初等矩阵与初等变换ppt课件.ppt
资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值华南农业大学理学院应用数学系多媒体教学课件多媒体教学课件资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 1.2 初等变换与初等矩阵1.2.1 初等变换1.2.2 初等矩阵及其性质1.2.3 初等变换与逆矩阵资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值m m个方程，个方程，n n个未知数个未知数对此线性方程组对此线性方程组,可做如下三种同解变换可做如下三种同解变换:(1)互换两个方程的位置互换两个方程的位置;(2)把某一个方程的两边同乘以一个非零常数把某一个方程的两边同乘以一个非零常数c;(3)将某一个方程加上另一个方程的将某一个方程加上另一个方程的k倍倍.这三种变换都称为这三种变换都称为初等变换初等变换.这三种这三种变换都变换都是可逆是可逆的的1.2.1 初等变换初等变换资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值定理定理1.1 设方程组设方程组(1)经过某一初等变换后变为另一个方程组经过某一初等变换后变为另一个方程组,则则新方程组与原方程组同解新方程组与原方程组同解.(P10)例例例例解线性方程组解线性方程组一一对应一一对应 方程之间的变换方程之间的变换 一一对应一一对应 矩阵的行之间的变换矩阵的行之间的变换 方程组的增广矩阵方程组的增广矩阵 资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值定义定义下面三种变换称为矩阵的下面三种变换称为矩阵的行（列）初等变换行（列）初等变换:(1)交换交换矩阵的两行矩阵的两行（列）（列）;(2)以任意以任意非零数非零数乘以矩阵的乘以矩阵的某一行某一行（列）（列）的每一个元素的每一个元素;(3)某一行某一行（列）（列）的每个元素乘以同一常数加到另一行的每个元素乘以同一常数加到另一行（列）（列）的对应元素上去。的对应元素上去。矩阵的行初等变换、列初等变换统称为矩阵的行初等变换、列初等变换统称为矩阵的初等变换矩阵的初等变换。定义定义若矩阵若矩阵A经过有限次的初等变换后化为矩阵经过有限次的初等变换后化为矩阵B，则，则称矩阵称矩阵A与与B等价（等价（equation），记为），记为 A B资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值行变换行变换 Row列变换列变换Column交换交换i,j两行两行第第 i 行乘数行乘数K第第 i行乘数行乘数K后加后加到第到第 j 行上去行上去交换交换i,j两列两列第第 i 列乘数列乘数K第第 i 列乘数列乘数K后加后加到第到第 j 列上去列上去矩阵初等变换的符号表示矩阵初等变换的符号表示 第第j行变行变 第第j列变列变 第第i行变行变 第第i、j行变行变 第第i列变列变 第第i、j列变列变 资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值例例 利用矩阵的利用矩阵的行初等变换行初等变换解方程组解方程组 解解 将方程组的增广矩阵作行初等变换将方程组的增广矩阵作行初等变换 资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值续解续解 得同解方程组得同解方程组 原方程组的解为原方程组的解为 资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值1.2.2 初等矩阵及其性质初等矩阵及其性质定义定义由单位阵由单位阵E经过经过一次一次初等变换初等变换得到的矩阵称为得到的矩阵称为初等矩阵初等矩阵。初等矩阵有三种类型初等矩阵有三种类型:(1)对调对调E中的第中的第 i,j 行行,得到的矩阵记为得到的矩阵记为对调对调E中的第中的第 i,j 列列,得到的矩阵记得到的矩阵记为为资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值(2)用不为零的数用不为零的数乘以乘以E E中的第中的第i i行行,得到的矩阵记为得到的矩阵记为用不为零的数用不为零的数乘以乘以E中的第中的第 i 列列,得到的矩阵记为得到的矩阵记为资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值(3)以数以数乘以乘以E E中的第中的第i i行加到第行加到第j j行去行去,得到的矩阵记为得到的矩阵记为 以数以数乘以乘以E中的中的第第j列加到第列加到第i列去列去,得到的矩阵记为得到的矩阵记为注意！注意！结论：初等矩阵可逆结论：初等矩阵可逆,并且其逆矩阵也是同一类型的初等矩阵并且其逆矩阵也是同一类型的初等矩阵资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值性质性质1.5 用初等矩阵用初等矩阵左乘左乘某矩阵某矩阵,其结果等价于对该矩阵作其结果等价于对该矩阵作相应的初等相应的初等行变换行变换;用初等矩阵用初等矩阵右乘右乘某矩阵某矩阵,其结果等效于对该其结果等效于对该矩阵作相应的初等矩阵作相应的初等列变换列变换.例例 定理定理1.2 有限个初等矩阵的乘积必可逆有限个初等矩阵的乘积必可逆.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值用用初初等等矩矩阵阵左左乘乘(右右乘乘)一一个个矩矩阵阵,相相当当于于对对该该矩矩阵阵施施行行了了使使单单位位阵阵变变成成这这个个初初等等矩矩阵阵的的同同一一行行(列列)的初等变换的初等变换,即即（）（）（）（）（）（）资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值例例我们将第一行和第三行交换一下我们将第一行和第三行交换一下,可以用可以用而得到而得到.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值例例我们将第二列和第三列交换一下我们将第二列和第三列交换一下,可以用可以用而得到而得到.同学们可以验证一下同学们可以验证一下.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值验证验证 i行行 i行行 j行行 j行行资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值验证验证 i列列 j列列 i列列 j列列资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值（）（）（）（）用用初初等等矩矩阵阵左左乘乘(右右乘乘)一一个个矩矩阵阵,相相当当于于对对该该矩矩阵阵施施行行了了使使单单位位阵阵变变成成这这个个初初等等矩矩阵阵的的同同一行一行(列列)的初等变换的初等变换,即即 资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值例例思考思考:我们将第二列的我们将第二列的3倍加到第四列上倍加到第四列上,可以用？可以用？而得到而得到.同学们可以验证一下同学们可以验证一下.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值小结小结 矩阵矩阵A左乘一个初等矩阵左乘一个初等矩阵，相当于将，相当于将A作作相应的初等行变换相应的初等行变换；右乘一个初等矩阵右乘一个初等矩阵，相当于将，相当于将A作作相应的列初等变换相应的列初等变换。即如下式。即如下式子成立：子成立：（1）（2）（3）资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值证明证明定理定理1.3 可逆矩阵可逆矩阵A可以经过有限次初等可以经过有限次初等行行变换化为单位阵变换化为单位阵E，即可逆矩阵即可逆矩阵A与单位矩阵与单位矩阵E等价等价.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值定理定理1.4 为可逆方阵的充分必要条件是存在有限个初等方阵为可逆方阵的充分必要条件是存在有限个初等方阵证明：（必要性）证明：（必要性）因为为可逆方阵因为为可逆方阵,故存在故存在初等方阵初等方阵使得使得故故现在给出求逆阵的另一种方法现在给出求逆阵的另一种方法:因为因为原理:资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值由定理由定理1.41.4求逆矩阵的另一种方法求逆矩阵的另一种方法:实际做法实际做法:行原理:1.2.2 初等变换与逆矩阵初等变换与逆矩阵资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值例例 求下列矩阵的逆求下列矩阵的逆解解资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值课堂练习：课堂练习：1、利用矩阵的初等变换求下列矩阵的逆矩阵、利用矩阵的初等变换求下列矩阵的逆矩阵2、利用初等变换求解线性方程组、利用初等变换求解线性方程组资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值答案答案1、（1）不存在不存在（2）2、说明：此题只能利用说明：此题只能利用定理定理1.5来判断，较麻来判断，较麻烦！学习了行列式以烦！学习了行列式以后，判断就简单多了。后，判断就简单多了。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值同理可以用初等同理可以用初等列变换列变换求逆矩阵求逆矩阵注意注意：在这两种求逆矩阵的过程中，在这两种求逆矩阵的过程中，初等行变换和初等列变换初等行变换和初等列变换不能不能 混用混用。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值1（2）解答）解答 将（将（BE）作行初等变换）作行初等变换 所以所以 B 不可逆不可逆 返回返回 资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 习题一习题一P39 1.6P41 1.7(2)1.15(1)(3)预习预习 P16-P29 行列式的定义、性质及计算行列式的定义、性质及计算
