2023年考研数学二真题及答案解析.docx

2023年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、 选择题：（18小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目规定的。）(1)下列反常积分中收敛的是(A)2+1xdx (B)2+lnxxdx(C)2+1xlnxdx (D) 2+xexdx【答案】D。【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到对的答案。 2+1xdx=2x2+=+； 2+lnxxdx=2+lnxd(lnx)=12(lnx)22+=+； 2+1xlnxdx=2+1lnxd(lnx)=ln(lnx)2+=+； 2+xexdx=-2+xde-x=-xe-x2+2+e-xdx =2e-2-e-x2+=3e-2， 因此(D)是收敛的。综上所述，本题对的答案是D。【考点】高等数学一元函数积分学反常积分 (2)函数fx=limt0(1+sintx)x2t在(-,+)内 (A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B 【解析】这是“1”型极限，直接有fx=limt01+sintxx2t =elimt0x2t1+sintx-1=e xlimt0sintt=ex(x0), fx在x=0处无定义，且limx0fx=limx0ex=1,所以 x=0是fx的可去间断点，选B。 综上所述，本题对的答案是B。 【考点】高等数学函数、极限、连续两个重要极限(3)设函数fx=xcos1x, &x>0，0, &x0(>0,>0).若f'x在x=0处连续，则(A)->1 (B)0<-1(C)->2 (D)0<-2【答案】A【解析】易求出 f'x=x-1cos1x+x-1sin1x, &x>0，0, &x0再有 f+'0=limx0+fx-f0x=limx0+x-1cos1x=0, >1,不存在，1， f-'0=0于是，f'(0)存在>1，此时f'0=0.当>1时，limx0x-1cos1x=0， limx0x-1sin1x=0, -1>0,不存在，-10，因此，f'x在x=0连续->1。选A综上所述，本题对的答案是C。【考点】高等数学函数、极限、连续函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数f(x)在(-,+)内连续，其f''(x)二阶导函数f''(x)的图形如右图所示，则曲线y=f(x)的拐点个数为AOBx (A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】C【解析】f(x)在(-,+)内连续，除点x=0外处处二阶可导。 y=f(x)的可疑拐点是f''x=0的点及f''(x)不存在的点。f''x的零点有两个，如上图所示，A点两侧f''(x)恒正，相应的点不是y=fx拐点，B点两侧f''x异号，相应的点就是y=fx的拐点。虽然f''0不存在，但点x=0两侧f''(x)异号，因而(0,f(0) 是y=fx的拐点。综上所述，本题对的答案是C。【考点】高等数学函数、极限、连续函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数f(,)满足fx+y,yx=x2-y2，则f=1=1与f=1=1依次是 (A)12,0 (B)0,12(C)-12,0 (D)0,-12【答案】D【解析】先求出f,令=x+y,=yx,x=1+,y=1+,于是 f,=2(1+)2-22(1+)2=2(1-)1+=2(21+-1)因此f=1=1=221+-11,1=0 f=1=1=-22(1+)21,1=-12综上所述，本题对的答案是D。【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线2xy=1,4xy=1与直线y=x,y=3x 围成的平面区域，函数f(x,y)在D上连续，则Dfx,ydxdy= (A)43d12sin21sin2f(rcos,rsin)rdr (B) 43d12sin21sin2f(rcos,rsin)rdr (C) 43d12sin21sin2f(rcos,rsin)dr (D) 43d12sin21sin2f(rcos,rsin)dr 【答案】 B 【解析】D是第一象限中由曲线2xy=1,4xy=1与直线y=x,y=3x 围成的平面区域，作极坐标变换，将Dfx,ydxdy化为累次积分。 D的极坐标表达为 34，1sin212sin2， 因此 Dfx,ydxdy=43d12sin21sin2f(rcos,rsin)rdr 综上所述，本题对的答案是B。 【考点】高等数学多元函数积分学二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。(7)设矩阵A=11112a14a2,b=1dd2。若集合=1,2，则线性方程 Ax=b 有无穷多解的充足必要条件为 (A)a,d (B) a,d (C)a,d (D) a,d 【答案】D 【解析】Ax=b 有无穷多解rAb=rA<3 A是一个范德蒙德行列式，值为a-1(a-2),假如a，则 A0，rA=3，此时Ax=b有唯一解，排除(A),(B) 类似的，若d，则rAb=3，排除(C) 当a,d时，rAb=rA=2，Ax=b 有无穷多解 综上所述，本题对的答案是D。【考点】线性代数-线性方程组-范德蒙德行列式取值，矩阵的秩，线性方程组求解。(8)设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22-y32,其中P=(e1,e2,e3),若Q=(e1,-e3,e2)在正交变换 x=Qy下的标准形为 (A) 2y12-y22+y32 (B) 2y12+y22-y32 (C) 2y12-y22-y32 (D) 2y12+y22+y32 【答案】A 【解析】设二次型矩阵为A,则 P-1AP=PTAP=20231000-1 可见e1,e2,e3都是A的特性向量，特性值依次为2,1,-1，于是-e3也是A的特性向量，特性值为-1，因此 QTAQ=Q-1AQ=2023-10001 因此在正交变换x=Qy下的标准二次型为2y12-y22+y32 综上所述，本题对的答案是A。【考点】线性代数-二次型-矩阵的秩和特性向量，正交变换化二次型为标准形。二、填空题：(914)小题，每小题4分，共24分。(9)设x=acrtant ,y=3t+t3,则d2ydx2t=1= 【答案】48 【解析】由参数式求导法 dydx=yt'xt'=3+3t211+t2=3(1+t2)2 再由复合函数求导法则得 d2ydx2=ddx3(1+t2)2=ddt3(1+t2)2dtdx=6(1+t2)2t1xt' =12t(1+t2)2, d2ydx2t=1=48 综上所述，本题对的答案是48。【考点】高等数学-一元函数微分学-复合函数求导(10)函数fx=x22x在x=0处的n阶导数fn0= 【答案】nn-1(ln2)n-2(n=1,2,3,) 【解析】 解法1 用求函数乘积的n阶导数的莱布尼茨公式在此处键入公式。 fnx=k=0nCnkx2k(2x)(n-k) 其中Cnk=n!k!n-k!,注意x2kx=0=0k2，Cn2=n(n-1)2,于是 fn0=Cn22(2x)(n-2)x=0=nn-1(ln2)n-2 (n2) f'0=0 因此fn0=nn-1(ln2)n-2(n=1,2,3,) 解法2 运用泰勒展开 fx=x22x=x2exln2=x2n=0(xln2)nn! =n=0lnn2n!xn+2=n=2lnn-22n-2!xn 由于泰勒展开系数的唯一性，得lnn-22n-2!=fn0n! 可得fn0=nn-1(ln2)n-2(n=1,2,3,) 综上所述，本题对的答案是nn-1(ln2)n-2 (n=1,2,3,) 【考点】高等数学一元函数微分学高阶导数，泰勒展开公式(11)设函数fx连续，x=0x2xf(t)dt.若1=1，'(1)=5,则 f1= 【答案】2 【解析】改写x=x0x2f(t)dt,由变限积分求导法得 'x=0x2f(t)dt+xfx22x=0x2f(t)dt+2x2fx2 由1=1=01f(t)dt ，'1=01f(t)dt+2f1=1+2f1 可得f1=2 综上所述，本题对的答案是2 【考点】高等数学一元函数积分学变限积分函数的性质及应用(12)设函数y=yx是微分方程y''+y'-2y=0的解，且在x=0处 yx取得极值3，则yx= 【答案】e-2x+2ex 【解析】求yx归结为求解二阶常系数齐次线性方程的初值问题 y''+y'-2y=0y0=3，y'0=0 由特性方程2+-2=0 可得特性根 1=-2，2=1，于 是得通解 y=C1e-2x+C2ex 又已知 C1+C2=3-2C1+C2=0C1=1，C2=2 综上所述，本题对的答案是e-2x+2ex 【考点】高等数学常微分方程二阶常系数齐次线性方程(13)若函数z=z(x,y)由方程ex+2y+3z+xyz=1拟定，则 dz0,0= 【答案】-13dx-23dy 【解析】 先求z(0,0) ，在原方程中令x=0,y=0得 e3z=1 z0,0=0 方程两边同时求全微分得 ex+2y+3zdx+2dy+3dz+xydz+yzdx+xzdy=0 令x=0,y=0,z=0 得 dx+2dy+3dz0,0=0 dz0,0=-13dx-23dy 综上所述，本题对的答案是-13dx-23dy 【考点】高等数学-多元函数微分学-隐函数的偏导数和全微分(14)设3阶矩阵A的特性值为2,-2,1，B=A2-A+E,其中E为3 阶单位矩阵，则行列式|B|= 【答案】 21 【解析】 A的特性值为2,-2,1,则B的特性值相应为3,7,1 所以|B|=21 【考点】线性代数行列式行列式计算线性代数矩阵矩阵的特性值三、解答题：1523小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算环节。(15)设函数fx=x+aln1+x+bxsinx,gx=kx3,若fx与gx在x0时是等价无穷小，求a,b,k的值。 【解析】运用泰勒公式 fx=x+aln1+x+bxsinx =x+ax-12x2+13x3+ox3+bxx+16x3+ox3 =1+ax+b-a2x2+a3x3+ox3 当x0时，fxgx，则a=-1,b=-12,k=-13 【考点】高等数学函数、极限、连续无穷小的比阶，泰勒公式(16)设A>0，D是由曲线段y=Asinx(0x2)及直线y=0,x=2所 围成的平面区域，V1,V2分别表达D绕x轴与绕y轴旋转所成旋转体的体积。若V1=V2，求A的值 【解析】 V1=02A2sinx2=A2021-cos2x2dx=2A24 由A>0可得 V2=202xAsinxdx =-2A02xdcosx =-2A(xcosx02-02cosxdx) =2A又 V1=V2 可得A=8【考点】高等数学一元函数积分学定积分的应用(17)已知函数fx,y满足 fxy''x,y=2y+1ex,fx'x,0=x+1ex,f0,y=y2+2y 求fx,y的极值。 【解析】由 fxy''x,y=2y+1ex，得 fx'x,y=(y+1)2ex+(x)又已知 fx'x,0=x+1ex 可得 ex+x=x+1ex 得x=x ex ,从而 fx'x,y=(y+1)2ex+x ex对x积分得 fx,y=(y+1)2ex+x-1ex+(y)又f0,y=y2+2y， 所以y=0所以fx,y=(y+1)2ex+x-1ex于是fy'x,y=(2y+2)ex, fxx''x,y=(x+y2+2y+2)ex, fyy''x,y=2ex令fx'x,y=0，fy'x,y=0得驻点(0,-1)，所以A=fxx''0,-1=1 B=fxy''0,-1=0C=fyy''0,-1=2由于B2-AC<0，A>0,所以极小值为f0,-1=-1【考点】高等数学多元函数微分学二元函数的无条件极值(18)计算二重积分Dx(x+y)dxdy,其中D=(x,y)|x2+y22,yx2【解析】由于区域D关于y轴对称，所以Dxydxdy=0 原式=Dx2dxdy=201dxx22-x2x2dy =201x2(2-x2-x2)dx =201x22-x2dx-201x4dx令x=2sint,则 01x22-x2dx=044sin2tcos2tdt=12041-cos4tdt=8又01x4dx=15所以二重积分=4-25【考点】高等数学多元函数积分学二重积分的计算(19)已知函数 fx=x11+t2dt+1x21+tdt，求fx的零点个数 【解析】 f'x=-1+x2+2x1+x2,令f'x=0，得驻点x=12, 当x<12时，f'x<0, fx单调减少； 当x>12时，f'x>0, fx单调增长； 由于f1=0，所以fx在(12,+)上存在唯一零点。 又f12<f1=0,limx-fx=+，所以fx在(-，12)上存在唯一零点。 综上可知，fx有且仅有两个零点。 【考点】高等数学一元函数微分学方程的根（零点问题）(20)已知高温物体置于低温介质中，任一时刻改物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比。现将一初始温度为120的物体在20恒温介质中冷却，30min后该物体降温至30，若要将该物体的温度继续降至21，还需冷却多长时间？ 【解析】 设该物体在t时刻的温度为Tt，由题意得 dTdt=-k(T-20) 其中k为比例系数，k>0.解得 T=Ce-kt+20 将初始条件T(0)=120代入上式，解得C=100 将t=30,T=30代入得k=ln1030,所以 T=100e-ln1030t+20 令T=21，得t=60,因此要降至21摄氏度，还需60-30=30（min） 【考点】高等数学常微分方程一阶常微分方程，微分方程应用(21)已知函数fx在区间a,+上具有2阶导数，fa=0,f'x> 0,f''x>0.设b>a,曲线y=fx在点(b,f(b)处的切线与x轴 的交点是(x0,0),证明a<x0<b【解析】曲线y=fx在点(b,f(b)处的切线方程是y-fb=f'b(x-b) ,解得切线与x轴交点的横坐标为 x0=b-f(b)f'(b)由于f'x>0，故fx单调增长。由b>a可知fb>fa=0.又f'b>0,故f(b)f'(b)>0,即有x0<b x0-a=b-f(b)f'(b)-a=b-af'b-f(b)f'(b)由拉格朗日中值定理得 fb=fb-fa=f'b-a,a<<b由于f''x>0，所以f'x单调增长，从而f'<f'b,故 fb<f'bb-a由此可知x0-a>0,即x0>a 综上所述，a<x0<b【考点】高等数学一元函数微分学微分中值定理(22)设矩阵A=a101a-101a,且A3=0 (1)求a的值； (2)若矩阵X满足X-XA2-AX+AXA2=E,其中E为三阶单位矩阵，求X 【解析】(1) 由于A3=0，所以A=a101a-101a=a3=0于是a=0(2) 由于X-XA2-AX+AXA2=E所以 E-AXE-A2=E由(1)知E-A=1-10-1110-11,E-A2=001010-102由于E-A,E-A2均可逆，所以X=E-A-1E-A2-1=21-1010100=31-211-121-1【考点】线性代数矩阵矩阵方程(23)设矩阵A=02-3-13-31-2a相似与矩阵B=1-200b0031 (1)求a,b的值； (2)求可逆矩阵P,使PAP-1为对角矩阵。 【解析】(1) 由于矩阵A与矩阵B相似，所以tr A=tr B,A=B于是 3+a=2+b,2a-3=b,解得 a=4,b=5(2) 由(1)知矩阵A=02-3-13-31-24,B=1-20230031由于矩阵A与矩阵B相似,所以E-A=E-B=-12(-5)故A的特性值为1=2=1，3=5.当1=2=1,解方程组E-Ax=0,得线性无关的特性向量1=210，2=-301当3=5，解方程组5E-Ax=0,得特性向量3=-1-11令P=1,2,3=10010-1011,则PAP-1=，故P为所求可逆矩阵。【考点】线性代数矩阵的特性值与特性向量矩阵的相似对角化