变化率与导数--数学-详解课件.ppt

1.1 变化率与导数变化率与导数陈 琦1为什么同样从室温变化到为什么同样从室温变化到100摄氏度，青蛙却有摄氏度，青蛙却有 不不同的反应呢？同的反应呢？2时间时间 x(年年)200020022006人均人均GDP y(美元美元)85611002010这是我国的某年的人均收入：这是我国的某年的人均收入：如何判断我国经济发展如何判断我国经济发展情况呢？情况呢？3研究丰富多彩的变化率问题研究丰富多彩的变化率问题 平均变化率平均变化率 瞬时变化率瞬时变化率问题一：气球膨胀率问题一：气球膨胀率增加单位体积，增加单位体积，半径的改变量半径的改变量问题二：高台跳水问题二：高台跳水平均变化率平均变化率 我们把这个式子称为函数 从 到 的 平均变化率（average rate of change).习惯上用 表示 ，即 ,类似的 .于是，平均变化率可以表示为 .平均变化率的几何意义平均变化率的几何意义 对任意函数对任意函数 ，做过其上任意两点的割线，做过其上任意两点的割线.不妨以不妨以 为例为例.（几何画板演示）（几何画板演示）研究丰富多彩的变化率问题研究丰富多彩的变化率问题 平均变化率平均变化率 瞬时变化率瞬时变化率 求t=2s时的瞬时速度，先考察t=2附近的情况.在t=2附近任取一个时刻 .11取较小的取较小的 值代入计算值代入计算 当当 t 趋近于趋近于0时时,即无论即无论 t 从小于从小于2的一边的一边,还是从大于还是从大于2的一边趋近于的一边趋近于2时时,平均速度都趋近与一个确定的值平均速度都趋近与一个确定的值 13.1.从物理的角度看从物理的角度看,时间间隔时间间隔|t|无限变小时无限变小时,平均速平均速度就无限趋近于度就无限趋近于 t=2时的瞬时速度时的瞬时速度.因此因此,运动员在运动员在 t=2 时的瞬时速度是时的瞬时速度是 13.1m/s.思考思考：1、任取某一时刻、任取某一时刻t0，其瞬时速度怎样表示？其瞬时速度怎样表示？2、函数、函数f(x)在在x0处的瞬时变化率怎样表示？处的瞬时变化率怎样表示？一般的，函数一般的，函数 y=f(x)在在 x=x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是称为函数称为函数 y=f(x)在在 x=x0 处的处的导数导数,记作记作或或 ,即即 导数的定义导数的定义:导数的几何意义导数的几何意义:（几何画板演示）（几何画板演示）函数函数 在在 处的导数就是切线的处的导数就是切线的斜率斜率 ，即，即 例例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热需要对原油进行冷却和加热.如果第如果第 x h时时,原油的温度原油的温度(单单位位:)为为 f(x)=x2 7x+15(0 x8).计算第计算第2h和第和第6h,原油温度的瞬时变化率原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义并说明它们的意义.解解:在第在第2h和第和第6h时时,原油温度的瞬时变化率就是原油温度的瞬时变化率就是和和根据导数的定义根据导数的定义,所以所以,同理可得同理可得 在第在第2h和第和第6h时时,原油温度的瞬时变化率分别为原油温度的瞬时变化率分别为3和和5.它说它说明在第明在第2h附近附近,原油温度大约以原油温度大约以3 /h的速率下降的速率下降;在第在第6h附近附近,原油温度大约以原油温度大约以5 /h的速率上升的速率上升.一差一差二比二比三极限三极限解法一：解法一：一差二比三极限一差二比三极限解法二解法二：利用利用导数的几何意义导数的几何意义课堂小结：课堂小结：平均变化率 从 到 的 平均变化率割线的斜率导数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率切线的斜率一差一差二比二比三极限三极限习题1.1：A组1、2题B组1、3题作业