高考数学(文)一轮复习讲义 第9章高考专题突破5第1课时 范围、最值问题.docx

高考专题攻破五高考中的圆锥曲线征询题第1课时范围、最值征询题题型一范围征询题例1(2018·鞍山质检)已经清楚椭圆C：1(a>b>0)与双曲线y21的离心率互为倒数，且直线xy20通过椭圆的右顶点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设只是原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的歪率依次成等比数列，求OMN面积的取值范围.解(1)双曲线的离心率为，椭圆的离心率e.又直线xy20通过椭圆的右顶点，右顶点为点(2,0)，即a2，c，b1，椭圆方程为y21.(2)由题意可设直线的方程为ykxm(k0，m0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).联破消去y，并拾掇得(14k2)x28kmx4(m21)0，那么x1x2，x1x2，因此y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2.又直线OM，MN，ON的歪率依次成等比数列，故·k2，那么m20.由m0得k2，解得k±.又由64k2m216(14k2)(m21)16(4k2m21)>0，得0<m2<2，显然m21(否那么x1x20，x1，x2中至少有一个为0，直线OM，ON中至少有一个歪率不存在，与已经清楚冲突).设原点O到直线的距离为d，那么SOMN|MN|d··|x1x2|·|m|.故由m的取值范围可得OMN面积的取值范围为(0,1).思维升华处理圆锥曲线中的取值范围征询题应考虑的五个方面(1)使用圆锥曲线的几多何性质或判不式构造不等关系，从而判定参数的取值范围.(2)使用已经清楚参数的范围，求新参数的范围，解这类征询题的中心是树破两个参数之间的等量关系.(3)使用隐含的不等关系树破不等式，从而求出参数的取值范围.(4)使用已经清楚的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.(5)使用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而判定参数的取值范围.跟踪训练1(2018·浙江)如图，已经清楚点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y24x上存在差异的两点A，B称心PA，PB的中点均在C上.(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)假设P是半椭圆x21(x<0)上的动点，求PAB面积的取值范围.(1)证明设P(x0，y0)，A，B.由于PA，PB的中点在抛物线上，因此y1，y2为方程24·，即y22y0y8x0y0的两个差异的实根.因此y1y22y0，因此PM垂直于y轴.(2)解由(1)可知因此|PM|(yy)x0y3x0，|y1y2|2.因此PAB的面积SPAB|PM|·|y1y2|.由于x1(1x0<0)，因此y4x04x4x044,5，因此PAB面积的取值范围是.题型二最值征询题命题点1使用三角函数有界性求最值例2过抛物线y24x的中心F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，那么|AF|·|BF|的最小值是()A.2B.C.4D.2答案C分析设直线AB的倾歪角为，可得|AF|，|BF|，那么|AF|·|BF|×4.命题点2数形结合使用几多何性质求最值例3在破体直角坐标系xOy中，P为双曲线x2y21右支上的一个动点.假设点P到直线xy10的距离大年夜于c恒成破，那么实数c的最大年夜值为_.答案分析双曲线x2y21的渐近线为x±y0，直线xy10与渐近线xy0平行，故两平行线间的距离d.由点P到直线xy10的距离大年夜于c恒成破，得c，故c的最大年夜值为.命题点3转化为函数使用全然不等式或二次函数求最值例4已经清楚点P是圆O：x2y21上任意一点，过点P作PQy轴于点Q，延长QP到点M，使.(1)求点M的轨迹E的方程；(2)过点C(m,0)作圆O的切线l，交(1)中的曲线E于A，B两点，求AOB面积的最大年夜值.解(1)设M(x，y)，P为QM的中点，又有PQy轴，P，点P是圆O：x2y21上的点，2y21，即点M的轨迹E的方程为y21.(2)由题意可知直线l与y轴不垂直，故可设l：xtym，tR，A(x1，y1)，B(x2，y2)，l与圆O：x2y21相切，1，即m2t21，由消去x，并拾掇得(t24)y22mtym240，其中4m2t24(t24)(m24)48>0，y1y2，y1y2.|AB|，将代入上式得|AB|，|m|1，SAOB|AB|·1·1，当且仅当|m|，即m±时，等号成破，AOB面积的最大年夜值为1.思维升华处理圆锥曲线最值征询题的求解方法圆锥曲线中的最值征询题典范较多，解法敏锐多变，但总体上要紧有两种方法：一是使用几多何法，即通过使用曲线的定义、几多何性质以及破体几多何中的定理、性质等停顿求解；二是使用代数法，即把恳求最值的几多何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(分析式)，然后使用函数方法、不等式方法等停顿求解.跟踪训练2(2018·锦州模拟)已经清楚椭圆y21上两个差异的点A，B关于直线ymx对称.(1)务虚数m的取值范围；(2)求AOB面积的最大年夜值(O为坐标原点).解(1)由题意知m0，可设直线AB的方程为yxb.由消去y，得x2xb210.由于直线yxb与椭圆y21有两个差异的交点，因此2b22>0，将AB的中点M代入直线方程ymx，解得b，由得m<或m>.(2)令t，那么t2.那么|AB|·，且O到直线AB的距离为d.设AOB的面积为S(t)，因此S(t)|AB|·d，当且仅当t2时，等号成破，现在称心t2.故AOB面积的最大年夜值为.1.已经清楚P(x0，y0)是椭圆C：y21上的一点，F1，F2是C的两个中心，假设·<0，那么x0的取值范围是()A.B.C.D.答案A分析由题意可知，F1(，0)，F2(，0)，那么·(x0)(x0)yxy3<0，点P在椭圆上，那么y1，故x3<0，解得<x0<，即x0的取值范围是.2.定长为4的线段MN的中间点在抛物线y2x上移动，设点P为线段MN的中点，那么点P到y轴距离的最小值为()A.1B.C.2D.5答案B分析设M(x1，y1)，N(x2，y2)，抛物线y2x的中心为F，抛物线的准线为x，所求的距离d，因此(单方之跟大年夜于第三边且M，N，F三点共线时取等号).3.过抛物线y2x的中心F的直线l交抛物线于A，B两点，且直线l的倾歪角，点A在x轴上方，那么|FA|的取值范围是()A.B.C.D.答案D分析记点A的横坐标是x1，那么有|AF|x1|AF|cos，|AF|(1cos)，|AF|.由<得1<cos，22(1cos)<4，<1，即|AF|的取值范围是.4.已经清楚椭圆1(a>b>0)的中心为O，一个中心为F，假设以O为圆心，|OF|为半径的圆与椭圆恒有大年夜众点，那么椭圆的离心率的取值范围是()A.B.C.D.答案A分析由于以O为圆心，以b为半径的圆内切于椭圆，因此要使以O为圆心，以c为半径的圆与椭圆恒有大年夜众点，需称心cb，那么c2b2a2c2，因此2c2a2，因此e<1，应选A.5.(2018·丹东调研)设O为坐标原点，P是以F为中心的抛物线y22px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，那么直线OM的歪率的最大年夜值为()A.B.C.D.1答案A分析由题意可得F，设P(y0>0)，那么()，可得k.当且仅当时取得等号，应选A.6.在破体直角坐标系xOy中，已经清楚抛物线C：x24y，点P是C的准线l上的动点，过点P作C的两条切线，切点分不为A，B，那么AOB面积的最小值为()A.B.2C.2D.4答案B分析设P(x0，1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，又A，B在抛物线上，因此y1，y2.由于y，那么过点A，B的切线分不为y(xx1)，y(xx2)均过点P(x0，1)，那么1(x0x1)，1(x0x2)，即x1，x2是方程1(x0x)的两根，那么x1x22x0，x1x24，设直线AB的方程为ykxb，联破得x24kx4b0，那么x1x24b4，即b1，|AB|x1x2|··，O到直线AB的距离d，那么SAOB|AB|d2，即AOB的面积的最小值为2，应选B.7.椭圆C：y21(a>1)的离心率为，F1，F2是C的两个中心，过F1的直线l与C交于A，B两点，那么|AF2|BF2|的最大年夜值等于_.答案7分析由于椭圆C的离心率为，因此，解得a2，由椭圆定义得|AF2|BF2|AB|4a8，即|AF2|BF2|8|AB|，而由中心弦性质，知当ABx轴时，|AB|取最小值2×1，因此|AF2|BF2|的最大年夜值等于817.8.(2018·沈阳模拟)已经清楚F1，F2是双曲线1(a>0，b>0)的左、右中心，点P在双曲线的右支上，假设|PF1|t|PF2|(t(1,3)，那么双曲线通过一、三象限的渐近线的歪率的取值范围是_.答案(0，分析由双曲线的定义及题意可得解得又|PF1|PF2|2c，|PF1|PF2|2c，拾掇得e1，1<t3，12，1<e2.又e21，0<3，故0<.双曲线通过一、三象限的渐近线的歪率的取值范围是(0，.9.(2018·赤峰模拟)已经清楚双曲线1(a>0，b>0)的左、右中心分不为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，AF2，BF2分不交y轴于P，Q两点，假设PQF2的周长为16，那么的最大年夜值为_.答案分析由题意，得ABF2的周长为32，|AF2|BF2|AB|32，|AF2|BF2|AB|4a，|AB|，324a，b(0<a<8)，令ta1(1<t<9)，那么，令m，那么，当m，即a，b时，的最大年夜值为.10.椭圆1的左、右中心分不为F1，F2，过椭圆的右中心F2作一条直线l交椭圆于P，Q两点，那么F1PQ的内切圆面积的最大年夜值是_.答案分析由题意得，直线l的歪率不为0，因此令直线l：xmy1，与椭圆方程联破消去x得(3m24)y26my90，可设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，那么y1y2，y1y2.可知|F1F2|y1y2|12，又，故3.三角形周长与三角形内切圆的半径的积等于三角形面积的二倍，那么内切圆半径r，其面积最大年夜值为.11.已经清楚曲线C：y24x，曲线M：(x1)2y24(x1)，直线l与曲线C交于A，B两点，O为坐标原点.(1)假设·4，求证：直线l恒过定点；(2)假设直线l与曲线M相切，求·(点P坐标为(1,0)的取值范围.(1)证明由已经清楚得直线l的歪率不为0，可设l：xmyn，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y24my4n0，y1y24m，y1·y24n.x1x24m22n，x1·x2n2.由·4可得，x1·x2y1·y2n24n4，解得n2.l：xmy2，直线l恒过定点(2,0).(2)解直线l与曲线M相切，M(1,0)，显然n3.2，拾掇得4m2n22n3.由(1)及可得，·(x11，y1)·(x21，y2)(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y2n24m22n14nn24m26n144n，·8，即·的取值范围是(，8.12.(2018·南昌测试)已经清楚椭圆1(a>b>0)的一个顶点坐标为B1(0，)，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)如图，点P是该椭圆内一点，四边形ABCD(ABCD)的对角线AC跟BD交于点P，设直线AB：yxm，记g(m)S，求f(m)g(m)m34m3的最大年夜值.解(1)顶点坐标为B1(0，)，b22，椭圆方程为1.(2)联破lAB与椭圆方程拾掇得3x24mx2m240，488m2>0，即m2<6，又直线AB只是点P，得m.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，x1x2，|x1x2|，设点P到直线AB的距离为d，g(m)d2|AB|2··2·，f(m)·2m2·2(当且仅当m2时取等号)，因此f(m)max，现在m±.13.已经清楚双曲线：1(a>0，b>0)的右顶点为A，与x轴平行的直线交于B，C两点，记BAC，假设的离心率为，那么()A.B.C.D.答案B分析e，ca，b2c2a2a2，双曲线方程可变形为x2y2a2.设B(x0，y0)，由对称性可知C(x0，y0)，点B(x0，y0)在双曲线上，xya2.A(a,0)，(x0a，y0)，(x0a，y0)，·(x0a)·(x0a)ya2xy0，即.应选B.14.假设点O跟点F分不为椭圆1的中心跟左中心，点P为椭圆上的任意一点，那么·的最小值为_.答案6分析点P为椭圆1上的任意一点，设P(x，y)(3x3，2y2)，由题意得左中心F(1,0)，(x，y)，(x1，y)，·x(x1)y2x2x·2.3x3，x，2，2，6·212，即6·12.故最小值为6.15.如图，由抛物线y212x与圆E：(x3)2y216的实线部分构成图形，过点P(3,0)的直线不断与图形中的抛物线部分及圆部分有交点，那么|AB|的取值范围为()A.4,5B.7,8C.6,7D.5,6答案B分析由题意可知抛物线y212x的中心为F(3,0)，圆(x3)2y216的圆心为E(3,0)，因此点P，F，E三点重合，因此|PA|4，设B(x0，y0)，那么由抛物线的定义可知|PB|x03，由得(x3)212x16，拾掇得x26x70，解得x11，x27(舍去)，设圆E与抛物线交于C，D两点，因此xCxD1，因此0x01，又|AB|AP|BP|4x03x07，因此|AB|x077,8，应选B.16.(2018·南昌测试)已经清楚P是椭圆C：1(a>b>0)与抛物线E：y22px(p>0)的一个大年夜众点，且椭圆与抛物线存在一个一样的中心F.(1)求椭圆C及抛物线E的方程；(2)设过F且互相垂直的两动直线l1，l2，l1与椭圆C交于A，B两点，l2与抛物线E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值.解(1)P是抛物线E：y22px(p>0)上一点，p2，即抛物线E的方程为y24x，F(1,0)，a2b21.又P在椭圆C：1上，1，结合a2b21知b23(舍负)，a24，椭圆C的方程为1，抛物线E的方程为y24x.(2)由题意可知直线l1歪率存在，设直线l1的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4).当k0时，|AB|4，直线l2的方程为x1，|CD|4，故S四边形ACBD·|AB|·|CD|8.当k0时，直线l2的方程为y(x1)，由得(34k2)x28k2x4k2120.x1x2，x1x2.由弦长公式知|AB|x1x2|.同理可得|CD|4(k21).S四边形ACBD·|AB|·|CD|··4(k21).令tk21，t(1，)，那么S四边形ACBD，当t(1，)时，(0,1)，24<3，S四边形ACBD>8.综上所述，四边形ACBD面积的最小值为8.