高考数学(理)一轮复习讲义3.1导数的概念及运算.docx

§3.1导数的不雅观点及运算最新考纲考情考向分析1.理解导数不雅观点的理论背景.2.通过函数图象直不雅观理解导数的几多何意思.3.能按照导数定义求函数yc(c为常数)，yx，yx2，yx3，y，y的导数.4.能运用全然初等函数的导数公式跟导数的四那么运算法那么求庞杂函数的导数，能求庞杂的复合函数(仅限于形如f(axb)的复合函数)的导数.导数的不雅观点跟运确实是高考的必考内容，一般渗透在导数的运用中调查；导数的几多何意思常与分析几多何中的直线交汇调查；题型为选择题或解答题的第(1)征询，高级难度.1平均变卦率一般地，已经清楚函数yf(x)，x0，x1是其定义域内差异的两点，记xx1x0，yy1y0f(x1)f(x0)f(x0x)f(x0)，那么当x0时，商，称作函数yf(x)在区间x0，x0x(或x0x，x0)的平均变卦率2函数yf(x)在xx0处的导数(1)定义称函数yf(x)在xx0处的瞬时变卦率为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)，即f(x0).(2)几多何意思函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几多何意思是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的歪率呼应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)3函数f(x)的导函数假设f(x)在开区间(a，b)内每一点x全然上可导的，那么称f(x)在区间(a，b)可导如斯，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个判定的导数f(x)因此，在区间(a，b)内，f(x)构成一个新的函数，我们把谁人函数称为函数yf(x)的导函数，记为f(x)或y(或yx)4全然初等函数的导数公式表yf(x)yf(x)ycy0yxn(nN)ynxn1，n为正整数yx(x>0，0且Q)yx1，为有理数yax(a>0，a1)yaxlnaylogax(a>0，a1，x>0)yysinxycosxycosxysinx5.导数的四那么运算法那么设f(x)，g(x)是可导的，那么(1)(f(x)±g(x)f(x)±g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)6复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数跟函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyu·ux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积不雅观点方法微思索1按照f(x)的几多何意思索虑一下，|f(x)|增大年夜，曲线f(x)的形状有何变卦？提示|f(x)|越大年夜，曲线f(x)的形状越来越陡峭2直线与曲线相切，是不是直线与曲线只需一个大年夜众点？提示不用定题组一思索辨析1揣摸以下结论是否精确(请在括号中打“或“×)(1)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变卦率(×)(2)f(x0)f(x0).(×)(3)(2x)x·2x1.(×)(4)假设f(x)e2x，那么f(x)e2x.(×)题组二讲义改编2假设f(x)x·ex，那么f(1)_.答案2e分析f(x)exxex，f(1)2e.3曲线y1在点(1，1)处的切线方程为_答案2xy10分析y，y|x12.所求切线方程为2xy10.题组三易错自纠4如以下列图为函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么yf(x)，yg(x)的图象可以是()答案D分析由yf(x)的图象知，yf(x)在(0，)上单调递减，说明函数yf(x)的切线的歪率在(0，)上也单调递减，故可打扫A，C.又由图象知yf(x)与yg(x)的图象在xx0处订交，说明yf(x)与yg(x)的图象在xx0处的切线的歪率一样，故可打扫B.应选D.5设f(x)ln(32x)cos2x，那么f(0)_.答案分析由于f(x)2sin2x，因此f(0).6(2017·天津)已经清楚aR，设函数f(x)axlnx的图象在点(1，f(1)处的切线为l，那么l在y轴上的截距为_答案1分析f(x)a，f(1)a1.又f(1)a，切线l的歪率为a1，且过点(1，a)，切线l的方程为ya(a1)(x1)令x0，得y1，故l在y轴上的截距为1.题型一导数的打算1已经清楚f(x)sin，那么f(x)_.答案cosx分析由于ysinsinx，因此y(sinx)cosx.2已经清楚f(x)ln，那么f(x)_.答案分析y·.3f(x)x(2019lnx)，假设f(x0)2020，那么x0_.答案1分析f(x)2019lnxx·2020lnx，由f(x0)2020，得2020lnx02020，x01.4假设f(x)x22x·f(1)，那么f(0)_.答案4分析f(x)2x2f(1)，f(1)22f(1)，即f(1)2，f(x)2x4，f(0)4.思维升华1.求导之前，应运用代数、三角恒等式等变形对函数停顿化简，然后求导，尽管避免不用要的商的求导法那么，如斯可以添加运算量，提高运算速度添加差错2(1)假设函数为根式方法，可先化为分数指数幂，再求导(2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，需要时可停顿换元题型二导数的几多何意思命题点1求切线方程例1(1)已经清楚函数f(x1)，那么曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的歪率为()A1B1C2D2答案A分析由f(x1)，知f(x)2.f(x)，f(1)1.由导数的几多何意思知，所求切线的歪率k1.(2)已经清楚函数f(x)xlnx，假设直线l过点(0，1)，同时与曲线yf(x)相切，那么直线l的方程为_答案xy10分析点(0，1)不在曲线f(x)xlnx上，设切点为(x0，y0)又f(x)1lnx，直线l的方程为y1(1lnx0)x.由解得x01，y00.直线l的方程为yx1，即xy10.命题点2求参数的值例2(1)直线ykx1与曲线yx3axb相切于点A(1，3)，那么2ab_.答案1分析由题意知，yx3axb的导数为y3x2a，那么由此解得k2，a1，b3，2ab1.(2)已经清楚f(x)lnx，g(x)x2mx(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1，f(1)，那么m_.答案2分析f(x)，直线l的歪率kf(1)1.又f(1)0，切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，那么有x0m1，y0x01，y0xmx0，m<0，m2.命题点3导数与函数图象例3(1)已经清楚函数yf(x)的图象是以下四个图象之一，且其导函数yf(x)的图象如以下列图，那么该函数的图象是()答案B分析由yf(x)的图象是先上升后着落可知，函数yf(x)图象的切线的歪抢先增大年夜后减小，应选B.(2)已经清楚yf(x)是可导函数，如图，直线ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，那么g(3)_.答案0分析由题图可知曲线yf(x)在x3处切线的歪率等于，f(3).g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，又由题图可知f(3)1，g(3)13×0.思维升华导数的几多何意思是切点处切线的歪率，运用时要紧表达在以下几多个方面：(1)已经清楚切点A(x0，f(x0)求歪率k，即求该点处的导数值kf(x0)(2)假设求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可(3)函数图象在每一点处的切线歪率的变卦情况反响函数图象在呼应点处的变卦情况跟踪训练(1)(2018·世界)已经清楚f(x)x2，那么曲线yf(x)过点P(1,0)的切线方程是_答案y0或4xy40分析设切点坐标为(x0，x)，f(x)2x，切线方程为y02x0(x1)，x2x0(x01)，解得x00或x02，所求切线方程为y0或y4(x1)，即y0或4xy40.(2)设曲线y在点处的切线与直线xay10平行，那么实数a_.答案1分析y，由条件知1，a1.(3)(2018·沈阳模拟)函数f(x)lnxax的图象存在与直线2xy0平行的切线，那么实数a的取值范围是_答案(，2)分析函数f(x)lnxax的图象存在与直线2xy0平行的切线，即f(x)2在(0，)上有解因此f(x)a2在(0，)上有解，那么a2.由于x>0，因此2<2，因此a的取值范围是(，2)1函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为()A2(x2a2)B2(x2a2)C3(x2a2)D3(x2a2)答案C分析f(x)(xa)2(x2a)·(2x2a)(xa)·(xa2x4a)3(x2a2)2已经清楚函数f(x)cosx，那么f()f等于()ABCD答案C分析由于f(x)cosx(sinx)，因此f()f×(1).3(2018·包头调研)设f(x)xlnx，假设f(x0)2，那么x0的值为()Ae2BeC.Dln2答案B分析由f(x)xlnx，得f(x)lnx1.按照题意知，lnx012，因此lnx01，即x0e.4曲线ysinxex在点(0,1)处的切线方程是()Ax3y30Bx2y20C2xy10D3xy10答案C分析ycosxex，故切线歪率k2，切线方程为y2x1，即2xy10.5已经清楚点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾歪角，那么的取值范围是()A.B.C.D.答案A分析求导可得y，exex2224，当且仅当x0时，等号成破，y1,0)，得tan1,0)，又0，)，<.6(2018·大年夜连调研)已经清楚曲线ylnx的切线过原点，那么此切线的歪率为()AeBeC.D答案C分析ylnx的定义域为(0，)，且y，设切点为(x0，lnx0)，那么，切线方程为ylnx0(xx0)，由于切线过点(0,0)，因此lnx01，解得x0e，故此切线的歪率为.7(2018·乌海模拟)已经清楚曲线f(x)2x21在点M(x0，f(x0)处的瞬时变卦率为8，那么点M的坐标为_答案(2,9)分析f(x)2x21，f(x)4x，令4x08，那么x02，f(x0)9，点M的坐标是(2,9)8设曲线yeaxln(x1)在x0处的切线方程为2xy10，那么a_.答案3分析yeaxln(x1)，yaeax，当x0时，ya1，曲线yeaxln(x1)在x0处的切线方程为2xy10，a12，即a3.9假设曲线ylnx的一条切线是直线yxb，那么实数b的值为_答案1ln2分析由ylnx，可得y，设切点坐标为(x0，y0)，由曲线ylnx的一条切线是直线yxb，可得，解得x02，那么切点坐标为(2，ln2)，因此ln21b，b1ln2.10(2018·丹东模拟)假设曲线f(x)acosx与曲线g(x)x2bx1在交点(0，m)处有公切线，那么ab_.答案1分析依题意得，f(x)asinx，g(x)2xb，f(0)g(0)，即asin02×0b，得b0.又mf(0)g(0)，即ma1，因此ab1.11.已经清楚f(x)，g(x)分不是二次函数f(x)跟三次函数g(x)的导函数，且它们在一致破体直角坐标系内的图象如以下列图(1)假设f(1)1，那么f(1)_；(2)设函数h(x)f(x)g(x)，那么h(1)，h(0)，h(1)的大小关系为_(用“<连接)答案(1)1(2)h(0)<h(1)<h(1)分析(1)由题图可得f(x)x，g(x)x2，设f(x)ax2bxc(a0)，g(x)dx3ex2mxn(d0)，那么f(x)2axbx，g(x)3dx22exmx2，故a，b0，d，em0，因此f(x)x2c，g(x)x3n，由f(1)1，得c，那么f(x)x2，故f(1)1.(2)h(x)f(x)g(x)x2x3cn，那么有h(1)cn，h(0)cn，h(1)cn，故h(0)<h(1)<h(1)12已经清楚曲线yx3x2在点P0处的切线l1平行于直线4xy10，且点P0在第三象限(1)求P0的坐标；(2)假设直线ll1，且l也过切点P0，求直线l的方程解(1)由yx3x2，得y3x21，由已经清楚令3x214，解得x±1.当x1时，y0；当x1时，y4.又点P0在第三象限，切点P0的坐标为(1，4)(2)直线ll1，l1的歪率为4，直线l的歪率为.l过切点P0，点P0的坐标为(1，4)，直线l的方程为y4(x1)，即x4y170.13假设函数f(x)x2axlnx存在垂直于y轴的切线，那么实数a的取值范围是_答案2，)分析f(x)x2axlnx，定义域为(0，)，f(x)xa.f(x)存在垂直于y轴的切线，yf(x)存在零点，即xa0有解，ax2(当且仅当x1时取等号)14已经清楚曲线f(x)xlnx在点(e，f(e)处的切线与曲线yx2a相切，务虚数a的值解由于f(x)lnx1，因此曲线f(x)xlnx在xe处的切线歪率为k2，那么曲线f(x)xlnx在点(e，f(e)处的切线方程为y2xe.由于切线与曲线yx2a相切，联破得x22xae0，因此由44(ae)0，解得a1e.15给出定义：设f(x)是函数yf(x)的导函数，f(x)是函数f(x)的导函数，假设方程f(x)0有实数解x0，那么称点(x0，f(x0)为函数yf(x)的“拐点已经清楚函数f(x)5x4sinxcosx的“拐点是M(x0，f(x0)，那么点M()A在直线y5x上B在直线y5x上C在直线y4x上D在直线y4x上答案B分析由题意，知f(x)54cosxsinx，f(x)4sinxcosx，由f(x0)0，知4sinx0cosx00，因此f(x0)5x0，故点M(x0，f(x0)在直线y5x上16已经清楚函数f(x)x.(1)求曲线f(x)过点(0，3)的切线方程；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0跟直线yx所围成的三角形的面积为定值，并求此定值解(1)f(x)1，设切点为(x0，y0)，那么曲线yf(x)在点(x0，y0)处的切线方程为yy0·(xx0)，切线过(0，3)，3·(x0)，解得x02，y0，所求切线方程为y(x2)，即yx3.(2)设P(m，n)为曲线f(x)上任一点，由(1)知过P点的切线方程为yn(xm)，即y(xm)，令x0，得y，从而切线与直线x0的交点为，令yx，得yx2m，从而切线与直线yx的交点为(2m,2m)，点P(m，n)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积S··|2m|6，为定值