《抽屉原则》配套练习题.docx

抽屉原则配套练习题一、解答题 1、从1，2，3，2012，2013这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于4？ 2、从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12中最多能选出几个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍？ 3、从1，3，5，7，97，99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数？ 4、从1，2，3，49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数？ 5、有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同现在请你挑选若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个孩子？ 6、某班有16名学生，每个月教师把学生分成两个小组问最少要经过几个月，才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里？ 7、在今年（即2013年）出生的1000个孩子中，请你预测：（1）同在某月某日生的孩子至少有多少个？（2）至少有多少个孩子将来不单独过生日？ 8、有红、黄、蓝三种颜色的小珠子各4颗混放在口袋里，为了保证一次能取到2颗颜色相同的珠子，一次至少要取多少颗？如果要保证一次取到两种不同颜色的珠子各2颗，那么一定至少要取出多少颗？ 9、从一列数1，5，9，13，93，97中，至少取多少个数其中必有两个数的和等于106 10、一个口袋里面装有卡片，每个卡片上面写着从114的一个正整数，每个数的卡片有5张。现在闭着眼睛从里面随机抽取，问在最坏的情况下，要抽取多少张，才能保证至少有5张卡片上面的数两两互质？ 答案部分 一、解答题 1、【正确答案】 1008 【答案解析】 1，2，3，4；9，10，1l，12；17，18，19，20；25，这些数中任何两个数的差都不为4，这些数是每8个连续的数中选取前4个连续的数有2013÷82515，所以最多可以选251×441008个数。 【答疑编号10294080】 2、【正确答案】 8 【答案解析】 我们知道选多少个奇数均满足，有1，3，5，7，9，11均为奇数，并且有偶数中4的倍数，但不是8的倍数的也满足，有4，12是这样的数所以，在满足题意情况下最多可以选出8个数 【答疑编号10294081】 3、【正确答案】 33 【答案解析】 利用3的若干次幂与质数的乘积对这50个奇数分组（1，3，9，27，81），（5，15，45），（7，21，63），（11，33），（13，39），（17，51），（19，57），（23，69），（25，75），（29，87），（31，93），（35），（37），（41），（43），（97）共33组前11组，每组内任意两个数都存在倍数关系，所以每组内最多只能选择一个数即最多可以选出33个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数 【答疑编号10294082】 4、【正确答案】 23 【答案解析】 利用除以7的余数分类：余0：（7，14，21，28，35，42，49）；余1：（1，8，15，22，29，36，43，50）；余2：（2，9，16，23，30，37，44）；余3：（3，10，17，24，31，38，45）；余4：（4，11，18，25，32，39，46）；余5：（5，12，19，26，33，40，47）；余6：（6，13，20，27，34，41，48）第一组内的数最多只能取1个；如果取第二组，那么不能取第七组内任何一个数；取第三组，不能取第六组内任何一个数；取第四组，不能取第五组内任意一个数第二、三、四、五、六、七组分别有8、7、7、7、7、7个数，所以最多可以取187723个数 【答疑编号10294083】 5、【正确答案】 18 【答案解析】 将1至49中相乘小于100的两个数，按被乘数分成9组，如下：（1×2）、（1×3）、（1×4）、（1×49）；（2×3）、（2×4）、（2×5）、（2×49）；（8×9）、（8×10）、（8×11）、（8×12）；（9×10）、（9×11）因为每个数只能与左右两个数相乘，也就是每个数作为被乘数或乘数最多两次，所以每一组中最多会有两对数出现在圆圈中，最多可以取出18个数对，共18×236次，但是每个数都出现两次，故出现了18个数例如：（10×9）、（9×11）、（1×8）、（8×12）、（12×7）、（7×13）、（13×6）、（6×14）、（14×5）、（5×15）、（15×4）、（4×16）、（16×3）、（3×17）、（17×2）、（2×18）、（18×1）、（1×10）共出现l18号，共18个孩子若随意选取出19个孩子，那么共有19个号码，由于每个号码数要与旁边两数分别相乘，则会形成19个相乘的数对那么在9组中取出19个数时，有199×21，由抽屉原则知，必有三个数对落入同一组中，这样某个数字会在数对中出现三次（或三次以上），由分析知，这是不允许的故最多挑出18个孩子 【答疑编号10294084】 6、【正确答案】 4 【答案解析】 经过第一个月，将16个学生分成两组，至少有8个学生分在同一组，下面只考虑这8个学生经过第二个月，将这8个学生分成两组，至少有4个学生是分在同一组，下面只考虑这4个学生经过第三个月，将这4个学生分成两组，至少有2个学生仍分在同一组，这说明只经过3个月是无法满足题目要求的如果经过四个月，将每个月都一直保持同组的学生一分为二，放人两个组，那么第一个月保持同组的人数为16÷28人，第二个月保持同组的人数为8÷24人，第三个月保持同组人数为4÷22人，这说明，照此分法，不会有2个人一直保持在同一组内，即满足题目要求，故最少要经过4个月 【答疑编号10294085】 7、【正确答案】 3；636 【答案解析】 因为2013年有365天，故在2013年出生的孩子至少有13（个）孩子的生日相同；又因为1000（3651）636，即至少有363个孩子将来不单独过生日 【答疑编号10294086】 8、【正确答案】 4；7 【答案解析】 将三种不同颜色看作3个抽屉，对于第一问中为保证一次取到2颗相同颜色的珠子，一次至少要取1×314（颗）珠子对于第二问为了保证一次取到两种不同颜色珠子各2颗，一次至少要取4（1?21）7（颗）珠子 【答疑编号10294087】 9、【正确答案】 15 【答案解析】 给出的数是一个等差数列，它一共有25个数，将这25个组按照和为106分组：（1），（5），（9，97），（13，93），（49，57），（53）在这25个数中任取15个数来，必有两个数属于上述14组中的同一组，故这一组两个数之和是106 【答疑编号10294088】 10、【正确答案】 56 【答案解析】 70张卡片，将14个数分为以下7组1，11，13，（2，4，8），（5，10），（7，14），（3，9，6，12），按上述顺序每种卡片分别取0、0、0、5、5、5、5、5、5、5、5、5、5、5张，此时不互质。如果有56张，上面七组中，至少还有5组中的数，必然能满足题目条件。 【答疑编号10294089】