式证实：依照假定跟NewtonLeibniz公式；双方平方并使用Cauchy-Schwarz不等式得。双方对于在区间上积分得记，那么。对上述不等式对于在区间上积分得，也即。