高考数学(文)一轮复习讲义 第4章4.6 正弦定理和余弦定理.docx

§4.6正弦定理跟余弦定理最新考纲考情考向分析操纵正弦定理、余弦定理，并能处置一些庞杂的三角形度量征询题.以使用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象跟性质、三角恒等变卦、三角形中的几多何打算交汇调查，加强数形结合思想的应用意识题型多样，中档难度.1正弦定理、余弦定理在ABC中，假设角A，B，C所对的边分不是a，b，c，R为ABC外接圆半径，那么定理正弦定理余弦定理内容(1)2R(2)a2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC变形(3)a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；(4)sinA，sinB，sinC；(5)abcsinAsinBsinC；(6)asinBbsinA，bsinCcsinB，asinCcsinA(7)cosA；cosB；cosC2在ABC中，已经清楚a，b跟A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式absinAbsinA<a<baba>b解的个数一解两解一解一解3.三角形常用面积公式(1)Sa·ha(ha表示边a上的高)；(2)SabsinCacsinBbcsinA；(3)Sr(abc)(r为三角形内切圆半径)不雅念方法微思索1在ABC中，A>B是否可推出sinA>sinB?提示在ABC中，由A>B可推出sinA>sinB.2如图，在ABC中，有如下结论：bcosCccosBa.试类比写出不的两个式子提示acosBbcosAc；acosCccosAb.题组一思索辨析1揣摸以下结论是否精确(请在括号中打“或“×)(1)三角形中三边之比等于呼应的三个内角之比(×)(2)当b2c2a2>0时，三角形ABC为锐角三角形(×)(3)在ABC中，.()(4)在三角形中，已经清楚单方跟一角就能求三角形的面积()题组二讲义改编2在ABC中，acosAbcosB，那么谁人三角形的形状为答案等腰三角形或直角三角形分析由正弦定理，得sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B，因此2A2B或2A2B，即AB或AB，因此谁人三角形为等腰三角形或直角三角形3在ABC中，A60°，AC4，BC2，那么ABC的面积为答案2分析，sinB1，B90°，AB2，SABC×2×22.题组三易错自纠4在ABC中，角A，B，C所对的边分不为a，b，c，假设c<bcosA，那么ABC为()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形答案A分析由已经清楚及正弦定理得sinC<sinBcosA，sin(AB)<sinBcosA，sinAcosBcosAsinB<sinBcosA，又sinA>0，cosB<0，B为钝角，故ABC为钝角三角形5(2018·大年夜连质检)在ABC中，已经清楚b40，c20，C60°，那么此三角形的解的情况是()A有一解B有两解C无解D有解但解的个数不判定答案C分析由正弦定理得，sinB>1.角B不存在，即称心条件的三角形不存在6(2018·包头模拟)设ABC的内角A，B，C所对边的长分不为a，b，c.假设bc2a,3sinA5sinB，那么C.答案分析由3sinA5sinB及正弦定理，得3a5b.又由于bc2a，因此ab，cb，因此cosC.由于C(0，)，因此C.题型一使用正弦、余弦定理解三角形例1(2018·天津)在ABC中，内角A，B，C所对的边分不为a，b，c.已经清楚bsinAacos.(1)求角B的大小；(2)设a2，c3，求b跟sin(2AB)的值解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsinAasinB.又由bsinAacos，得asinBacos，即sinBcos，因此tanB.又由于B(0，)，因此B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，得b2a2c22accosB7，故b.由bsinAacos，可得sinA.由于a<c，因此cosA.因此sin2A2sinAcosA，cos2A2cos2A1.因此sin(2AB)sin2AcosBcos2AsinB××.思想升华(1)正弦定理、余弦定理的感染是在已经清楚三角形部分元素的情况下求解其余元素，全然思想是方程思想，即按照正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素；(2)正弦定理、余弦定理的另一个感染是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已经清楚条件化为角的三角函数关系，也可以把已经清楚条件化为三角形边的关系跟踪训练1(1)在ABC中，角A，B，C所对的边分不是a，b，c.已经清楚8b5c，C2B，那么cosC等于()A.BC±D.答案A分析8b5c，由正弦定理，得8sinB5sinC.又C2B，8sinB5sin2B，8sinB10sinBcosB.sinB0，cosB，cosCcos2B2cos2B1.(2)如以下列图，在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD,2ABBD，BC2BD，那么sinC的值为答案分析设ABa，ABAD,2ABBD，BC2BD，ADa，BD，BC.在ABD中，cosADB，sinADB，sinBDC.在BDC中，sinC.题型二跟三角形面积有关的征询题例2在ABC中，内角A，B，C所对的边分不为a，b，c.已经清楚bc2acosB.(1)证明：A2B；(2)假设ABC的面积S，求角A的大小(1)证明由正弦定理得sinBsinC2sinAcosB，故2sinAcosBsinBsin(AB)sinBsinAcosBcosAsinB，因此sinBsin(AB)又A，B(0，)，故0<AB<，因此B(AB)或BAB，因此A(舍去)或A2B，因此A2B.(2)解由S，得absinC，故有sinBsinCsinAsin2BsinBcosB，由sinB0，得sinCcosB.又B，C(0，)，因此C±B.当BC时，A；当CB时，A.综上，A或A.思想升华(1)关于面积公式SabsinCacsinBbcsinA，一般是已经清楚哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的征询题，一般要用到正弦定理或余弦定理停顿边跟角的转化跟踪训练2(1)(2018·沈阳质检)假设AB2，ACBC，那么SABC的最大年夜值为()A2B.C.D3答案A分析设BCx，那么ACx.按照三角形的面积公式，得SABC·AB·BCsinBx.按照余弦定理，得cosB.将代入，得SABCx.由三角形的三边关系，得解得22<x<22，故当x2时，SABC取得最大年夜值2，应选A.(2)在ABC中，a，b，c分不为角A，B，C所对的边，A，b2sinC4sinB，那么ABC的面积为_答案2分析由于b2sinC4sinB，因此b2c4b，因此bc4，SABCbcsinA×4×2.题型三正弦定理、余弦定理的使用命题点1揣摸三角形的形状例3(1)在ABC中，a，b，c分不为角A，B，C所对的边，假设a2bcosC，那么此三角形肯定是()A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰三角形或直角三角形答案C分析方法一由余弦定理可得a2b·，因此a2a2b2c2，得b2c2，因此bc，从而ABC为等腰三角形方法二由正弦定理可得sinA2sinBcosC，因此sin(BC)2sinBcosC，即sinBcosCcosBsinC2sinBcosC，因此sin(BC)0，因此BC0，即BC，故ABC为等腰三角形(2)设ABC的内角A，B，C所对的边分不为a，b，c，假设bcosCccosBasinA，那么ABC的形状为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不判定答案B分析由正弦定理得sinBcosCsinCcosBsin2A，sin(BC)sin2A，即sin(A)sin2A，sinAsin2A.A(0，)，sinA>0，sinA1，即A，ABC为直角三角形引申探究1本例(2)中，假设将条件变为2sinAcosBsinC，揣摸ABC的形状解2sinAcosBsinCsin(AB)，2sinAcosBsinAcosBcosAsinB，sin(AB)0.又A，B为ABC的内角AB，ABC为等腰三角形2本例(2)中，假设将条件变为a2b2c2ab，且2cosAsinBsinC，揣摸ABC的形状解a2b2c2ab，cosC，又0<C<，C，又由2cosAsinBsinC得sin(BA)0，AB，故ABC为等边三角形命题点2求解几多何打算征询题例4如图，在四边形ABCD中，DAB，ADAB23，BD，ABBC.(1)求sinABD的值；(2)假设BCD，求CD的长解(1)由于ADAB23，因此可设AD2k，AB3k.又BD，DAB，因此由余弦定理，得()2(3k)2(2k)22×3k×2kcos，解得k1，因此AD2，AB3，sinABD.(2)由于ABBC，因此cosDBCsinABD，因此sinDBC，因此，因此CD.思想升华(1)揣摸三角形形状的方法化边：通过因式分析、配方等得出边的呼应关系化角：通过三角恒等变卦，得出内角的关系，现在要留心使用ABC谁人结论(2)求解几多何打算征询题要留心：按照已经清楚的边角画出图形并在图中标示；选择在某个三角形中使用正弦定理或余弦定理跟踪训练3(1)在ABC中，cos2(a，b，c分不为角A，B，C的对边)，那么ABC的形状为()A等边三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形答案B分析cos2，cos2，(1cosB)·cac，acosB·c，2a2a2c2b2，a2b2c2，ABC为直角三角形(2)在破体四边形ABCD中，ABC75°，BC2，那么AB的取值范围是_答案(，)分析如以下列图，延长BA与CD订交于点E，过点C作CFAD交AB于点F，那么BF<AB<BE.在等腰三角形CBF中，FCB30°，CFBC2，BF.在等腰三角形ECB中，CEB30°，ECB75°，BECE，BC2，BE×.<AB<.1在ABC中，角A，B，C所对的边分不为a，b，c.假设a，b3，A60°，那么边c等于()A1B2C4D6答案C分析a2c2b22cbcosA，13c292c×3×cos60°，即c23c40，解得c4或c1(舍去)2在ABC中，角A，B，C的对边分不为a，b，c，假设c2，b2，C30°，那么B等于()A30°B60°C30°或60°D60°或120°答案D分析c2，b2，C30°，由正弦定理可得sinB，由b>c，可得30°<B<180°，B60°或B120°.3(2018·丹东模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分不为a，b，c，cos2AsinA，bc2，那么ABC的面积为()A.B.C1D2答案A分析由cos2AsinA，得12sin2AsinA，解得sinA(负值舍去)，由bc2，可得ABC的面积SbcsinA×2×.4在ABC中，角A，B，C的对边分不为a，b，c，已经清楚三个向量m，n，p共线，那么ABC的形状为()A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形答案A分析向量m，n共线，acosbcos.由正弦定理得sinAcossinBcos.2sincoscos2sincoscos.那么sinsin.0<<，0<<，即AB.同理可得BC.ABC的形状为等边三角形应选A.5.(2018·本溪质检)已经清楚ABC的内角A，B，C的对边分不为a，b，c，假设cosC，bcosAacosB2，那么ABC的外接圆面积为()A4B8C9D36答案C分析cbcosAacosB2，由cosC，得sinC，再由正弦定理可得2R6，R3，因此ABC的外接圆面积为R29，应选C.6在ABC中，角A，B，C所对的边长分不为a，b，c，sinA，sinB，sinC成等比数列，且c2a，那么cosB的值为()A.B.C.D.答案B分析由于sinA，sinB，sinC成等比数列，因此sin2BsinAsinC，由正弦定理得b2ac，又c2a，故cosB.7(2018·通辽模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分不为a，b，c.假设(a2c2b2)tanBac，那么角B的值为_答案或分析由余弦定理，得cosB，结合已经清楚等式得cosB·tanB，sinB，又0<B<，B或.8设ABC的内角A，B，C的对边分不为a，b，c.假设a，sinB，C，那么b_.答案1分析由于sinB且B(0，)，因此B或B.又C，BC<，因此B，ABC.又a，由正弦定理得，即，解得b1.9ABC的内角A，B，C的对边分不为a，b，c，已经清楚b2，B，C，那么ABC的面积为_答案1分析b2，B，C.由正弦定理，得c2，A，sinAsinsincoscossin.那么SABCbcsinA×2×2×1.10.如图，在ABC中，已经清楚点D在BC边上，ADAC，sinBAC，AB3，AD3，那么BD的长为_答案分析由于sinBAC，且ADAC，因此sin，因此cosBAD，在BAD中，由余弦定理，得BD.11(2018·通辽模拟)设ABC的内角A，B，C的对边分不为a，b，c，abtanA.(1)证明：sinBcosA；(2)假设sinCsinAcosB，且B为钝角，求A，B，C.(1)证明由正弦定理知2R，a2RsinA，b2RsinB，代入abtanA得sinAsinB·，又A(0，)，sinA>0，1，即sinBcosA.(2)解由sinCsinAcosB知，sin(AB)sinAcosB，cosAsinB.由(1)知，sinBcosA，cos2A，由于B是钝角，故A，cosA，A.sinB，B，C(AB).12(2018·北京)在ABC中，a7，b8，cosB.(1)求A；(2)求AC边上的高解(1)在ABC中，由于cosB，因此sinB.由正弦定理得sinA.由题设知<B<，因此0<A<，因此A.(2)在ABC中，由于sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，因此AC边上的高为asinC7×.13在ABC中，a2b2c22absinC，那么ABC的形状是()A不等腰的直角三角形B等腰直角三角形C钝角三角形D正三角形答案D分析易知a2b2c2a2b2a2b22abcosC2absinC，即a2b22absin，由于a2b22ab，当且仅当ab时取等号，因此2absin2ab，sin1，故只能ab且C，因此ABC为正三角形14(2018·包头模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分不为a，b，c，且称心asinBbcosA假设a4，那么ABC周长的最大年夜值为_答案12分析由正弦定理，可将asinBbcosA转化为sinAsinBsinBcosA.又在ABC中，sinB>0，sinAcosA，即tanA.0<A<，A.由余弦定理得a216b2c22bccosA(bc)23bc(bc)232，那么(bc)264，即bc8(当且仅当bc4时等号成破)，ABC的周长labc4bc12，即最大年夜值为12.15在ABC中，C60°，且2，那么ABC面积S的最大年夜值为_答案分析由C60°及2，可得c.由余弦定理得3b2a2abab(当且仅当ab时取等号)，SabsinC×3×，ABC的面积S的最大年夜值为.16在ABC中，角A，B，C的对边分不为a，b，c，a2(bc)2(2)bc，且sinB1cosC，BC边上的中线AM的长为.(1)求角A跟角B的大小；(2)求ABC的面积解(1)由a2(bc)2(2)bc，得a2b2c2bc，即b2c2a2bc，cosA，又0<A<，A.又sinB1cosC,0<sinB<1，cosC<0，即C为钝角，B为锐角，且BC，那么sin1cosC，化简得cos1，解得C，B.(2)由(1)知，ab，sinC，cosC，在ACM中，由余弦定理得AM2b222b··cosCb2()2，解得b2，故SABCabsinC×2×2×.