高考数学(文)一轮复习讲义 第4章4.7 解三角形的实际应用.docx

§4.7解三角形的理论使用最新考纲考情考向分析可以使用正弦定理、余弦定理等知识跟方法处理一些与测量跟多少多何打算有关的理论征询题.以使用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等理论征询题为主，常与三角恒等变卦、三角函数的性质结合调查，加强数学知识的使用性题型要紧为选择题跟填空题，中档难度.理论测量中的稀有征询题求AB图形需要测量的元素解法求竖直高度底部可达ACB，BCa解直角三角形ABatan底部弗成达ACB，ADB，CDa解两个直角三角形AB求水平距离山两侧ACB，ACb，BCa用余弦定理AB河两岸ACB，ABC，CBa用正弦定理AB河对岸ADC，BDC，BCD，ACD，CDa在ADC中，AC；在BDC中，BC；在ABC中，使用余弦定理求AB不雅观点方法微思索在理论测量征询题中有哪多少多种稀有典范，处理这些征询题的全然思想是什么？提示理论测量中有高度、距离、角度等征询题，全然思想是按照已经清楚条件，构造三角形(建模)，使用正弦定理、余弦定理处理征询题题组一思索辨析1揣摸以下结论是否精确(请在括号中打“或“×)(1)从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，那么，的关系为180°.(×)(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(×)(3)方位角与倾向角其实质是一样的，均是判定不雅观看点与目标点之间的位置关系()(4)方位角大小的范围是0,2)，倾向角大小的范围一般是.()题组二讲义改编2.如以下列图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出A，C的距离为50m，ACB45°，CAB105°后，就可以打算出A，B两点的距离为_m.答案50分析由正弦定理得，又B30°，AB50(m)3如图，在山足A测得山顶P的仰角为30°，沿倾歪角为15°的歪坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，那么山高h_米答案a分析由题图可得PAQ30°，BAQ15°，在PAB中，PAB15°，又PBC60°，BPA30°，在PAB中，PBa，PQPCCQPB·sinasina×sin60°asin15°a.题组三易错自纠4要测量底部不克不迭到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角30°，并测得水平面上的BCD120°，CD40m，那么电视塔的高度为()A10mB20mC20mD40m答案D分析设电视塔的高度为xm，那么BCx，BDx.在BCD中，由余弦定理得3x2x24022×40x×cos120°，即x220x8000，解得x20(舍去)或x40.故电视塔的高度为40m.5在某次测量中，在A处测得一致半破体倾向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，那么BAC_.答案130°分析60°70°130°.6海上有A，B，C三个小岛，A，B相距5海里，从A岛望C跟B成45°视角，从B岛望C跟A成75°视角，那么B，C两岛间的距离是_海里答案5分析由题意可知ACB60°，由正弦定理得，即，得BC5.题型一测量距离征询题1(2018·营口检测)江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在一致水平面上，由炮台顶部测得俯角分不为45°跟60°，同时两条船与炮台底部连线成30°角，那么两条船相距_m.答案10分析如图，OMAOtan45°30(m)，ONAOtan30°×3010(m)，在MON中，由余弦定理得MN10(m)2.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均弗成到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，假设测得CDkm，ADBCDB30°，ACD60°，ACB45°，那么A，B两点间的距离为_km.答案分析ADCADBCDB60°，ACD60°，DAC60°，ACDCkm.在BCD中，DBC45°，由正弦定理，得BC·sinBDC·sin30°(km)在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22AC·BCcos45°2×××.ABkm.A，B两点间的距离为km.3如图，为了测量两座山岳上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300m且跟P，Q两点在一致破体内的路段AB的两个端点作为不雅观察点，现测得PAB90°，PAQPBAPBQ60°，那么P，Q两点间的距离为_m.答案900分析由已经清楚，得QABPABPAQ30°.又PBAPBQ60°，AQB30°，ABBQ.又PB为大年夜众边，PABPQB，PQPA.在RtPAB中，APAB·tan60°900，故PQ900，P，Q两点间的距离为900m.思想升华求距离征询题的两个策略(1)选定或判定要创破的三角形，起首判定所求量所在的三角形，假设其他量已经清楚那么开门见山求解；假设有未知量，那么把未知量放在另一判定三角形中求解(2)判定用正弦定理仍然余弦定理，假设都可用，就选择更便于打算的定理题型二测量高度征询题例1(2018·赤峰测试)如图，小明同学在山顶A处不雅观察到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分不为30°，45°，且BAC135°，假设山高AD100m，汽车从B点到C点历时14s，那么这辆汽车的速度约为_m/s.(精确到0.1，参考数据：1.414，2.236)答案22.6分析因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分不为30°，45°，因而BAD60°，CAD45°，设这辆汽车的速度为vm/s，那么BC14v，在RtADB中，AB200.在RtADC中，AC100.在ABC中，由余弦定理，得BC2AC2AB22AC·AB·cosBAC，因而(14v)2(100)220022×100×200×cos135°，因而v22.6，因而这辆汽车的速度约为22.6m/s.思想升华(1)高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，全然思想是把恳求的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中(2)在理论征询题中，可以会遇到空间与破体(空中)同时研究的征询题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个破体图形，如斯处理起来既明晰又不随便搞错跟踪训练1如以下列图，在山顶铁塔上B处测无暇中上一点A的俯角为，在塔底C处测得A处的俯角为.已经清楚铁塔BC部分的高为h，那么山高CD_.答案分析由已经清楚得BCA90°，ABC90°，BAC，CAD.在ABC中，由正弦定理得，即，AC.在RtACD中，CDACsinCADACsin.故山高CD为.题型三角度征询题例2如以下列图，一艘巡视船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15°(BAC15°)的倾向，匀速向北飞翔20分钟后到达B处，测得山顶P位于北偏东60°的倾向，现在测得山顶P的仰角为60°，已经清楚山高为2千米(1)船的飞翔速度是每小时多少多千米？(2)假设该船接着飞翔10分钟到达D处，征询现在山顶位于D处南偏东多少多度的倾向？解(1)在BCP中，由tanPBC，得BC2，在ABC中，由正弦定理得，即，因而AB2(1)，故船的飞翔速度是每小时6(1)千米(2)在BCD中，BD1，BC2，CBD60°，那么由余弦定理得CD，在BCD中，由正弦定理得，即，因而sinCDB，因而，山顶位于D处南偏东45°的倾向思想升华处理测量角度征询题的本卷须知(1)起首应清楚方位角跟倾向角的含义(2)分析题意，分清已经清楚与所求，再按照题意画出精确的表现图，这是最关键、最要紧的一步(3)将理论征询题转化为可用数学方法处理的征询题后，留心正弦、余弦定理的“联袂使用跟踪训练2如以下列图，已经清楚两座灯塔A跟B与海洋不雅观看站C的距离相当，灯塔A在不雅观看站C的北偏东40°的倾向上，灯塔B在不雅观看站C的南偏东60°的倾向上，那么灯塔A在灯塔B的_的倾向上答案北偏西10°分析由已经清楚得ACB180°40°60°80°，又ACBC，AABC50°，60°50°10°，灯塔A位于灯塔B的北偏西10°的倾向上1(2018·沈阳调研)已经清楚A，B两地间的距离为10km，B，C两地间的距离为20km，现测得ABC120°，那么A，C两地间的距离为()A10kmB10kmC10kmD10km答案D分析如以下列图，由余弦定理可得AC21004002×10×20×cos120°700，AC10.2.如以下列图，在坡度肯定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的歪度为15°，向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的歪度为45°，假设CD50m，山坡对于地破体的坡度为，那么cos等于()A.B.C.1D.1答案C分析在ABC中，由正弦定理得，AC100.在ADC中，cossin(90°)1.3一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的倾向直线飞翔，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处不雅观看灯塔，其倾向是南偏东70°，在B处不雅观看灯塔，其倾向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A10海里B10海里C20海里D20海里答案A分析如以下列图，易知，在ABC中，AB20，CAB30°，ACB45°，按照正弦定理得，解得BC10.4.如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分不为20m，50m，BD为水平面，那么从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A30°B45°C60°D75°答案B分析依题意可得AD20，AC30，又CD50，因而在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0°<CAD<180°，因而CAD45°，因而从顶端A看建筑物CD的张角为45°.5(2018·呼跟浩特质检)如以下列图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在一致水平面内的两个测点C与D，测得BCD15°，BDC30°，CD30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，那么塔高AB等于()A5B15C5D15答案D分析在BCD中，CBD180°15°30°135°.由正弦定理得，因而BC15.在RtABC中，ABBCtanACB15×15.应选D.6(2018·丹东模拟)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分不为75°，30°，现在气球的高是60m，那么河流的宽度BC等于()A240(1)mB180(1)mC120(1)mD30(1)m答案C分析如图，ACD30°，ABD75°，AD60m，在RtACD中，CD60(m)，在RtABD中，BD60(2)m，BCCDBD6060(2)120(1)m.7(2018·乌海模拟)如图，某工程中要将一长为100m，倾歪角为75°的歪坡改构成倾歪角为30°的歪坡，并保持坡高波动，那么坡底需加长_m.答案100分析设坡底需加长xm，由正弦定理得，解得x100.8.如以下列图，位于A处的信息中心得知：在其正西倾向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心破刻把消息通知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的倾向沿直线CB前往B处救援，那么cos的值为_答案分析在ABC中，AB40，AC20，BAC120°，由余弦定理得BC2AB2AC22AB·AC·cos120°2800，得BC20.由正弦定理，得，即sinACB·sinBAC.由BAC120°，知ACB为锐角，那么cosACB.由ACB30°，得coscos(ACB30°)cosACBcos30°sinACBsin30°.9(2018·阜新模拟)一船向正北飞翔，望见正西倾向相距10海里的两个灯塔偏偏与它在一条直线上，接着飞翔半小时后，望见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，那么这艘船的速度是每小时_海里答案10分析如以下列图，依题意有BAC60°，BAD75°，因而CADCDA15°，从而CDCA10，在RtABC中，得AB5，因而这艘船的速度是10(海里/时)10(2018·盘锦质检)如图，某室庐小区的破体图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出出口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已经清楚某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟假设此人步行的速度为每分钟50米，那么该扇形的半径为_米答案50分析如图，连接OC，在OCD中，OD100，CD150，CDO60°.由余弦定理得OC2100215022×100×150×cos60°17500，解得OC50.11.如图，在山底A点处测得山顶仰角CAB45°，沿倾歪角为30°的歪坡走1000米至S点，又测得山顶仰角DSB75°，那么山高BC为_米答案1000分析由题图知BAS45°30°15°，ABS45°(90°DSB)30°，ASB135°，在ABS中，由正弦定理可得，AB1000，BC1000.12.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°倾向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正南倾向飞翔，假设渔船甲同时从B处出发沿北偏东的倾向追赶渔船乙，偏偏用2小时追上(1)求渔船甲的速度；(2)求sin的值解(1)依题意知，BAC120°，AB12，AC10×220，BCA.在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22AB·AC·cosBAC1222022×12×20×cos120°784，解得BC28.因而渔船甲的速度为14(海里/时)(2)在ABC中，因为AB12，BAC120°，BC28，BCA，由正弦定理，得，即sin.13.如图，在水平空中上有两座直破的相距60m的铁塔AA1跟BB1.已经清楚从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C分不看两塔顶部的仰角互为余角，那么从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为_；塔BB1的高为_m.答案45分析设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为，那么AA160tan，BB160tan2.从两塔底部连线中点C分不看两塔顶部的仰角互为余角，A1ACCBB1，AA1·BB1900，3600tantan2900，tan，tan2，那么BB160tan245.14.如图，据气象部分预报，在距离某码头南偏东45°倾向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正南倾向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到阻碍，那么该码头将受到热带风暴阻碍的时辰为_h.答案15分析记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在OAB中，OA600，AB20t，OAB45°，按照余弦定理得OB26002400t22×600×20t×，令OB24502，即4t2120t15750，解得t，因而该码头将受到热带风暴阻碍的时辰为15(h)15.某舰艇在A处测得一艘遇险渔船在其北偏东40°的倾向距离A处10海里的C处，现在得知，该渔船正沿南偏东80°的倾向以每小时9海里的速度向一小岛濒临，假设舰艇的时速为21海里，那么舰艇追上渔船的最短时辰是_小时.答案分析如以下列图，设舰艇追上渔船的最短时辰是t小时，经过t小时渔船到达B处，那么舰艇也在现在到达B处.在ABC中，ACB40°80°120°，CA10，CB9t，AB21t，由余弦定理得(21t)2102(9t)22×10×9t×cos120°，即36t29t100，解得t或t(舍).16.如图，游客从某巡游景区的景点A处下山至C处有两种道路一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处进展1min后，再匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量得cosA，sinB.(1)征询乙出发多少多min后，乙在缆车内与甲的距离最短？(2)为使两位游客在C处互相等待的时辰不逾越3min，乙步行的速度应把持在什么范围内？解(1)cosA，sinB，sinA，cosB，sinCsin(AB)，在ABC中，由正弦定理，得AB1040m，设乙出发tmin后，甲、乙距离为d，由余弦定理得d2(130t)2(10050t)22×130t×(10050t)×，即d2200(37t270t50)200.0t，即0t8，当t时，即乙出发min后，乙在缆车内与甲的距离最短(2)sinA，由正弦定理，得，即，BC500m.乙从B出发时，甲已经走了50(281)550(m)，还需走710m才能到达C.设乙的步行速度为vm/min，那么3，故33，解得v.故为使两位游客在C处互相等待的时辰不逾越3min，乙步行的速度应把持在范围内.