2022年考试目标.doc

第70课 棱 锥考试目的 主词填空1.定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体.2.分类：按底面边数分：三棱锥、四棱锥特例：正棱锥底面是正多边形同时顶点在底面上射影是底面中心的棱锥.3. 性质：假如棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面类似，同时它们面积之比等于截得棱锥的高和已经知道棱锥高的平方比.即(类推：).关于正棱锥：（1）各条侧棱相等；（2）各侧面是全等的等腰三角形；（3）棱锥的高和斜高及斜高在底面上的射影构成一个直角三角形；棱锥的高和侧棱的底面上的射影也构成一个直角三角形.4.侧面积和体积：.题型例如 点津归纳【例1】 棱锥PABCD的底面是正方形，侧面PAB，PAD都垂直于底面，另两侧面与底面成45°角，M，N分别为BC，CD的中点，最长的侧棱为15 cm.求:(1)棱锥的高；（2）底面中心O到平面PMN的间隔.【解前点津】 棱锥的概念在此题求解中并无作用，重点应分析和利用好给出的面面关系.【标准解答】 如下图.(1)设高为h,由平面PAB，平面PAD都垂直于底面，得PA底面AC.例1题图又PBA=45°，PA=AB=h,AC=h .由PA2AC2PC2及PC15，得h=5(cm );(2)BDAC,BDPA,BD平面PAC.又MNBD,MN平面PAQ，平面PAQ平面PMN.作OHPQ于H，则OH之长即为所求.作AGPQ于G.在RtPAQ中，AQ,PQ=AG=再由得OH= (cm).【解后归纳】 由于在棱锥中，随处能够找到解题必需的三角形，因而平面几何知识和解三角形的知识往往成为正确解题的关键.例2题图【例2】 如图，已经知道四棱锥PABCD的底面是菱形，棱长为4a,且ABC=60°,PC平面ABCD，PC=4a,E是PA的中点.（1）求证：平面BDE平面ABCD；（2）求：E点到平面PBC的间隔；（3）求：二面角AEBD的平面角的大小.【解前点津】 （1）证平面BDE平面ABCD，需证平面BDE过平面ABCD的一条垂线OE；（2）欲求E到平面PBC的间隔可转化为求直线OE到平面的间隔，进一步转化为求点O到平面PBC的间隔.（3）利用三垂线定理作出二面角的平面角AGO,从而解出AGO可求得AGO的大小.【标准解答】 证明:（1）连结AC、BD交于O，连OE、BE、DE.ABCD为菱形，OA=OC.又E为PA中点，OEPC.PC平面ABCD，OE平面ABCD.又OE平面BDE,平面BDE平面ABCD.(2)解:OEPC,PC平面PBC,OE平面PBC.E到平面PBC的间隔与O到平面PBC的间隔相等.PC平面ABCD，平面PBC平面ABCD，过O作OFBC于F，则OF平面PBC，即OF是O到平面PBC的间隔.ABC=60°,AC=AB=BC=4a,OC=2a,OF=OC·sin60°=2a·=.点E到平面PBC的间隔为.（3）解:过O作OGBE于G，连AG，OEAC,BDAC,AC平面BDE，AGBE.AGO是二面角ABED的平面角.OE=PC=2a,OB=2,BE=4a.由三角形面积相等得：OG=,又AO=AC=2a.RtAOG中，tanAGOAGO=arctan.二面角AEBD的平面角的大小为arctan.【解后归纳】 此题考察线线平行、垂直、线面平行与垂直、面面垂直的断定及性质，点到面的间隔、二面角大小的求法，综合运用知识的才能，转化才能.【例3】 如图，设三棱锥SABC的三个侧棱与底面ABC所成角都是60°,又BAC=60°,且SABC.例3题图（1）求证SABC为正三棱锥；（2）已经知道SAa,求SABC的全面积.【解前点津】 (1)正棱锥的定义中，底面是正多边形；顶点在底面上射影是底面的中心，两个条件缺一不可.（2）只要求出正三棱锥SABC的侧高SD与底面边长，则咨询题易于处理.【标准解答】 (1)证明：作三棱锥SABC的高SO，O为垂足.连结AO并延长交BC于D.由于SABC,因而ADBC,又侧棱与底面所成的角都相等，从而O为ABC的外心,OD为BC的垂直平分线，因而ABAC.又BAC60°,故ABC为正三角形，且O为其中心，因而SABC为正三棱锥.（2）在RtSAO中，由于SAa,SAO=60°,因而SO=,AO=a, 因O为重心，因而AD.BC=2BD=2ADcot 60°=,OD=AD=.在RtSOD 中，SD2SO2OD2，则.SSABC全=【解后归纳】 求正棱锥的侧面积或全面积还能够利用公式S正棱锥底cos·S正棱锥侧（为侧面与底面所成的二面角），就此题cos=,SABC=,因而SSABC侧=,也可求出全面积.【例4】 已经知道正三棱锥PABC底面边长为2,高也是2.(1)求此三棱锥的全面积;(2)过这棱锥底面的一边作垂直于它所对棱的截面,求这个截面的面积.【标准解答】 (1)斜高h=,S全=S侧+S底=(2)设顶点P在底面上的射影为O,连AO并延长交BC于E,连结PE,PEBC,AEBC,BC平面PAE,PABC.在平面PAE中,作EDPA于D,则PA截面BCD.在PAE中,AE=,AB=2,AE=,在RtPAO中,PO=2,AO=,PA=,PA·DE=AE·PO,DE=,截面DBC的面积是.【解后归纳】 关于多面体外表积的计算,常用方法是将其外表展开成平面图形,转化为平面几何咨询题来处理;关于截面积的计算咨询题,则须依照截面的图形特征选择适当方法求之.对应训练 分阶提升一、根底夯实1.具有以下性质的三棱锥中，哪一个是正棱锥 ( )A.顶点在底面上的射影到底面各顶点的间隔相等B.底面是正三角形，且侧面都是等腰三角形C.相邻两条侧棱间的夹角相等D.三条侧棱相等，侧面与底面所成角也相等2.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可能有 ( )A.4个 B.2个 C.3个 D.1个3.设棱锥的底面面积为8cm2,那么这个棱锥的中截面(过棱锥高的中点且平行于底面的截面)的面积是 ( )A.4cm2 B.2cm2 C.2cm2 D24.已经知道三棱锥PABC的六条棱长均相等，E、F分别为棱PB、PC上的点，且，连结AE、AF、EF，则三棱锥AEFP的体积与四棱锥ABCFE的体积之比为 ( )A.110 B.111 C.112 D.1135.如下图，用一个平面去截一个正方体，得到一个三棱锥，在这个三棱锥中，除截面外的三个面的面积分别为S1、S2、S3，则这个三棱锥的体积为 ( )第5题图A.B. C. D. 6.一个n棱锥的所有侧面与底面所成的二面角为30°，且此棱锥的底面面积为S，则它的侧面积等于 ( )A. B. C. D.2S7.以三棱锥各面重心为顶点，得到一个新三棱锥，则它的外表积是原三棱锥外表积的 ( )A. B. C. D.8.两个平行于底面的截面将棱锥的侧面积分成三个相等的部分.则此两截面将棱锥的高分成的三段(自上而下)之比是 ( )A.1 B.1(-1)(-1)C.1(-1)(-) D. 1(+1)(+)9.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BDa，则三棱锥DABC的体积为 ( )A. B. C. D.二、思维激活10.正四棱锥SABCD，已经知道侧棱长等于底面边长，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成角的余弦值等于 .11.假如三棱锥S-ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在ABC内，那么O是ABC的 心12.三棱锥一条侧棱长16cm ,和这条棱相对的棱长是18cm ,其余四条棱长都是17cm ,则棱锥的体积是 cm3.13.三棱锥PABC的底面是直角三角形，C90°，PA底面ABC，假设A到PC、PB的间隔比是12，则侧面PAB与侧面PBC所成的角是 . 14.在正四棱锥内有一内接正方体，这正方体的四个顶点在棱锥的侧棱上，另四个顶点在棱锥底面内，假设棱锥底面边长为a，高为h，则内接正方体的棱长为 . 三、才能提高15.正三棱锥VABC的底面边长为a，侧棱与底面所成的角等于，过底面一边作此棱锥的截面，当截面与底面所成二面角为何值时，截面面积最小?并求出最小值.16.如下图，在正三棱锥SABC中，D、E、F分别是棱AC、BC、SC上的点，且CD2AD，CE2BE，CF2SF，G是AB的中点.(1)求证:平面SAB平面DEF.第16题图(2)求证:SG平面DEF. (3)当AB2，SA时，求二面角FDEC的大小.17.三棱锥PABC中，PB底面ABC于B，BCA90°，PBBCCA4，E为PC的中点，点F在PA上，且3PFFA.(1)求证：侧面PAC侧面PBC.(2)求异面直线PA与BE所成角的大小.(3)求三棱锥FABE的体积V.18.棱长为1的正方体ABCDABCD的上底面对角线AC上取一点P,过P、A、B三点所作的截面与底面ABCD的夹角为,过P、B、C三点所作截面与底面ABCD的夹角为，求当(+)最小时点P的位置.19.正三棱锥PABC中,AB=a,相邻两个侧面所成的二面角为.(1)假设BDPC,求BD的长;(2)求这棱锥的侧面积. 第9课 棱锥习题解答1.D 依照正棱锥的性质选D.2.A 四个侧面三角形都可能是直角三角形如底面ABCD为矩形，VA平面ABCD.3.C 中截面的面积应是底面面积的,即2cm2因而选C.4.B VAEFP=×VPABC= VAEFPVABCFE=111.5.C 由一点出发三条垂直的棱设为a、b、c，ab=S1，bc=S2，ac=S3，V=.6.C 侧面积为.7.C 外表积比为.8.C 自上而下设高为h1、h2、h3，h12(h1+h2)2(h1+h1+h3)2=123.h1h2h3=1(-1)(-).9.D OD=OB=，SBOD=,VDABC=.10. 设AC的中点为O，连OE则OESC，cosOEB=.第12题图解11.内心 设S在ABC上的射影为O，由所成二面角相等可得O到ABC三边间隔相等,故O为内心12.576 如图,取AD的中点E,连结CE,BE,AC=CD=17,DE=8,CE2=172-82=225,BE=CE.取BC的中点F,连结EF,EF为BC边上的高EF=.SBCE=108,AC=CD=17cm ,E为AD的中点,CEAD,同理BEAD,AD平面BCE,三棱锥可分为以截面BCE为底以AE,DE为高的两个三棱锥.VA-BCE和VD-BCE,VA-BCE=2×SBCE·AE=2××108×8=576(cm3). 13.30° PA平面ABC，BCAC，BC平面PAC，平面PAC平面BCP.过A作ADPC于D，作AFPB于F连DF，sinAFD=,AFD=30°.又AFD为两侧面所成的角.14. 设棱长为x，x=.15.如图，截面PBC中，BC=a为定值，而S，因而，假设使S最小，只须PD最小即可，第15题图解VA、BC为异面直线，当PD为VA、BC的公垂线时，PD的间隔即为最短，当PDBC，PDVA时，PD最短.在RtPDA中，ADP，PDAD·sin，SPBC.16.(1)连结CG交DE于N，连结FN.CD2AD，CE2BE，CF2SF，CD，CE，CF，即.FDSA，FESB，DEAB.平面DEF平面SAB.(2)平面SAB平面SCGSG，平面DEF平面SCGFN，SGFN.又FN平面DEF，SG平面DEF.(3)G是AB的中点，SASB，ACBC.CGAB，SGAB，CGDE，FNDE.FNC是二面角FDEC的平面角.SCSA，AB2，CG3，SG.cosSGC,SGC45°，又FNCSGC45°，二面角FDEC的大小为45°.17.(1)PB平面ABC于B，AC平面ABC，PBAC，又ACBC，AC平面PBC，侧面PAC平面PBC.(2)PBBC，E为PC的中点，BEPC，又平面PAC平面PBC，BE平面PAC，BEPA，即异面直线PA与BE所成的角为90°.(3)BE平面PAC，VB-AEF=·SAEF·BE，又ACPC，SACP·AC·PC，在RtPAC中，由AC4，PC4，得SAPC8，又E为PC的中点，SAEPSAPC，又AF3PF，SAEFSAPE，SAEFSACP3，VF-ABE4.18.分析：关键是先要办法构造一个含+的目的函数y=f(+).求出目的函数tan (+)后，再用一元二次方程的判别式求出当+最小时点P的位置.第18题图解解：如下图，连结AC，在平面ACAC内作PEAC于E，在底面AC内作EFAB于F.ENBC于N，连结PF、PN，故PFE，PNE，设EFx，则AFEF，ENFB.x+EN1，因而tan，tan，tan (+).设tan (+)y，则有yx2-yx+y+1=0. xR，则方程有实数根，故判别式为y2-4y(y+1)0，解得-y0,又0<+<，而-tan (+)0，且在(0,)上正切函数是增函数.当tan (+)取最小值-时，+取最小值，即(+)min-arc tan，把y=-代入式中，得x，即AFEF，EN1-x1-，说明E为AC中点，从而P为AC中点.故当+最小时点P是AC中点.19.(1)连AD,在BCD和ACD中,BC=AC,BCD=ACD,CD=CD,BCDACD,ADPC,AD=BD.BDA为侧面PBC和PAC所成二面角的平面角,BDA=(0<<)在ABD中,由余弦定理得AB2=BD2+AD2-2BD·AD·cos,BD2=.因而BD=.(2)取BC的中点M,连PM,则PMBC,PM为正三棱锥的斜高.PC2=PM2+CM2=PM2+ 又PC·BD=PM·BC,PC2= 从中消去PC2得PM2=即PM=,S侧=.