沪科版九年级数学上册第23章解直角三角形教学ppt课件.ppt

23.1 锐角的三角函数第23章 解直角三角形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（HK）教学课件1.锐角的三角函数第1课时 正切1.理解锐角的三角函数中正切的概念及其与现实生活的联系；（重点）2.能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进行简单计算；(重点)3.了解坡度、坡角的概念，能解决与坡度、坡角有关的简单实际问题.（难点）学习目标智者乐水，仁者乐山 图片欣赏导入新课导入新课思考：衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？想一想:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？铅铅直直高高度度水平宽度水平宽度 梯子与地面的夹角称为倾斜角 从梯子的顶端A到墙角C的距离，称为梯子的铅直高度 从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度ACB讲授新课讲授新课正切的定义一相关概念问题1:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？合作探究1ABCDEF倾斜角越大倾斜角越大梯子越陡梯子越陡问题2:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡甲甲乙乙问题3:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？当铅直高度与水平宽度的比相等时，梯子一样陡3m6mDEFC2mB4mA问题4:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡.3m2m6m5mABCDEF倾斜角越大，梯子越陡.若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的距离B1 C1,进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么办？你有什么锦囊妙计？A AC C1 1C C2 2B B2 2B1 1合作探究2两个直角三角形相似(1)RtAB1C1和RtAB2C2有什么关系?(3)如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3)呢?思考：由此你得出什么结论?AB1C2C1B2C3B3想一想相等相似三角形的对应边相等 在RtABC中,如果锐角A确定，那么A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做A的正切,记作tanA,即ABCA的对边A的邻边tanA=归纳总结结论：tanA的值越大，梯子越陡.定义中的几点说明：1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的，A是一个锐角.2.tanA是一个完整的符号，它表示A的正切.但BAC的正切表示为:tanBAC.1的正切表示为:tan1.3.tanA0 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角A的对边与邻边的比（注意顺序：）.4.tanA不表示“tan”乘以“A”.5.tanA的大小只与A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.ABC 锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定的值与它对应.解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；也可以大于1，甚至可逼近于无穷大.议一议例1：下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?解:甲梯中,6m乙8m5m甲13m 乙梯中,tantan,乙梯更陡.提示:在生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度.典例精析 1.在RtABC中，C=90，AC=7，BC=5，则 tan A=_，tan B=_练一练互余两锐角的正切值互为倒数互余两锐角的正切值互为倒数.2.下图中ACB=90，CDAB,垂足为D.指出A和B的对边、邻边.ABCD(1)tanA=AC()CD()(2)tanB=BC()CD()BCADBDAC4.如图,在RtABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,tanA的值（）A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定ABCC3.已知A,B为锐角，(1)若A=B,则tanA tanB;(2)若tanA=tanB,则A B.=正切通常也用来描述山坡的坡度.坡度、坡角二坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.w例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度i(即tan)就是:坡角：坡面与水平面的夹角称为坡角；坡度（坡比）：坡面的铅直高度与水平宽度的比称 为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切.100m60mi概念学习例2 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i13，坝高BC2米，则斜坡AB的长是()解析：ACB90，i13，B【方法总结】理解坡度的概念是解决与坡度有关的计算题的关键BC2米，AC3BC326(米)B C A(1)在RtABC中C=90，BC=5,AC=12,tanA=().(2)在RtABC中C=90，BC=5,AB=13,tanA=(),tanB=().(3)在RtABC中C=90，BC=5,tanA=,AC=().1.完成下列填空：当堂练习当堂练习2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=（）A.B.C.D.D这个图呢？CAB CAB3.如图,P是 的边 OA 上一点，点 P的坐标为 ，则 =_.M记得构造直角三角形哦！OP(12,5)Axy4.如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是55m,求山坡的坡度(结果精确到0.001m).ABC解：5.在等腰ABC中,AB=AC=13,BC=10,求tanB.提示:过点A作AD垂直于BC于点D.求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.ACBD解：如图，过点A作ADBC于点D，在RtABD中，易知BD=5，AD=12.6.在RtABC中,C=90,AB=15,tanA=,求AC和BC.4kACB153k7.如图,正方形ABCD的边长为4,点M在BC上,M、N两点关于对角线AC对称,若DM=1，求tanADN的值.ADBNMC解：由正方形的性质可知，ADN=DNC，BC=DC=4，M、N两点关于对角线AC对称,DM=1BN=DM=1.如图，在平面直角坐标系中，P(x,y)是第一象限内直线y=-x+6上的点,点A(5,0)，O是坐标原点，PAO 的面积为S.（1）求S与x的函数关系式；（2）当S=10时,求tanPAO 的值.M能力提升解：(1)过点P作PMOA于点M，（2）当S=10时,求tanPAO 的值.M解：又点P在直线y=-x+6上，x=2.AM=OA-OM=5-2=3.课堂小结课堂小结正切定 义坡 度A越大，tanA越大,梯子越陡与梯子倾斜程度的关系23.1 锐角的三角函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（HK）教学课件1.锐角的三角函数第2课时 正弦和余弦1.理解并掌握锐角正弦、余弦的定义，并进行相关计 算；（重点、难点）2.在直角三角形中求正弦值、余弦值.(重点)学习目标导入新课导入新课回顾与思考1.分别求出图中A，B的正切值.2.如图，在RtABC中，C90，当锐角A确定时，A的对边与邻边的比就随之确定.想一想，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？ABC邻边b对边a斜边c任意画RtABC 和RtABC，使得CC90，AA，那么 与 有什么关系你能试着分析一下吗？ABCABC讲授新课讲授新课正弦的定义一合作探究 在图中，由于CC90，AA，所以RtABCRtABC 这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与斜边的比也是一个固定值ABCABC A的对边与斜边的比叫做A的正弦（sine），记作sinA，即ABCcab对边斜边在图中A的对边记作aB的对边记作bC的对边记作c概念学习典例精析例1 如图，在RtABC中，B=90，AC=200，sinA=0.6，求BC的长.解：在RtABC中，即 BC=2000.6=120.ABC变式：在RtABC中,C=90,BC=20,求:ABC的周长和面积.解:在RtABC中,20ABC余弦的定义二合作探究任意画RtABC 和RtABC，使得CC90，AA，那么 与 有什么关系你能试着分析一下吗？ABCABCABCABC 在图中，由于CC90，AA，所以RtABCRtABC 这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的邻边与斜边的比也是一个固定值 A的邻边与斜边的比叫做A的余弦（cosine），记作cosA，即ABCcab对边斜边在图中A的对边记作aB的对边记作bC的对边记作c概念学习例2：如图:在等腰ABC中,AB=AC=5,BC=6.求:sinB,cosB,tanB.w老师提示:过点A作ADBC于D.556ABCD 如图，梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗？AsinA的值越大,梯子越 _ ;cosA的值越 _,梯子越陡.陡陡小小8 810106 68 810106 6A议一议例3：sin70，cos70，tan70的大小关系是()Atan70cos70sin70Bcos70tan70sin70 Csin70cos70tan70Dcos70sin70tan70解析：根据锐角三角函数的概念，知sin701，cos701，tan701.又cos70sin20，锐角的正弦值随着角的增大而增大，sin70sin20cos70.故选D.【方法总结】当角度在0A90间变化时，0sinAcosA0.当角度在45A90间变化时，tanA1.D如图：在Rt ABC中，C90，正弦余弦归纳总结定义中应该注意的几个问题:w1.sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定义的,A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).w2.sinA,cosA,tanA是一个完整的符号,分别表示A的正弦,余弦,正切(习惯省去“”号).w3.sinA,cosA,tanA 是一个比值.注意比的顺序.且sinA,cosA,tanA均0,无单位.w4.sinA,cosA,tanA的大小只与A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.w5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.例4：在RtABC中,C=90,如图,已知AC=3,AB=6,求sinA和cosB.BCA36想一想:我们发现sinA=cosB,其中有没有什么内有的关系有没有什么内有的关系?求:AB,sinB.10ABC变式：如图:在RtABC中,C=900,AC=10,思考:我们再次发现sinA=cosB,其中的内在联系你可否掌握?如图：在Rt ABC中，C90，归纳总结sinA=cosB1.如图,在RtABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值（）A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定2.已知A,B为锐角(1)若A=B,则sinA sinB;(2)若sinA=sinB,则A B.ABCC=当堂练习当堂练习3.如图,C=90CDAB.4.在上图中,若BD=6,CD=12.则cosA=_.ACBD()()()()()()CDBCACABADAC5.如图：P是的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），则cos =_,tan=_.xyo34P6.如图，在RtABC中，C90，AB=10，BC6，求sinA、cosA、tanA的值解：又ABC610变式1：如图，在RtABC中，C90，cosA ，求sinA、tanA的值解：ABC设AC=15k，则AB=17k所以变式2：如图，在RtABC中，C90，AC8，tanA ，求sinA、cosB的值ABC8解：7如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，求sinECM.解：设正方形ABCD的边长为4x，M是AD的中点，BE=3AE，AMDM2x,AEx,BE3x由勾股定理可知，AMEDBC7如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，求sinECM.AMEDBC由勾股定理逆定理可知，EMC为直角三角形.8如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO=5，sinBOA (1)求点B的坐标；(2)求cosBAO的值ABH解：(1)如图所示，作BHOA，垂足为H在RtOHB中，BO5，sinBOA ,BH=3，OH4，点B的坐标为(4，3)8如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO=5，sinBOA (2)求cosBAO的值ABH(2)OA10，OH4，AH6在RtAHB中，BH=3，在RtABC中=abtanA =课堂小结课堂小结23.1 锐角的三角函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（HK）教学课件2.30,45,60角的三角函数值第1课时 30,45,60角的三角函数值1.运用三角函数的概念，自主探索，求出30、45、60角的三角函数值；（重点）2.熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加 以运用.(难点)学习目标猜谜语一对双胞胎，一个高，一个胖，3个头,尖尖角,我们学习少不了 思考：你能说说伴随你九个学年的这副三角尺所具有的特点和功能吗？导入新课导入新课情境引入454590603090思考：你能用所写的知识，算出图中表示角度的三角函数值吗？讲授新课讲授新课30、45、60角的三角函数值一 两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值30604545合作探究设30所对的直角边长为a，那么斜边长为2a，另一条直角边长=30603060设两条直角边长为 a，则斜边长=4545 30、45、60角的正弦值、余弦值和正切值如下表：锐角a三角函数 30 45 60sin acos atan a归纳：1例1 求下列各式的值：提示：cos260表示(cos60)2，即(cos60)(cos60).解：cos260+sin260典例精析(1)cos260+sin260；(2)解：练一练计算：(1)sin30+cos45；解：原式=(2)sin230+cos230tan45.解：原式=1.通过特殊角的三角函数值，进一步巩固锐角三角函数之间的关系.（互余关系、倒数关系、相除关系、平方关系）2.观察特殊三角函数值表，你能得出三角函数的增减性规律吗？锐角三角函数的增减性：当角度在090之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 ；余弦值随着角度的增大（或减小）而 .增大（或减小）减小（或增大）两点反思小试牛刀小试牛刀:1.如果是等边三角形的一个内角，则cos=_.2.在ABC中，C=90，若B=2A,则tanA=_.3.若tanA=1，则锐角A=_.4.在RtABC中，sinB=,则B=_.5.sincos，则锐角取值范围（）A 30 45 B 0 45 C 45 60 D 0 90 B由特殊三角函数值确定锐角度数二填一填A=A=A=A=A=A=A=A=A=逆向思维逆向思维例2：如图，在RtABC中，C90，求A的度数解：在图中，ABC典例精析解：在图中，ABO =60.tan=，如图，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径，AO=OB，求 的度数.练一练特殊三角函数值的运用三例3 一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m).最高位置与最低位置的高度差约为0.34m.AOD OD=2.5m,ACOBD解:如图,根据题意可知,AC=2.5-2.1650.34(m).例4 已知为锐角，且tan是方程x2+2x-3=0的一个根，求2sin2+cos2-tan（+15）的值解：解方程x2+2x-3=0，得x1=1，x2=-3，tan0，tan=1，=45.2sin2+cos2-3 tan（+15）=2sin245+cos245-3 tan60例5 已知 ABC 中的 A 与 B 满足(1tanA)2|sinB|0，试判断 ABC 的形状解：(1tanA)2|sinB|0，tanA1，sinB A45，B60，C180456075，ABC 是锐角三角形练一练 已知：|tanB|(2 sinA )2 0，求A，B的度数.解：|tanB|(2 sinA )2 0，tanB ，sinA B60，A60.2.在ABC中，若 ，则C=（）A30 B60 C90 D120 1.tan(+20)1，锐角的度数应是（）A40 B30 C20 D10 DD当堂练习当堂练习3.已知cos ，锐角a取值范围（）A 60 90 B 0 60 C 30 90 D 0 30 A4.求下列各式的值：（1）12 sin30cos30（2）3tan30tan45+2sin60（3）解：（1）12 sin30cos30（2）3tan30tan45+2sin605.如图，在ABC中，A=30，求AB.ABCD解：过点C作CDAB于点D，A=30，6.在RtABC中，C90，求A、B的度数BAC解：由勾股定理 A=30B=90 A=9030=60 DABE1.6m20m45C7.升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为45（如图所示），若小明双眼离地面1.60m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？=20+1.6=21.6（m）30、45、60角的正弦值、余弦值和正切值如下表：锐角a三角函数304560sin acos atan a对于sin与tan，角度越大，函数值也越大；对于cos，角度越大，函数值越小.课堂小结课堂小结23.1 锐角的三角函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（HK）教学课件2.30，45，60角的三角函数值第2课时 互余两角的三角函数1.理解并掌握任意两个锐角互余时，正、余弦之间的关系；（重点）2.会利用互余的角进行正、余弦函数的互换，进行简单地三角变换或相应的计算.(难点)学习目标30、45、60角的正弦值、余弦值和正切值如下表：锐角a三角函数304560sin acos atan a导入新课导入新课回顾与思考 30、45、60角的正弦值、余弦值和正切值如下表：锐角a三角函数 30 45 60sin acos atan a1导入新课导入新课回顾与思考从上面的练习中我们不难发现：你还能从中发现什么规律呢？sin30=cos60 sin60=cos30 sin45=cos45规律：这些角的正（余）弦的值，分别等于它们余角的余（正）弦值.问题 这个规律是否适合任意一个锐角呢？你能够用所学的知识证明你的结论吗？提示：使用三角函数的定义证明.ACBcab讲授新课讲授新课互余两角的正弦、余弦值的关系一问题引导 在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这个角的对边,邻边和斜边之间的比值也随之确定.bABCacsinA=cosB,cosA=sinB.bABCacsinA=cosB,cosA=sinB.A+B=90，B=90A，即sinA=cosB=cos（90A），cosA=sinB=sin（90A）.试一试：你能用文字叙述你发现的结论吗？任意一个锐角的正（余）弦值，等于它的余角的余（正）弦值.归纳总结几何语言：A+B=90，sinA=cosB，cosA=sinB.例1 如图，在ABC中，C90，若sinB ，则cosA的值为()解析：利用互余两角的正弦和余弦之间的关系可快速帮助我们解决问题，但要注意的是该结果只对互余的两个角成立典例精析A例2 已知cos ，90，则cos()C解析：cos ，90，sincos .设是一个直角三角形中的锐角，且sin ，设b3k，c5k，则另一直角边的长度为a4k，cos=利用互为余角的锐角三角函数关系时，先判断两角关系，然后再寻求锐角三角函数之间的关系将角放到直角三角形中，画出图形，根据图形设出比例式，表示出各边方法总结下列式子中，不成立的是（）Asin35=cos55Bsin30+sin45=sin75C cos30=sin60Dsin260+cos260=1B练一练互余两个锐角的正切值的关系二bABCac 在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这个角的对边和邻边之间的比值也随之确定.结论：互余两个锐角的正切值互为倒数.例3 在ABC中，A，B是锐角，tanA，tanB是方程3x2tx30的两个根，则C_解析：tanA，tanB为方程3x2tx30的两根，A，B是锐角 tanAtanB1.AB90，C180AB90.90【方法总结】利用tanAtan(90A)1，可得A与B之间的关系，从而求出C的大小解：在ABC中，C=90，tanA=，tanB=.又 sinA=，cosB=sinA=.1.在ABC中，C=90，tanA=，sinA=,求tanB，cosB.当堂练习当堂练习2.计算：tan33tan34tan35tan55tan56tan57解：原式=(tan33 tan57)(tan34 tan56)(tan35 tan55)=111=1互余两角的三角函数任意一个锐角的正（余）弦值，等于它的余角的余（正）弦值.课堂小结课堂小结互余两个锐角的正切值互为倒数.