数学物理方法第六章数学物理方程的定解问题ppt课件.ppt

经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用一、数学物理方程一、数学物理方程(泛定方程泛定方程泛定方程泛定方程):):):):物理规律的数学表示物理规律的数学表示物理规律的数学表示物理规律的数学表示 物理现象物理现象 物理量物理量u 在空间和时间中的变在空间和时间中的变化规律，即物理量化规律，即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。之间的联系。数学语言描述 泛定方程泛定方程泛定方程泛定方程反映的是反映的是反映的是反映的是同一类物理现象的共性同一类物理现象的共性同一类物理现象的共性同一类物理现象的共性，和具，和具，和具，和具体条件无关。体条件无关。体条件无关。体条件无关。数学物理方程：从物理问题中导出的函数方程，特数学物理方程：从物理问题中导出的函数方程，特别是偏微分方程和积分方程。别是偏微分方程和积分方程。重点讨论重点讨论重点讨论重点讨论：二阶线性偏微分方程。：二阶线性偏微分方程。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程双曲型方程双曲型方程波动方程为代表波动方程为代表抛物型方程抛物型方程扩散方程为代表扩散方程为代表椭圆型方程椭圆型方程泊松方程为代表泊松方程为代表注意一维情况下的表达式注意一维情况下的表达式经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 1 边界问题-边界条件体现边界状态的数学方程称为边界条件体现边界状态的数学方程称为边界条件2 历史问题-初始条件体现历史状态的数学方程称为初始条件体现历史状态的数学方程称为初始条件二、定解条件二、定解条件三、定解问题三、定解问题在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在给定的区域里解出某个物理量在给定的区域里解出某个物理量u，即求即求u(x,y,z,t)。定解条件定解条件定解条件定解条件：它反映了问题的特殊性，即个性。它反映了问题的特殊性，即个性。泛定方程泛定方程泛定方程泛定方程：它反映了问题的共性。它反映了问题的共性。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用具体问题求解的一般过程：具体问题求解的一般过程：1 1、根据系统的内在规律列出泛定方程、根据系统的内在规律列出泛定方程客观规律客观规律2 2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和 初始条件初始条件求解所必须的已知条件求解所必须的已知条件3 3、求解方法、求解方法 行波法行波法、分离变量法分离变量法、积分变换法、格林、积分变换法、格林 函数法函数法经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用6.1 6.1 三类数理方程的导出三类数理方程的导出建模步骤：建模步骤：（1 1）明确要研究的物理量是什么？）明确要研究的物理量是什么？从所研究的系统中从所研究的系统中划出任一微元划出任一微元划出任一微元划出任一微元，分析邻近部，分析邻近部分与它的相互作用。分与它的相互作用。（2 2）研究物理量遵循哪些物理规律？）研究物理量遵循哪些物理规律？（3 3）按物理定律写出）按物理定律写出数理方程（泛定方程）。数理方程（泛定方程）。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 (一）均匀弦横振动方程一）均匀弦横振动方程一）均匀弦横振动方程一）均匀弦横振动方程 现象描述现象描述现象描述现象描述（如图）（如图）：沿：沿x轴绷紧的均匀柔软的细轴绷紧的均匀柔软的细弦，在平衡位置弦，在平衡位置(x轴轴)附近产生振幅极小的横向振动附近产生振幅极小的横向振动 目的：目的：目的：目的：建立与细弦上各点的振动规律相应的方程建立与细弦上各点的振动规律相应的方程 设定设定设定设定:(1)弦弦不振动时不振动时静止于静止于x轴轴;(2)用用u u(x x,t t)表示表示t时刻时刻弦上弦上任一点任一点任一点任一点x在在垂直于垂直于x轴轴方向上方向上的横向位移（的横向位移（偏离偏离）情况）情况 弦的横振动弦的横振动经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 选取不包括端点的一微元选取不包括端点的一微元x,x+dx弧弧B段段作为研究对象作为研究对象.研究对象研究对象:(4)(4)设单位长度上弦受力设单位长度上弦受力F(x,t)，线力密度为：，线力密度为：假设与近似：假设与近似：(1)(1)弦是柔软的弦是柔软的 (不抵抗弯曲不抵抗弯曲),),张力沿弦的切线方向张力沿弦的切线方向 (2)(2)振幅极小振幅极小,张力与水平方向的夹角张力与水平方向的夹角 1 1和和 2 2 很小，很小，仅考虑仅考虑 1 1和和 2 2的一阶小量，略去二阶小量的一阶小量，略去二阶小量 (3)(3)弦的重量与张力相比很小，可以忽略弦的重量与张力相比很小，可以忽略质量线密度质量线密度，u(x)u+duu0 1 2T2T1xx+dxFB经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用B段段弦的原长近似为弦的原长近似为dx.振动拉伸后：振动拉伸后：u(x)u+duu0 1 2T2T1xx+dxBFB段段的质量的质量：弦长弦长dx，质量线密度质量线密度，则，则B段段质量质量 m=dx物理规律：物理规律：用牛顿运动定律分析用牛顿运动定律分析B段段弦的受力及运动状态弦的受力及运动状态：牛顿运动定律：牛顿运动定律：经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用沿沿x-方向方向：弦横向振动不出现弦横向振动不出现x方向平移，方向平移，得得力平衡方程力平衡方程沿垂直于沿垂直于x-轴方向轴方向：由牛顿运动定律得由牛顿运动定律得运动方程运动方程在微小振动近似下：在微小振动近似下：由由（1）式，弦中各点的张力相等式，弦中各点的张力相等u(x)u+duu0 1 2T2T1xx+dxBF（1 1）（2 2）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用波动方程：波动方程：波速波速a受迫振动方程受迫振动方程单位质量弦所受单位质量弦所受外力，线力密度外力，线力密度令令一维波动方程一维波动方程经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用一维波动方程一维波动方程-非齐次方程非齐次方程-齐次方程齐次方程忽略重力和外力作用：忽略重力和外力作用：如考虑弦的重量：如考虑弦的重量：u(x)u+uu0 1 2T2T1xx+xBF沿沿x方向，不出现平移方向，不出现平移沿垂直于沿垂直于x轴方向轴方向（1 1）（2 2）因为：因为：因为：因为：所以有：所以有：所以有：所以有：讨论：讨论：经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用6.2 6.2 定定 解解 条条 件件 数学物理方程的定解数学物理方程的定解 在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在给定的区域里解出某个物理量给定的区域里解出某个物理量u，即求即求即求即求u u(x x,y y,z z,t t)。1 1 1 1 数学物理方程数学物理方程数学物理方程数学物理方程：不带有边界和初始条件的方程称为不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。泛定方程。它反映了问题的共性。它反映了问题的共性。2 2 2 2 定解条件定解条件定解条件定解条件：边界条件和初始条件的总体。边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的特殊性，即个性。它反映了问题的特殊性，即个性。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用初始时刻的温度分布：初始时刻的温度分布：B B、热传导方程的初始条件、热传导方程的初始条件C C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件A A、波动方程的初始条件波动方程的初始条件描述系统的初始状态描述系统的初始状态系统各点的初位移系统各点的初位移系统各点的初速度系统各点的初速度（一）（一）（一）（一）初始条件初始条件初始条件初始条件波动方程含有时间的二阶导数，所以需二个初始条件波动方程含有时间的二阶导数，所以需二个初始条件 热传导方程含有时间的一阶导数，所以需一个初始条件热传导方程含有时间的一阶导数，所以需一个初始条件此类导方程不含时间的导数，所以不需要有初始条件此类导方程不含时间的导数，所以不需要有初始条件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用和和 是空间坐标的函数是空间坐标的函数注意注意注意注意：初始条件给出系统在初始状态下物理量的分布，：初始条件给出系统在初始状态下物理量的分布，而不是某一位置处的情况。而不是某一位置处的情况。例例：一一根长为根长为l的弦，两端固定于的弦，两端固定于0和和l。在中点位置将弦沿着横向拉开距离在中点位置将弦沿着横向拉开距离h，如图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。如图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。l x l/2h解：解：初始时刻就是放手的那一瞬间，弦的形初始时刻就是放手的那一瞬间，弦的形状如图所示状如图所示,且弦处于静止状态，即有方程且弦处于静止状态，即有方程初始位移初始位移初始速度初始速度经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用（二）边界条件（二）边界条件（二）边界条件（二）边界条件 定义：定义：系统的物理量在边界上具有的情况。系统的物理量在边界上具有的情况。A.A.第一类（狄利克雷）边界条件第一类（狄利克雷）边界条件给出未知函数在给出未知函数在边界上的函数值边界上的函数值。例例2 2：两端固定的弦振动时的边界条件：两端固定的弦振动时的边界条件：和和常见的线性边界条件分为三类：常见的线性边界条件分为三类：经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例3：细杆热传导：细杆热传导 细杆在细杆在x=l端的温度端的温度随时间变化随时间变化,设温度变化规律为设温度变化规律为f(t),边边界的数理方程界的数理方程细杆细杆x=l端的温度处于恒温状态端的温度处于恒温状态,边界的数理方程边界的数理方程第一类边界条件的基本形式：第一类边界条件的基本形式：第一类边界条件的基本形式：第一类边界条件的基本形式：经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用B.B.第二类（诺伊曼）边界条件第二类（诺伊曼）边界条件给出未知函数在边界上的给出未知函数在边界上的法线方向的导数之值法线方向的导数之值。第二类边界条件的基本形式：第二类边界条件的基本形式：第二类边界条件的基本形式：第二类边界条件的基本形式：C.C.第三类（混合）边界条件第三类（混合）边界条件第三类边界条件的基本形式：第三类边界条件的基本形式：第三类边界条件的基本形式：第三类边界条件的基本形式：经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例 8 8 长为长为 l 的弦在的弦在 x=0 端固定，另一端端固定，另一端 x=l 自由，自由，且在初始时刻且在初始时刻 t=0=0 时处于水平状态，初始速度为时处于水平状态，初始速度为 x(l-x)，且已知弦作微小横振动，试写出此定解问题，且已知弦作微小横振动，试写出此定解问题.解解 （1 1）确定泛定方程：）确定泛定方程：取弦的水平位置为取弦的水平位置为轴，轴，为原点，为原点，弦作自由（无外力）横振动，所以泛定方程为齐次波动方程弦作自由（无外力）横振动，所以泛定方程为齐次波动方程 (2)(2)确定边界条件确定边界条件 对于弦的固定端，显然有对于弦的固定端，显然有 u(x,t)|x=0=0,ux(x,t)|x=l=0 另一端自由，意味着弦的张力为零则另一端自由，意味着弦的张力为零则 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用(3)(3)确定初始条件确定初始条件 根据题意，当根据题意，当时，弦处于水平状态，即初始位移为零时，弦处于水平状态，即初始位移为零 初始速度初始速度 综上讨论，故定解问题为综上讨论，故定解问题为