板块二 专题一 第3讲.docx

第3讲解三角形考情考向分析高考对本讲内容要紧考察：1.边跟角的打算.2.三角形形状的揣摸.3.面积的打算.4.有关参数的范围咨询题由于此内容运用性较强，与理论咨询题结合起来进展命题将是当前高考的一个关注点，弗成唾弃抢手一三角形全然量的求解例1(1)ABC的内角A，B，C的对边分不为a，b，c，已经清楚sinBsinA(sinCcosC)0，a2，c，那么C_.答案分析由已经清楚得sin(AC)sinAsinCsinAcosC0，cosAsinCsinAsinC0，又sinC0，cosAsinA0，tanA1，又A(0，)，A，由正弦定理得，sinCsinA×，又0<C<，C.(2)在ABC中，已经清楚角A，B，C的对边分不为a，b，c，且称心bsincsinasin.假设bc，求角A的大小；假设A，a，求sin(BC)的值解在ABC中，假设bc那么BC，bsincsin，asin0，Ak，kZ.又0<A<，A.在ABC中，假设A，a，那么sinBsinsinCsinsinA·sin，sinBsinC·，sin(BC).思维升华关于解三角形咨询题，一般要用到三角形的内角跟定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，稀有的三角变卦方法跟原那么都有用，同时要留心“三分歧，即“分歧角、分歧函数、分歧构造，这是使咨询题获得处置的攻破口跟踪练习练习1(1)(2019·世界)ABC的内角A，B，C的对边分不为a，b，c.已经清楚bsinAacosB0，那么B_.答案分析bsinAacosB0，由正弦定理，得cosBsinB，tanB1，又B(0，)，B.(2)在ABC中，内角A，B，C所对的边分不为a，b，c.已经清楚a>b，a5，c6，sinB.求b跟sinA的值；求sin的值解在ABC中，由于a>b，故由sinB，可得cosB.由已经清楚及余弦定理，有b2a2c22accosB13，因此b.由正弦定理，得sinA.因此b的值为，sinA的值为.由及a<c，得cosA，因此sin2A2sinAcosA，cos2A12sin2A.故sinsin2Acoscos2Asin.抢手二三角形中的最值、面积咨询题例2(1)(2019·江苏省如皋中学调研)在ABC中，已经清楚sinAsinBcosCsinAsinCcosBsinBsinCcosA，假设a，b，c分不是角A，B，C所对的边，那么的最大年夜值为_答案分析由正弦、余弦定理得ab·ac·bc·，化简得a2b23c2，因此，当且仅当ab时等号成破的最大年夜值为.(2)(2019·世界大年夜联考江苏卷)在ABC中，已经清楚角A，B，C所对的边分不为a，b，c，且cosB，sinC.求cosA的值；假设c13，求ABC的面积S.解由<cosB<1，得0<B<，且sinB；()当C为锐角时，由sinC，得C，那么cosC，如今cosAcos(BC)sinBsinCcosBcosC××；()当C为钝角时，由sinC，得C，那么cosC，如今cosAcos(BC)sinBsinCcosBcosC××；综上，cosA或.由及正弦定理，解得b5.当cosA时，得sinA，那么SABCbcsinA；当cosA时，sinA，那么SABCbcsinA.综上，ABC的面积为或.思维升华(1)求解三角形中的最值咨询题常用如下方法：将恳求的量转化为某一角的三角函数，借助于三角函数的值域求最值将恳求的量转化为边的方法，借助于全然不等式求最值(2)求解面积咨询题时，依照已经清楚条件选择适当的面积公式跟踪练习练习2(1)(2019·南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港七市调研)在ABC中，内角A，B，C的对边分不为a，b，c，已经清楚C120°，sinB2sinA，且ABC的面积为2，那么AB的长为_答案2分析在ABC中，由sinB2sinA，运用正弦定理可得b2a.SABCbasinC×2a×asin120°2，解得a2.b4.c2b2a22bacosC1642×4×2cos120°28，解得c2，即AB2.(2)(2019·世界)ABC的内角A，B，C的对边分不为a，b，c.已经清楚asinbsinA.求B；假设ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围解由题设及正弦定理，得sinAsinsinBsinA.由于sinA0，因此sinsinB.由ABC180°，可得sincos，故cos2sincos.由于cos0，故sin，因此B60°.由题设及知ABC的面积SABCa.由正弦定理，得a.由于ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.由(1)知AC120°，因此30°<C<90°，故<a<2，从而<SABC<.因此，ABC面积的取值范围是.抢手三三角函数与解三角形例3(2019·南通模拟)在ABC中，a，b，c分不为角A，B，C所对边的长，假设acosB1，bsinA，且AB.(1)求a的值；(2)求tanA的值解(1)由正弦定理，得bsinAasinB,由于bsinA，因此asinB，由于acosB1，因此(asinB)2(acosB)2a2213，因此a.(2)由(1)知asinB，acosB1，因此，即tanB，由于AB，因此tan(AB)1，即1，即1，解得tanA32.思维升华解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围跟角之间的关系；对最值或范围咨询题，能够转化为三角函数的值域来求解跟踪练习练习3(2019·如皋调研)在ABC中，内角A，B，C的对边分不为a，b，c，tanA3tanB，bcosCccosBb.(1)求角C的大小；(2)设f(x)sin(xA)cos2，其中x，求f(x)的取值范围解(1)tanA3tanB，sinAcosB3sinBcosA，sinAcosBcosAsinB2sinBcosA，sinC2sinB·cosA，c2b·，因此2c2a2b2，又bcosCccosBb，b·c·b，ab，由可得cba，cosC，又0<C<，C.(2)由知bc，B，A，f(x)sincos2sincoscoscos，x，x，f(x)的取值范围为.1在ABC中，角A，B，C所对的边分不为a，b，c，假设(bc)·cosAacosC，那么cosA_.答案分析由正弦定理得(sinBsinC)cosAsinAcosC，故sinBcosAsinAcosCcosAsinC，即sinBcosAsin(AC)，sinBcosAsinB.又sinB>0，cosA.2(2018·世界理，9改编)ABC的内角A，B，C的对边分不为a，b，c.假设ABC的面积为，那么C_.答案分析SabsinCabcosC，sinCcosC，即tanC1.又C(0，)，C.3已经清楚ABC的内角A，B，C的对边分不为a，b，c，假设A，a，且ABC的面积为，那么ABC的周长为_答案5分析由于A，a，由余弦定理a2b2c22bccosA，可得7b2c2bc，又ABC的面积为，因此bcsinA，因此bc6，因此bc5，因此周长为abc5.4在锐角三角形ABC中，假设sinA2sinBsinC，那么tanA·tanBtanC的最小值是_答案8分析在ABC中，ABC，sinAsin(BC)sin(BC)，由已经清楚，sinA2sinBsinC，sin(BC)2sinBsinC.sinBcosCcosBsinC2sinBsinC，A，B，C全为锐角，单方同时除以cosBcosC得，tanBtanC2tanBtanC.又tanAtan(BC).tanA(tanBtanC1)tanBtanC.那么tanAtanBtanCtanAtanBtanC，tanAtanBtanCtanAtanBtanCtanA2tanBtanC2，当且仅当tanA2tanBtanC时等号成破2，tanAtanBtanC8.5在ABC中，a，b，c分不为角A，B，C所对边的长，acosBbcosA，cosA.(1)求角B的值；(2)假设a，求ABC的面积解(1)在ABC中，由于cosA，0<A<，因此sinA.由于acosBbcosA，由正弦定理，得sinAcosBsinBcosA.因此cosBsinB.假设cosB0，那么sinB0，与sin2Bcos2B1冲突，故cosB0.因此tanB1.又由于0<B<，因此B.(2)由于a，sinA，由(1)及正弦定理，得，因此b.又sinCsin(AB)sin(AB)sinAcosBcosAsinB··.因此ABC的面积为SabsinC×××.A组专题通关1在ABC中，角A，B，C所对边的长分不为a，b，c.已经清楚ac2b，sinBsinC，那么cosA_.答案分析由sinBsinC得bc.又由于ac2b，因此ac，因此cosA.2(2019·启东三市联考)在ABC中，角A，B，C所对的边分不为a，b，c.假设acosB3bcosA，BA，那么B_.答案分析由正弦定理及acosB3bcosA，可得sinAcosB3sinBcosA，即tanA3tanB，又BA，tanB，即tanB，3tan2B2tanB10，tanB，又B为三角形内角，B.3(2018·世界)ABC的内角A，B，C的对边分不为a，b，c.已经清楚bsinCcsinB4asinBsinC，b2c2a28，那么ABC的面积为_答案分析bsinCcsinB4asinBsinC，由正弦定理得sinBsinCsinCsinB4sinAsinBsinC.又sinBsinC>0，sinA.由余弦定理得cosA>0，cosA，bc，SABCbcsinA××.4设ABC三个内角A，B，C所对的边分不为a，b，c，假设A，B，C依次成等差数列且a2c2kb2，那么实数k的取值范围是_答案(1,2分析A，B，C依次成等差数列，2BAC，又ABC，B，a2c2b22accosBac，当且仅当ac时，等号成破b20，即b20，k2，又a2c2b22accosB>0，且a2c2kb2，kb2b2>0，k>1，1<k2.5在ABC中，角A，B，C的对边分不为a，b，c，假设a1，sinAcosC(sinCb)cosA0，那么角A_.答案分析a1，sinAcosC(sinCb)cosA0，sinAcosCsinCcosAbcosA，sin(AC)sinBbcosA，asinBbcosA，由正弦定理可得sinAsinBsinBcosA，sinB>0，sinAcosA，即tanA，A(0，)，A.6ABC的内角A，B，C的对边分不为a，b，c，点D为AC的中点，假设sinCcosC0，a，b4，那么BD的长为_答案1分析sinCcosC，又易知cosC0，tanC，又0°<C<180°，C30°，过点B作BEAC于点E(如图)，那么BEasin30°，CEacos30°，点D为AC的中点，CD2，DE，BD1.7在ABC中，角A，B，C的对边分不为a，b，c，ABBC4，tan，那么当角B最大年夜时，ABC的面积为_答案分析由tan，得，得4sinBsinAsinC，由正弦定理得4bac4，即b1，而ac4，故B点在以A，C为中心，长轴长为4的椭圆上，当B点位于椭圆的上顶点时，角B获得最大年夜值，如今ABC是等腰三角形椭圆的半焦距为，故ABC的高为，因此面积为·AC·h×1×.8已经清楚ABC的内角A，B，C所对的边分不为a，b，c，假设csinBbcosC，且ab6，那么边长c的最小值为_答案3分析由题意及正弦定理，得，从而tanC，又由于C(0，)，因此C.由余弦定理及条件，得c2a2b22abcos(ab)23ab363ab.由全然不等式，得c2363ab36329(当且仅当ab3时取等号)，因此c3，即c的最小值为3.9ABC的内角A，B，C的对边分不为a，b，c，已经清楚sinAcos(BC)，sinBsinCsinA，a7.(1)求角A的值；(2)求ABC的面积解(1)sinAcos(BC)，sinAcosA，sin，0<A<，<A<，A，A.(2)由sinBsinCsinA及正弦定理得bca，a7，bc8，由余弦定理得a2b2c22bccosA(bc)22bc2bccosA，49642bcbc64bc，bc15，ABC的面积为bcsinA×15×.10ABC的内角A，B，C的对边分不为a，b，c，已经清楚ABC内接于单位圆，且(1tanA)(1tanB)2.(1)求角C；(2)求ABC面积的最大年夜值解(1)(1tanA)(1tanB)2，tanAtanB1tanA·tanB，tanCtan(AB)1，又0<C<，C.(2)ABC的外接圆为单位圆，c2RsinC，又c2a2b22abcosC，2a2b2ab2abab(2)ab，当且仅当ab时，“成破，ab，ABC的面积SabsinC·，ABC面积的最大年夜值为.B组才能进步11在ABC中，角A，B，C所对的边分不为a，b，c.假设a2b2c2ab，且c2，那么SABC的最大年夜值是_答案分析依照余弦定理得，cosC，又0C，那么C.由余弦定理得，c2a2b22abcosC，那么4a2b2ab，即ab4a2b22ab，解得ab4，由于SABCabsinCab,因此SABC，当且仅当ab2时取等号，故SABC的最大年夜值是.12在歪ABC中，假设tanC0，那么tanC的最大年夜值是_答案2分析在歪ABC中，tanCtan(AB)，又tanC0，tanC，tanAtanB1tanAtanB，tanAtanB，tanAtanB>0，tanA与tanB同号，在ABC中，tanA>0，tanB>0，tanC2(tanAtanB)2×2，2×2×2，当且仅当tanAtanB时“成破，tanC的最大年夜值为2.13.如图，在ABC中，BC2，ABC，AC的垂直平分线DE与AB，AC分不交于D，E两点，且DE，那么BE2_.答案分析如图，贯串衔接CD，由题设，有BDC2A，因此，故CD.又DECDsinA，因此cosA，而A(0，)，故A，因此ADE为等腰直角三角形，因此AEDE.在ABC中，ACB，因此，故AB1，在ABE中，BE2(1)222×(1)××.14已经清楚ABC的三个内角A，B，C的对边分不为a，b，c，且(bacosC)csinA.(1)求角A的值；(2)假设AC边上的中线BD的长为，求ABC面积的最大年夜值解(1)由于(bacosC)csinA.由正弦定理，得(sinBsinAcosC)sinCsinA.即sin(AC)sinAcosCsinCsinA.化简，得cosAsinCsinCsinA.由于sinC>0，因此cosAsinA，即tanA，又0<A<，因此A.(2)由于BD为AC边上的中线，因此SABC2SABDAB·AD×sinAB·AD.又由余弦定理，得BD2AB2AD22AB·AD×cosAB2AD2AB·AD2AB·ADAB·ADAB·AD(当且仅当ABAD时，等号成破)，因此AB·AD13，因此SABCAB·AD×13，当ABAD时，ABC的面积有最大年夜值.