江苏省南京市、盐城市2019届高三数学第二次模拟考试试题.doc

2019届高三年级第二次模拟考试数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分 1. 已知集合Ax|1<x<3，Bx|2<x<4，则AB_ 2. 若复数z满足i(i为虚数单位)，且实部和虚部相等，则实数a的值为_ 3. 某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为12，13)，13，14)，14，15)，15，16)，16，17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组的人数为_(第3题)(第4题) 4. 如图是某算法的伪代码，输出的结果S的值为_ 5. 现有5件相同的产品，其中3件合格，2件不合格，从中随机抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为_ 6. 在等差数列an中，a410，前12项的和S1290，则a18的值为_ 7. 在平面直角坐标系xOy中，已知A是抛物线y24x与双曲线1(b>0)的一个交点若抛物线的焦点为F，且FA5，则双曲线的渐近线方程为_ 8. 若函数f(x)2sin(x)(>0，0<<)的图象经过点(，2)，且相邻两条对称轴间的距离为，则f()的值为_ 9. 已知正四棱锥PABCD的所有棱长都相等，高为，则该正四棱锥的表面积为_10. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x25x，则不等式f(x1)>f(x)的解集为_11. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，0)，B(5，0)若在圆M：(x4)2(ym)24上存在唯一一点P，使得直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则实数m的值为_12. 已知AD是直角三角形ABC的斜边BC上的高，点P在DA的延长线上，且满足()·4 .若AD，则·的值为_13. 已知函数f(x)设g(x)kx1，且函数yf(x)g(x)的图象经过四个象限，则实数k的取值范围是_14. 在ABC中，若sin C2cos Acos B，则cos2Acos2B的最大值为_二、 解答题：本大题共6小题，共计90分解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)设向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，其中>0，0<<<，且ab与ab互相垂直(1) 求实数的值；(2) 若a·b，且tan 2，求tan 的值16. (本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，A1CBC1，AB1BC1，D，E分别是AB1和BC的中点求证：(1) DE平面ACC1A1；(2) AE平面BCC1B1.17. (本小题满分14分)某公园内有一块以O为圆心，半径为20米的圆形区域为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A，B分别在圆周上；观众席为梯形ABQP内且在圆O外的区域，其中APABBQ，PABQBA120°，且AB，PQ在点O的同侧为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米设OAB，(0，)问：对于任意，上述设计方案是否均能符合要求？18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(a>b>0)的离心率为，且椭圆C短轴的一个顶点到一个焦点的距离等于.(1) 求椭圆C的方程；(2) 设经过点P(2，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，点Q(m，0)若对任意直线l总存在点Q，使得QAQB，求实数m的取值范围；设F为椭圆C的左焦点，若点Q为FAB的外心，求实数m的值19. (本小题满分16分)已知函数f(x)ln x，a>0.(1) 当a2时，求函数f(x)的图象在x1处的切线方程；(2) 若对任意x1，)，不等式f(x)0恒成立，求实数a的取值范围；(3) 若函数f(x)存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求实数a的取值范围20. (本小题满分16分)已知数列an各项均为正数，且对任意nN*，都有(a1a2an)2aa.(1) 若a1，2a2，3a3成等差数列，求的值；(2) 求证：数列an为等比数列； 若对任意nN*，都有a1a2an2n1，求数列an的公比q的取值范围2019届高三年级第二次模拟考试(十)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A. 选修4-2：矩阵与变换(本小题满分10分)已知矩阵A，B，AB.(1) 求a，b的值；(2) 求A的逆矩阵A1.B. 选修4-4：坐标系与参数方程(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(为参数)，P是曲线C上的任意一点求点P到直线l的距离的最大值C. 选修4-5：不等式选讲(本小题满分10分)解不等式：|2x1|x2.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. (本小题满分10分)如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口A开始到出口B，每遇到一个岔路口，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的现有甲、乙、丙、丁共4名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口A的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口B集中，设C是其中的一个交叉路口点(1) 求甲经过点C的概率；(2) 设这4名游客中恰有X名游客都是经过点C，求随机变量X的概率分布和数学期望23. (本小题满分10分) 平面上有2n(n3，nN*)个点，将每一个点染上红色或蓝色从这2n个点中，任取3个点，记3个点颜色相同的所有不同取法的总数为T.(1) 若n3，求T的最小值；(2) 若n4，求证：T2C.2019届高三年级第二次模拟考试(南京、盐城)数学参考答案1.x|1<x<42.23.184.165.6.47.y±x8.9.4410. (2，3)11.±12.213.14.15. (1) 由ab与ab互相垂直，可得(ab)·(ab)a2b20，所以cos22sin210.(2分)又因为sin2cos21，所以(21)sin20.(4分)因为0<<，所以sin20，所以210.又因为>0，所以1.(6分)(2) 由(1)知a(cos，sin)由a·b，得coscossinsin，即cos().(8分)因为0<<<，所以<<0，所以sin().(10分)所以tan()，(12分)因此tantan().(14分)16. (1) 连结A1B，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1BB1且AA1BB1，所以四边形AA1B1B是平行四边形又因为D是AB1的中点，所以D也是BA1的中点(2分)在BA1C中，D和E分别是BA1和BC的中点，所以DEA1C.又因为DE平面ACC1A1，A1C平面ACC1A1，所以DE平面ACC1A1.(6分)(2) 由(1)知DEA1C，因为A1CBC1，所以BC1DE.(8分)又因为BC1AB1，AB1DED，AB1，DE平面ADE，所以BC1平面ADE.又因为AE平面ADE，所以AEBC1.(10分)在ABC中，ABAC，E是BC的中点，所以AEBC.(12分)因为AEBC1，AEBC，BC1BCB，BC1，BC平面BCC1B1，所以AE平面BCC1B1.(14分)17.过点O作OH垂直于AB，垂足为H.在直角三角形OHA中，OA20，OAH，所以AH20cos，因此AB2AH40cos.(4分)由图可知，点P处的观众离点O最远(5分)在三角形OAP中，由余弦定理可知OP2OA2AP22OA·AP·cos(7分)400(40cos)22×20×40cos·(cossin)400(6cos22sincos1)400(3cos2sin24)800sin1600.(10分)因为，所以当2，即时，(OP2)max8001600，即OPmax2020.(12分)因为2020<60，所以观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米(13分)故对于任意，上述设计方案均能符合要求(14分)18. (1) 依题意得解得所以b2a2c21，所以椭圆C的方程为y21.(2分)(2) 解法一：设直线的方程为yk(x2)，代入椭圆C的方程，消去y，得(12k2)x28k2x8k220.因为直线l交椭圆C于两点，所以(8k2)24(12k2)(8k22)>0，解得<k<.(4分)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.设AB的中点为M(x0，y0)，则x0，y0k(x02).(6分)当k0时，因为QAQB，所以QMl，即kQM·k·k1.解得m.(8分)当k0时，可得m0，符合m.因此m.由0k2<，解得0m<.(10分)因为点Q为FAB的外心，且点F(1，0)，所以QAQBQF.由(12分)消去y，得x24mx4m0，所以x1，x2也是此方程的两个根，所以x1x24m，x1x24m.(14分)又因为x1x2，x1x2，所以，解得k2，所以m.(16分)解法二：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)依题意两式作差，得×(x00)又因为kAB，所以yx0(x02)当x00时，y00，符合yx0(x02)()(4分)又因为QAQB，所以QMl，所以(x0m)(x02)(y00)(y00)0，即y(x0m)(x02)()(6分)由()()，解得x02m，因此y2m2m2.(8分)因为直线l与椭圆C相交，所以点M在椭圆C内，所以(2m2m2)<1，解得m<.又y2m2m20，所以0m1.综上，实数m的取值范围是.(10分)因为点Q为FAB的外心，且点F(1，0)，所以QAQBQF.由消去y，得x24mx4m0.()(12分)当y00时，则直线l为y(x2)，代入椭圆的方程，得(2yx)x24xx4x4y0.将()代入上式化简得x22x0x3x020.()当y00时，此时x00，x1，x2也满足上式(14分)由可知m，代入()化简得x22x0x2x00.()因为()()是同一个方程，所以3x022x0，解得x0，所以m.(16分)19. (1) 当a2时，f(x)lnx，f(x)，则f(1).又因为f(1)0，所以函数f(x)的图象在x1处的切线方程为y(x1)，即x2y10.(2分)(2) 因为f(x)lnx，所以f(x)，(4分)且f(1)0.因为a>0，所以12a<1.当4a24a0，即a1时，因为f(x)>0在区间(1，)上恒成立，所以函数f(x)在区间(1，)上单调递增当x1，)时，f(x)f(1)0，所以a1满足条件(6分)当4a24a<0，即0<a<1时，由f(x)0，得x112(0，1)，x212(1，)，当x(1，x2)时，f(x)<0，则函数f(x)在区间(1，x2)上单调递减，所以当x(1，x2)时，f(x)<f(1)0，这与x1，)时，f(x)0恒成立矛盾，所以0<a<1不满足条件综上，实数a的取值范围为1，)(8分)(3) 当a1时，因为函数f(x)0在区间(0，)上恒成立，所以函数f(x)在区间(0，)上单调递增，所以函数f(x)不存在极值，所以a1不满足条件；(9分)当<a<1时，12a<0，所以函数f(x)的定义域为(0，)，由f(x)0，得x112(0，1)，x212(1，)列表如下：由于函数f(x)在区间(x1，x2)是单调减函数，此时极大值大于极小值，不合题意，所以<a<1不满足条件(11分)当a时，由f(x)0，得x2.列表如下：此时函数f(x)仅存在极小值，不合题意，所以a不满足条件(12分)当0<a<时，函数f(x)的定义域为(0，12a)(12a，)，且0<x112<12a，x212>12a.列表如下：所以函数f(x)存在极大值f(x1)和极小值f(x2)，(14分)此时f(x1)f(x2)lnx1lnx2ln.因为0<x1<12a<x2，所以ln<0，x1x2<0，x112a<0，x212a>0，所以f(x1)f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以0<a<满足条件综上，实数a的取值范围为.(16分)20. (1) 因为(a1a2)2aa3，所以aa1a3，因此a1，a2，a3成等比数列(2分)设公比为t，因为a1，2a2，3a3成等差数列，所以4a2a13a3，即4×13×，于是4t13t2，解得t1或t，所以1或.(4分)(2) 因为(a1a2an)2aa，所以(a1a2anan1)2aa，两式相除得aa1·，即aa1a，(*)(6分)由(*)，得aa1a，(*)(*)(*)两式相除得，即aaa，所以aan1an3，即aanan2，n2，nN*，(8分)由(1)知aa1a3，所以aanan2，nN*，因此数列an为等比数列(10分)当0<q2时，由n1时，可得0<a11，所以ana1qn12n1，因此a1a2an122n12n1，所以0<q2满足条件(12分)当q>2时，由a1a2an2n1，得2n1，整理得a1qn(q1)2na1q1.(14分)因为q>2，0<a11，所以a1q1<0，因此a1qn<(q1)2n，即<，由于>1，因此n<log，与任意nN*恒成立相矛盾，所以q>2不满足条件综上，公比q的取值范围为(0，2(16分)21.A. (1) 因为A，B，AB，所以即(4分)(2) 因为|A|2×31×42，(6分)所以A1.(10分)B.直线l的参数方程为(t为参数)，化为普通方程为xy20.(2分)设点P(cos，sin)，则点P到直线l的距离d，(6分)取时，cos1，此时d取最大值，所以距离d的最大值为.(10分)C.当x时，由2x1x2，得x3.(4分)当x<时，由12xx2，得x.(4分)综上，原不等式的解集为x|x3或x(10分)22. (1) 设“甲从进口A开始到出口B经过点C”为事件M，甲选中间的路的概率为，在前面从岔路到达点C的概率为，这两个事件相互独立，所以选择从中间一条路走到点C的概率为P1×.(2分)同理，选择从最右边的道路走到点C的概率为P2×.因为选择中间道路和最右边道路行走的两个事件彼此互斥，所以P(M)P1P2.故甲从进口A开始到出口B经过点C的概率.(4分)(2) 随机变量可能的取值X0，1，2，3，4，(5分)则P(X0)C××，P(X1)C××，P(X2)C××，P(X3)C××，P(X4)C××，(8分)概率分布为：X01234P数学期望E(X)0×1×2×3×4×.(10分)23. (1) 当n3时，共有6个点，若染红色的点的个数为0或6，则TC20；若染红色的点的个数为1或5，则TC10；若染红色的点的个数为2或4，则TC4；若染红色的点的个数为3，则TCC2；因此T的最小值为2.(3分)(2) 首先证明：任意n，kN*，nk，有C>C.证明：因为CCC>0，所以C>C.设这2n个点中含有p(pN，p2n)个染红色的点，当p0，1，2时，TCC4×.因为n4，所以2n3>n，所以T>4×4C>2C.(5分)当p2n2，2n1，2n时，TCC，同理可得T>2C.(6分)当3p2n3时，TCC，设f(p)CC，3p2n3，当3p2n4时，f(p1)f(p)CCCCCC，显然p2np1，当p>2np1即np2n4时，f(p1)>f(p)，当p<2np1即3pn1时，f(p1)<f(p)，即f(n)<f(n1)<<f(2n3)；f(3)>f(4)>>f(n)；因此f(p)f(n)2C，即T2C.综上，当n4时，T2C.(10分)