D6-3-非齐次方程及齐次边界条件的定解问题ppt课件.ppt

经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例 1 求解一端自由的半无限长杆的自由纵振动(1)(2)(4)(3)行波法例题行波法例题经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用(5)(6)其中：C =f1(0)f2(0)解：(1)式的通解为故由(2)式有由(3)式有即经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用解(5)、(6)式得(7)(8)以上二式均是在 0 x 的前提下推得的。因为 x+at总是大于、等于零的，故由(7)式有(9)至于 x at 就不一定是大于零了。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用(I)若 x at 0，则由(8)式，有(II)若x at 0，则(8)式不能用。但将(4)式代入通解，得 (10)令 x at 0，并对上式从 0 到 x 积分，得到即(11)经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用故(11)(7)(12)将(9)、(10)、(12)各式一并代入通解，得(13)经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例 2 求解定解问题(1)(3)(2)解 (1)式的通解为(4)故类似于上例解法一，由(2)、(4)式可得经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用(6)(5)从而有(7)且当 x at 0 时，有(8)经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用当 x at 0 时，(6)式不能用，但由边界条件(3)、(1)的通解(4)有(9)所以，此时由(9)式可得(5)(10)即即经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用将(7)、(8)、(10)各式一并代入(4)式，得经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用6.3 非齐次方程及非齐次边界条件非齐次方程及非齐次边界条件前面讨论的波动问题：除了在端点以外弦不受外力的作用，振动纯粹是由位移和初速度引起的。驱动力：方程非齐次 边界非齐次如何求解？补充补充 非齐次方程非齐次方程(1)设 y1(x),y2(x)是与式(1)相应的齐次方程 y+py+qy=0的线性无关的特解。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用(I)非齐次方程的通解是相应齐次方程的通解与非齐次方程的特解之和。(II)常系数变易法。将 C1 变为 u(x)，C2 变为 v(x)，即设式(1)的解具有下述形式：(2)将它代入式(1)，得到确定 u(x)与 v(x)的一个条件(3)确定两个函数需要两个条件，因此还可以附加一个确定经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用u(x)，v(x)的条件。为此，对式(2)两边求导，得为方便起见，第二个条件规定上式第二项为零，即(5)(4)将式(5)代入式(3)，并利用 y1(x)及 y2(x)是齐次方程的解，即有将式(5)和式(6)联立，即可求出：(6)(7)经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用式中(y1,y2)=y2 y1 y2 y1 为朗斯基行列式。用表示式(7)中的 x，再对由 0 到 x 积分，得到(8)将式(8)代入式(2)即得式(1)的通解为(9)经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例1 求解常微分方程的初值问题(11)(10)解：与式(10)相应的齐次方程 T n(t)+2 T(t)=0 的线性无关的特解为 cost 和 sint，朗斯基行列式为 代入式(9)便有(12)经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用将式(12)代入式(11)，可得 C1=n,C2=n/。再将 C1 及 C2 代入式(12)即得解。现在研究：一、有外力作用的情况 为了把外力作用引起的振动和初值引起的振动区别开，考虑纯强迫振动，即初值为零的情况。这样方程是非齐次的，边界条件和初始条件是齐次的。例：求两端固定弦的受迫振动的规律(6-3-1)(6-3-2)(6-3-3)经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用解：对于非齐次方程(1),如果直接用分离变量的方法,设特解 u(x,t)=X(x)T(t),不能把方程(1)化为两个常微分方程。但其对应的齐次方程在分离变量后得到本征函数系 ，可将u(x,t)及非齐次项f(x,t)对 展开，有(6-3-4)(6-3-5)(6-3-6)其中：把(4)和(5)代入(1)，得经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用求 u(x,t)的问题变为在初始条件(8)下解非齐次常微分方程。由常数变易法可求得由(6-3-3),(6-3-4)可得到初始条件再由 的正交性可得把(6-3-9)代入(6-3-4)式，即为所求。(6-3-9)(6-3-7)(6-3-8)经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例：求解下列定解问题解 方法一：用相应齐次方程的本征函数展开的方法设解为将非齐次项展开，这时只有一项，即将它们代入原方程及边界条件，即得经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用易解得因此，得解为经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用方法二：猜特解的方法，不难猜到，方程有特解设解为v(r,)应该满足如下定解问题经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用其一般解为由边界条件定出系数解得于是，求得经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用二、非齐次边界条件的处理定解问题：(6-3-10)(6-3-11)(6-3-12)思路：把非齐次边界条件齐次化(1)设：u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)w(x,t)满足u(x,t)的边界条件，即 w(0,t)=u1(t)w(l,t)=u2(t)于是 v(0,t)=0 v(l,t)=0 (6-3-13)(6-3-14)(6-3-15)经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用(6-3-16)(2)求解 v(x,t)的定解问题满足条件(6-3-14)的 w(x,t)很多,最简单的是设 w(x,t)为 x 的线性函数：w(x,t)=A(t)x+B(t),由条件(6-3-14)可得此类问题属于非齐次方程、齐次边界条件问题，已解决。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用(1)由于 w(x,t)的选取有一定的任意性，故用以上方法得到的解将随 w(x,t)的不同而不同。但可证明对定解问题(1)(6-3-10)(6-3-13)的解是唯一的；(2)这里涉及的实际上是第一类边值问题。对第二类、第三类边值问题也可齐次化。说明：经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例 长为 l、侧面绝热的均匀细杆的导热问题，它的 x=0端保持恒温 0，另一端 x=l 有面积热流量为 q0 的定常 热流进入。设杆的初始温度分布也是0，求杆上的温度变化。解：它的定解问题是(2)(1)(3)按照解的叠加原理，我们设法将这个 u(x,t)的定解问题分解为 v 的定解问题与 w(x,t)的定解问题之和，即经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用并使得 v 满足与 u(x,t)相同的方程和边界条件。于是，函 数 w(x,t)也满足与 u(x,t)相同的方程，而所满足的边界条件就是齐次的了。为使 v 的形式尽可能地简单，取它为 x 的线性函数(这必定满足原来的方程)v=Ax+B，其中常数 A,B 由边界条件 和 定出，即所以(4)经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用那么 w(x,t)=u(x,t)v 的定解问题则是既然 v 的定解问题是经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用因而用分离变量法直接求解，得到经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用但是，现在如取 v 为 x 的线性函数，则是无法满足边界条件(2)的。考虑到本问题的直接扰动源 u|x=l =A sin t，而且这是频率为 的振动，我们试取例 求解长为 l 的均匀杆的纵振动问题解：为将边界条件齐次化，设(2)(1)(3)经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用适当地选取函数 A(x)使 v(x,t)满足方程(1)和边界条件(2)：于是得到 A(x)的定解问题解之得到经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用于是，w(x,t)的定解问题是只要w 不是本征振动频率，用分离变量法容易求得此定解问题的解。(4)所以经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用(4)式和(5)式之和即是原定解问题的解。在物理上，(4)式表示由外力引起的稳恒振动。由于这个外力是在 t=0 时开始，在端点 x=l 突然加上去的而不是“绝热地”(即“准静态地”)加上去的，所以不可避免在同时激发起由(5)式描述的振动。后者的特点是，它包括一切本征频率(而非外力频率)的振动，在实际有阻尼的情况下将随时间衰减，故常称为瞬态过程。(5)