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第三章第三章 工业机器人静力工业机器人静力计算及动力学分析计算及动力学分析1本章将首先讨论与机器人速度和静力有关的雅可比矩阵，然后介绍工业机器人的静力学问题和动力学问题。机器人是一个多刚体系统，像刚体静力平衡一样，整个机器人系统在外载荷和关节驱动力矩(驱动力)作用下将取得静力平衡；也像刚体在外力作用下发生运动变化一样，整个机器人系统在关节驱动力矩(驱动力)作用下将发生运动变化。在本章中，我们不涉及较深的理论，将通过深入浅出的介绍使读者对工业机器人在实际作业中遇到的静力学问题和动力学问题有一个最基本的了解，也为以后“工业机器人控制”等章的学习打下一个基础。2 3-1工业机器人速度雅可比与速度分析 一、工业机器人速度雅可比 数学上雅可比矩阵(Jacobianmatrix)是一个多元函数的偏导矩阵。假设有六个函数，每个函数有六个变量，即3也可写成将其微分，得也可简写成式(3-3)中(6x6)矩阵叫 F/X 做雅可比矩阵4 在工业机器人速度分析和以后的静力分析中都将遇到类似的矩阵，我们称之为机器人雅可比矩阵，或简称雅可比。图3-1为二自由度平面关节机器人。端点位置x,y与关节1、2的关系为567 我们将J称为图3-1所示二自由度平面关节机器人的速度雅可比，它反映了关节空间微小运动d与手部作业空间微小位移dx的关系。若对式(3-7)进行运算，则2R机器人的雅可比写为 从J中元素的组成可见，J阵的值是l及2的函数。对于n自由度机器人的情况，关节变量可用广义关节变量，q表示q=q1q2.qnT，节为转动关节时，qi=i,当关节为移动关节时，qi=di,dq=dq1dq2dqnT反映了关节空间的微小运动，机器人末端在操作空间的位置和方位可用来端手爪的位姿X表示，它是关节变量占的函数,x=x(q),并且是一个6维列矢量,8反映了操作空间的微小运动，它由机器人末端微小线位移和微小角位移(微小转动)组成。因此，式(3-8)可写为式中J(q)是6n的偏导数矩阵，称为n自由度机器人速度雅可比矩阵。它的第i行第j列元素为9二、工业机器人速度分析对式(3-10)左、右两边各除以dt得或10 对于图3-1所示2R机器人来说，J(q)是式(3-9)所示的22矩阵。若令J1、J2分别为式(3-9)所示雅可比的第一列矢量和第二列矢量，则式(3-13)可写成.式中右边第一项表示仅由第一个关节运动引起的端点速度；右边第二项表示仅由第二个关节运动引起的端点速度，总的端点速度为这两个速度矢量的合成。因此，机器人速度雅可比的每一列表示其它关节不动而某一关节运动产生的端点速度。图3-1所示二自由度机器人手部速度为11假如已知关节上 1及 2是时间的函数 1=f1(t),2=f2(t),则可求出该机器人手部在某一时刻的速度y=r(Z),即手部瞬时速度。反之,假如给定机器人手部速度,可由式(3-13)解出相应的关节速度:12式中：J-l称为机器人逆速度雅可比。式(3-14)是一个很重要的关系式。例如，我们希望工业机器人手部在空间按规定的速度进行作业，那么用式(3-14)可以计算出沿路径上每一瞬时相应的关节速度。但是，一般来说，求逆速度雅可比J-1是比较困难的，有时还会出现奇异解，就无法解算关节速度。通常我们可以看到机器人逆速度雅可比J-l出现奇异解的两种情况：(1)工作域边界上奇异。当机器人臂全部伸展开或全部折回而使手部处于机器人工作域的边界上或边界附近时，出现逆雅可比奇异，这时机器人相应的形位叫做奇异形位。(2)工作域内部奇异。奇异并不一定发生在工作域边界上，也可以是由两个或更多个关节轴线重合所引起的。13当机器人处在奇异形位时，就会产生退化现象，丧失一个或更多的自由度。这意味着在空间某个方向(或子域)上，不管机器人关节速度怎样选择手部也不可能实现移动。例3-1 如图3-2所示二自由度机械手，手部沿固定坐标系X0轴正向以1.0m/s速度移动，杆长为l1=l2=0.5m。设在某瞬时1=，2=-，求相应瞬时的关节速度。1415 奇异讨论：从式(3-15)知，当l1l2s2=0时，式(3-15)无解。当 即2=0或2=180。时,二自由度机器人逆速度雅可比J-1奇异。这时，该机器人二臂完全伸直，或完全折回，机器人处于奇异形位。在这种奇异形位下，手部正好处在工作域的边界上,手部只能沿着一个方向(即与臂垂直的方向)运动，不能沿其它方向运动，退化了一个自由度。对于在三维空间中作业的一般六自由度工业机器人的情况，机器人速度雅可比J是一个6X6矩阵，在和q分别是61列阵，即v(6x1)=J(q)(6x6)q(6x1)。手部速度矢量y是由31线速度矢量和3X1角速度矢量组合而成的6维列矢量。关节速度矢量生是由6个关节速度组合；而成的6维列矢量。雅可比矩阵J的前三行代表手部线速度与关节速度的传递比；后三行代表手部角速度与关节速度的传递比。而雅可比矩阵J的每一列则代表相应关节速度qi对手部线速度和角速度的传递比。16 3-2工业机器人力雅可比与静力计算 机器人作业时与外界环境的接触会在机器人与环境之间引起相互的作用力和力矩。机器辈人各关节的驱动装置提供关节力矩(或力)，通过连杆传递到末端操作器，克服外界作用力和力摩矩5各关节的驱动力矩(或力)与末端操作器施加的力(广义力，包括力和力矩)之间的关系是机，因器人操作臂力控制的基础。本节讨论操作臂在静止状态下力的平衡关系。我们假定各关节“锁住”，机器人成为一个机构。这种“锁定用”的关节力矩与手部所支持的载荷或受到外界环境作用的力取得静力平衡。求解这种“锁定用”的关节力矩，或求解在已知驱动力矩作用下手部的输卡出力就是对机器人操作臂的静力计算。一、操作臂中的静力胁这里以操作臂中单个杆件为例分析受力情况，如图3-3所示，杆件i通过关节i和i+1别与杆件i-1和i+1相连接,两个坐标系i-1和i分别如图所示。171819 假如己却才卡界环境对机器人最末杆的作用力和力矩，那么可以由最后一个连杆向零连杆(机座)依次递推，从而计算出每个连杆上的受力情况。为了便于去示机器人手部端点的力和力矩(简称为端点力F)，可将fn,n+1和nn,n+l合并写一个6维矢量：各关节驱动器驱动力或力矩可写成一个n维矢量的形式，即20式中：n关节的个数 关节力矩（或关节力）矢量，简称广义关 节力矩,对于转动关节,i表示关节驱动力矩，对于移动关节,i表示关节驱动力。二、机器人力雅可比 假定关节无摩擦，并忽略各杆件的重力，则广义关节力矩与机器人手部端点力F的关系可用下式描述：=JT F (3-20)式中JT为n6阶机器人力雅可比矩阵或力雅可比。2122 上式可用下述虚功原理证明：证明 考虑各个关节的虚位移为qi，末端操作器的虚位移为x，如图3-4所示。式中，d=dx dydzT和=x y z分别对应于末端操作器的虚线位移；q为由各关节虚位移在q组成的机器人关节虚位移矢量。假设发生上述虚位移时，各关节力矩为i(I=1,2,n)，环境作用在机器人手部端点上的力和力矩分别为-fn,n+1和nn,n+l。由上述力和力矩所做的虚功可以由下式求出:2324 三、机器人静力计算的两类 问题i从操作臂手部端点力F与广义关节力矩之间的关系式=JTF可知，操作臂静力计算可分为两类问题：(1)已知外界环境对机器人手部作用力 (即手部端点力F=-),求相应的满足静力1平衡条件的关节驱动力矩。(2)已知关节驱动力矩，确定机器人手部对外界环境的作用力F或负荷的质量。这类问题是第一类问题的逆解。这时 F=(JT)-1 但是，由于机器人的自由度可能不是6，比如扫6，力雅可比短阵就有可能不是一个方阵，则JT就没有逆解。所以，对这类问题的求解就困难得多，在一般情况下不一定能得到唯一的解。如果F的维数比的维数低，且J是满秩的话，则可利用最小二乘法求得F的估值。25 例 3-2 由图3-5所示的一个二自由度平面关节机械手，已知手部端点力F=FxFyT，求相应于端点力万的关节力矩（不考虑摩擦）。26273-3工业机器人动力学分析随着工业机器人向重载、高速、高精度以及智能化方向的发展，对工业机器人设计和控制都提出了新的要求。特别是在控制方面，机器人的动态实时控制是机器人发展的必然要求。因此，需要对机器人的动力学进行分析。机器人是一个非线性的复杂的动力学系统。动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间。因此，简化解的过程，最大限度地减少工业机器人动力学在线计算的时间是一个受到关注的研究课题。动力学研究物体的运动和作用力之间的关系。机器人动力学问题有两类：(1)给出已知的轨迹点上的、及,即机器人关节位置、速度和加速度，求相应的关节力矩向量。这对实现机器人动态控制是相当有用的。(2)已知关节驱动力矩，求机器人系统相应的各瞬时的运动。也就是说，给出关节力矩向28量,求机器人所产生的运动 、及 。这对模拟机器人的运动是非常有用的。分析模拟机器人动力学特性的方法很多，有拉格朗日(Lagrange)方法，牛顿-欧拉(NewtonEuler)方法，高斯(Gauss)方法，凯恩(Kane)方法等。拉格朗日方法不仅能以最简单的形式求得非常复杂的系统动力学方程，而且具有显式结构，物理意义比较明确，对理解机器人动力学比较方便。因此，本节只介绍拉格朗日方法，而且用简单实例进行分析。一、拉格朗日方程 1.拉格朗日函数 拉格朗日函数L的定义是一个机械系统的动能Ek和势能Ep之差,即 L=Ek一Ep (3-24)令，qi(i=1,2,.n)是使系统具有完全确定位置的广义关节变量，qi是相应的广义关节速度。由于系统动能Ek是 qi和 i的函数，系统势能Eq和qi的函数，因此拉格朗日函数也是qi和 i 的函数。292.拉格朗日方程系统的拉格朗日方程为式中,Fi称为关节广义驱动力。如果是移动关节,则Fi为驱动力,如果是转动关节,则Fi为驱动力矩。3.用拉格朗日法建立机器人动力学方程的步骤：(1)选取坐标系,选定完全而且独立的广义关节变量qi,i=1,2,.n。(2)选定相应的关节上的广义力Fi：当qi是位移变量时,则Fi为力,当qi正是角度变量时,则Fi为力矩。(3)求出机器人各构件的动能和势能,构造拉格朗日函数。(4)代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程。30 二、二自由度平面关节机器人动力学方程 1.广义关节变量及广义力的选定 如图3-6所示，选取笛卡尔坐标系。连杆1和连杆2的关节变量分别为转角l和2，相应的关节1和关节2的力矩是r1和r2。连杆1和连杆2的质量分别是阴l和刑2，杆长分别为1和2,质心分别在kl和k2处，离关节中心的距离分别为p1和p2。因此，杆1质心k1的位置坐标为。杆1质心k1速度平方为杆2质心k2速度平方为31323334 式(3-26)、(3-27)及式(3-28)、(3-29)分别表示了关节驱动力矩与关节位移、速度、加速度之间的关系，即力和运动之间的关系,称为图3-6所示二自由度机器人的动力学方程。对其进行分析可知：(1)含有 l或 2的项表示由于加速度引起的关节力矩项，其中：含有D11和D22的项分别表示由于关节1加速度和关节2加速度引起的惯性力矩项;含有Dl2的项表示关节2的加速度对关节1的搞合惯性力矩项：含有D2l的项表示关节1的加速度对关节2的稿合惯性力矩项。(2)含有 12和 22的项表示由于向心力引起的关节力矩项，其中：含有D122的项表示关节2速度引起的向心力对关节l的藕合力矩项；含有D211的项表示关节1速度引起的向心力对关节2的藕合力矩项。35(3)含有 1、2的项表示由于哥氏力引起的关节力矩项,其中：含有D112的项表示哥氏力对关节1的精合力短项；含有D212的项表示哥氏力对关节2的精合力矩项。(4)只含关节变量1、2的项表示重力引起的关节力矩项。其中：含有Dl的项表示连杆1、连杆2的质量对关节1引起的重力矩项；含有D2的项表示连杆2的质量对关节2引起的重力矩项。从上面推导可以看出，很简单的二自由度平面关节机器人其动力学方程已经很复杂了，包含很多因素，些因素都在影响机器人的切力学特性。36对于复杂一些的多自由度机器人，动力学方更庞杂了，推导过程也更为复杂。不仅如此，对机器人实时控制也带来不小的麻烦。通常，有一些儒化问题的方法：(1)当杆件质量不很大，重量很轻时，动力学方程中的重力矩项可以省略；(2)当关节速度不很大，机器人不是高速机器人时，含有 12 2 2 1 2等项可以省略；(3)当关节加速度不很大，也就是关节电机的升降速不是很突然时，那么含 1 2的项有可能给予省略。当然,关节加速度的减少，会引起速度升降的时间增加，延长了机器人作业循环的时间。37三、关节空间和操作空间动力学1.关节空间和操作空间n个自由度操作臂的末端位姿X由n个关节变量所决定,这n个关节变量也叫做n维关节矢量q所有关节矢量q构成了关节空间。而末端操作器的作业是在直角坐标空间中进行的，即操作臂末端位姿X是在直角坐标空间中描述的，因此把这个空间叫做操作空间。运动学方程X=X(q)就是关节空间向操作空间的映射，而运动学逆解则是由映射求其在关节空间中的原像。在关节空间和操作空间中操作臂动力学方程有不同的表示形式，并且两者之间存在着一定的对应关系。382.关节空间动力学方程将式(3-26)、(3-27)及式(3-28)、(3-29)写成矩阵形式，则39 式(3-30)就是操作臂在关节空间中的动力学方程的一般结构形式，它反映了关节力矩与关节变量、速度、加速度之间的函数关系。对于n个关节的操作臂，D(q)是nn的正定对称矩阵,是q的函数，称为操作臂的惯性矩阵；H(q,)是n1的离心力和哥氏力矢量；G(q)是n1的重力矢量，与操作臂的形位守有关。3.操作空间动力学方程 与关节空间动力学方程相对应，在笛卡尔操作空间中，可以用直角坐标变量即末端操作器位姿的矢量X来表示机器人动力学方程。因此，操作力F与末端加速度X之间的关系可表示为40式中Mx(q)Ux(q,)和Gx(q)分别为操作空间中的惯性矩阵、离心力和哥氏力矢量、重力矢量,它们都是在操作空间中表示的；F是广义操作力矢量。关节空间动力学方程和操作空间动力学方程之间的对应关系可以通过广义操作力F与广义关节力之间的关系和操作空间与关节空间之间的速度、加速度的关系求出。41