材料力学梁的应力课件.ppt

建筑力学建筑力学第第第第4 4章章章章 弯曲应力弯曲应力弯曲应力弯曲应力45 概述概述 46 弯曲正应力弯曲正应力47 弯曲切应力弯曲切应力48 梁的强度计算梁的强度计算49 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施410 弯曲中心弯曲中心45 概述概述 一、平面弯曲一、平面弯曲纵向对称面纵向对称面P1P2PPaaABFsMxx二、纯弯曲二、纯弯曲CD 图示梁图示梁 AB 段横截面上段横截面上只有弯矩，而无剪力，该段只有弯矩，而无剪力，该段梁的弯曲称为梁的弯曲称为纯弯曲纯弯曲纯弯曲纯弯曲。C A与与BD 段横截面上即段横截面上即有弯矩，又有剪力，该两段有弯矩，又有剪力，该两段梁的弯曲称为梁的弯曲称为横力弯曲横力弯曲横力弯曲横力弯曲。46 弯曲正应力弯曲正应力一、纯弯曲时梁的正应力一、纯弯曲时梁的正应力 实验观察实验观察abcdMMbdac 纵向直线代表一纵向直线代表一层纤维，变形后为平行层纤维，变形后为平行曲线。每层变成曲面，曲线。每层变成曲面，同层纤维变形相同。同层纤维变形相同。下层纤维受拉伸长，下层纤维受拉伸长，上层纤维受压缩短；层上层纤维受压缩短；层间变形连续，中间必有间变形连续，中间必有一层即不伸长也不缩短，一层即不伸长也不缩短，称为称为中性层中性层中性层中性层。横线代表一横截面，变形后仍为直线，但转过一个角横线代表一横截面，变形后仍为直线，但转过一个角度，且仍与纵线正交。横截面与中性层的交线称为度，且仍与纵线正交。横截面与中性层的交线称为中性轴中性轴中性轴中性轴。基本假设基本假设中性层中性层纵向对称面纵向对称面中性轴中性轴 平面假设平面假设：梁的横截面变形后仍为平面，且与梁变形：梁的横截面变形后仍为平面，且与梁变形后的轴线正交；后的轴线正交；层间纤维无挤压。层间纤维无挤压。变形几何关系变形几何关系 取一微段取一微段dxdxabcdo1k1k2o2oy变形前变形前变形后变形后 变形物理关系变形物理关系yyxzdAz 其中其中y 为横截面上求应力那点相对中性轴的坐标，为横截面上求应力那点相对中性轴的坐标，为为中性层变形后的曲率半径。欲求中性层变形后的曲率半径。欲求横截面上一点应力必须知道横截面上一点应力必须知道中性轴的位置和中性轴的位置和中性层的曲率半径。中性层的曲率半径。静力关系静力关系 横截面正应力满足如下关系：横截面正应力满足如下关系：yyxzdAz由：由：必有必有 Sz=0，z 轴过截面形心。轴过截面形心。由：由：C必有必有 Syz=0，z 轴为形心主轴。轴为形心主轴。yyxzdAzC由：由：其中其中EIz 表征杆件抵抗弯曲变形的能力，称为表征杆件抵抗弯曲变形的能力，称为抗弯刚度抗弯刚度抗弯刚度抗弯刚度。于是得：于是得：yyxzdAzC 由该式可知横截面上各点正应由该式可知横截面上各点正应力大小与各点到中性轴的距离成正力大小与各点到中性轴的距离成正比，中性轴上各点正应力为零，离比，中性轴上各点正应力为零，离中性轴最远点正应力最大。中性轴最远点正应力最大。zzCC 中性轴中性轴 z 为横截面对称轴的梁为横截面对称轴的梁(图图a，b)其横截其横截面上最大拉应力和最大压应力的值相等；中性轴面上最大拉应力和最大压应力的值相等；中性轴 z 不是横截面对称轴的梁不是横截面对称轴的梁(图图c)，其横截面上的最大其横截面上的最大拉应力和最大压应力的值不相等。拉应力和最大压应力的值不相等。dzyo o(b)yc,max yt,maxyz bd d1 1 hOd d2(c)hbzyo(a)中性轴中性轴z为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、压应力的值压应力的值 max为为式中，式中，Wz为截面的几何性质，称为为截面的几何性质，称为弯曲截面系数弯曲截面系数(section modulus in bending)，其单位为其单位为m3。hbzyodzyo o 中性轴中性轴 z 不是横截面的对称轴时不是横截面的对称轴时(参见图参见图c)，其横其横截面上最大拉应力值和最大压应力值为截面上最大拉应力值和最大压应力值为简单截面对于形心轴的惯性矩和弯曲截面系数简单截面对于形心轴的惯性矩和弯曲截面系数(1)矩形截面矩形截面思考思考:一长边宽度为一长边宽度为 b，高为高为 h 的平行四边形，它对于的平行四边形，它对于形心轴形心轴 z 的惯性矩是否也是的惯性矩是否也是？(2)圆截面圆截面在等直圆杆扭转问题在等直圆杆扭转问题(3-4)中已求得：中已求得：zoyyzdA而由图可见，而由图可见，2=y2+z2,从而从而知知而弯曲截面系数为而弯曲截面系数为 根据对称性可知，原截面对于形心轴根据对称性可知，原截面对于形心轴z和和y的惯的惯性矩性矩Iz和和Iy是相等的，是相等的，Iz=Iy，于是得于是得zoyyzdA(3)空心圆截面空心圆截面 由于空心圆截面的面积由于空心圆截面的面积等于大圆的面积等于大圆的面积AD减减去小圆去小圆(即空心部分即空心部分)的面积的面积Ad故有故有式中，式中，。dOyzD根据对称性可知：根据对称性可知：思考：思考：空心圆截面对于形心轴的惯性矩就等于大圆对空心圆截面对于形心轴的惯性矩就等于大圆对形心轴的惯性矩减去小圆对于形心轴的惯性矩；形心轴的惯性矩减去小圆对于形心轴的惯性矩；但空心圆截面的弯曲截面系数并不等于大圆和小但空心圆截面的弯曲截面系数并不等于大圆和小圆的弯曲截面系数之差，为什么？圆的弯曲截面系数之差，为什么？而空心圆截面的弯曲截面系数为而空心圆截面的弯曲截面系数为dOyzD型钢截面及其几何性质：参见型钢表型钢截面及其几何性质：参见型钢表 需要注意的是，型钢规格表中所示的需要注意的是，型钢规格表中所示的x轴是我轴是我们所标示的们所标示的z轴。轴。令令上式可改写为上式可改写为Wz 称为称为抗弯截面模量，抗弯截面模量，抗弯截面模量，抗弯截面模量，单位：单位：m3。上述分析是在平面假设下建立的，对于横力弯曲，由于上述分析是在平面假设下建立的，对于横力弯曲，由于横截面上还有剪力，变形后截面会发生翘曲，平面假设不再横截面上还有剪力，变形后截面会发生翘曲，平面假设不再成立。当截面尺寸与梁的跨度相比很小时，翘曲很小，仍可成立。当截面尺寸与梁的跨度相比很小时，翘曲很小，仍可按平面假设分析，上面公式仍可使用。按平面假设分析，上面公式仍可使用。矩形截面矩形截面圆形截面圆形截面环形截面环形截面CzCzbdh/2 h/2zdCD例例1 求图示矩形截面梁求图示矩形截面梁D 截面上截面上a、b、c 三点的正应力。三点的正应力。ABCD2m2m2mF=12kNFAFBzcab562 3(cm)解：解：取取AD，AFADFsMD(上面受拉上面受拉)(拉拉)(拉拉)例例2求图示求图示T 形截面梁的最大拉应力和最大压应力。形截面梁的最大拉应力和最大压应力。ABCD0.3m0.3m0.2mP=20kNP=50kNC301103080解：解：画梁的弯矩图；画梁的弯矩图；5.5kN.m4kN.mzy2y1确定中性轴的位置。确定中性轴的位置。ABCD0.3m0.3m0.2mP=20kNP=50kNC301103080 5.5kN.m4kN.mzy2y1截面形心主惯性矩：截面形心主惯性矩：ABCD0.3m0.3m0.2mP=20kNP=50kNC301103080 5.5kN.m4kN.mzy2y1 D 截面下边受拉，上边受压；截面下边受拉，上边受压；B 截面上边受拉，下边受截面上边受拉，下边受压。比较可知最大压应力在压。比较可知最大压应力在D 截面的上边缘，而最大拉应截面的上边缘，而最大拉应力可能发生在力可能发生在D 截面的下边缘，也可能发生在截面的下边缘，也可能发生在B 截面的上边截面的上边缘。缘。ABCD0.3m0.3m0.2mP=20kNP=50kNC301103080 5.5kN.m4kN.mzy2y1ABCD0.3m0.3m0.2mP=20kNP=50kNC301103080 5.5kN.m4kN.mzy2y1 最大拉应力发生在最大拉应力发生在B 截面的上边缘，最大压应力发生在截面的上边缘，最大压应力发生在D 截面的上边缘。分别为截面的上边缘。分别为例例3 图示矩图示矩 形截面梁，形截面梁，C 截面处有一直径截面处有一直径d=40mm的圆孔，的圆孔，试求该截面的最大正应力。试求该截面的最大正应力。ABC2m2m8040 40 40解：解：47 弯曲切应力弯曲切应力 横力弯曲时，梁横截面即有弯矩，也有剪力，相应也必横力弯曲时，梁横截面即有弯矩，也有剪力，相应也必有切应力。有切应力。一、矩形截面切应力一、矩形截面切应力基本假设：基本假设：截面上各点切应力与剪力同向；截面上各点切应力与剪力同向；距中性轴等距离各点的切应力相距中性轴等距离各点的切应力相等。等。在梁上截一微段在梁上截一微段dx，再在微段上用再在微段上用水平截面水平截面mn 截一微元。截一微元。FsFsMM+dM1122dxm n1dx2mnzyh/212yy1bdAFN1FN212dxmnyxz平衡条件：平衡条件：yy1bdAN1N212dxmnyxz同理得同理得因因于是得于是得 式中式中 为截面求应力那点到截为截面求应力那点到截面边缘所围面积对中性轴的静矩。面边缘所围面积对中性轴的静矩。C*byy*h/2 h/2zmax 由此式可知，横截面各点切应力是各点坐标由此式可知，横截面各点切应力是各点坐标y 的的2次函数，次函数，切应力的大小沿截面高度呈抛物线分布。中性轴上切应力最切应力的大小沿截面高度呈抛物线分布。中性轴上切应力最大，上下边缘切应力为零。大，上下边缘切应力为零。二、其它截面切应力二、其它截面切应力工字型截面腹板的切应力工字型截面腹板的切应力翼板翼板腹板腹板bzb1max式中式中b1为工字型腹板的厚度。为工字型腹板的厚度。bb1zmax 为中性轴一側截面对中性为中性轴一側截面对中性轴的静矩。轴的静矩。T型截面型截面maxzmax圆形截面圆形截面环形截面环形截面maxzz例例4 图示梁由三块板胶合而成，横截面尺寸如图所示，求图示梁由三块板胶合而成，横截面尺寸如图所示，求截面的最大切应力和胶缝的切应力。截面的最大切应力和胶缝的切应力。AB2m2m6040 40 40解：解：FA=6kNFB=6kN48 梁的强度计算梁的强度计算 梁要安全工作，必须同时满足正应力强度条件和切应力梁要安全工作，必须同时满足正应力强度条件和切应力强度条件。强度条件。正应力强度条件：正应力强度条件：对于等截面梁对于等截面梁 切应力强度条件切应力强度条件：简单截面的最大切应力可用简化公式计算，即简单截面的最大切应力可用简化公式计算，即矩形截面矩形截面圆形截面圆形截面环形截面环形截面 根据强度条件可进行下述工程计算：根据强度条件可进行下述工程计算：强度校核；强度校核；设计截面尺寸；设计截面尺寸；确定容许荷载。确定容许荷载。利用强度条件进行工程计算时，需首先确定梁的危险截利用强度条件进行工程计算时，需首先确定梁的危险截面。面。梁的最大正应力发生在弯矩最大截面离中性轴最远点梁的最大正应力发生在弯矩最大截面离中性轴最远点处；处；梁的最大切应力发生在剪力最大截面的中性轴上。梁的最大切应力发生在剪力最大截面的中性轴上。一般来说，梁的最大正应力与最大切应力并不在同一截一般来说，梁的最大正应力与最大切应力并不在同一截面上，弯矩图上最大弯矩对应于梁的最大正应力所在截面，面上，弯矩图上最大弯矩对应于梁的最大正应力所在截面，剪力图上最大剪力对应于梁的最大切应力所在截面。剪力图上最大剪力对应于梁的最大切应力所在截面。例例5 图示梁的的荷载及截面尺寸如图所示，材料的容许拉应图示梁的的荷载及截面尺寸如图所示，材料的容许拉应力力 t=40MPa、容许压应力容许压应力 c=100MPa，容许切应力容许切应力 =20MPa。试校核该梁的强度。试校核该梁的强度。AB3m1m2mCDFB=30kNCz2002003030解：求支座反力；解：求支座反力；画内力图；画内力图；FD=10kNM图图20kN.m10kN.m 157.5计算截面惯性矩；计算截面惯性矩；10kN10kN20kNFs图图Cz2002003030157.5AB3m1m2mCDFB=30kNFD=10kNM图图20kN.m 10kN10kN20kNFs图图10kN.mB 截面最大拉应力：截面最大拉应力：B 截面最大压应力：截面最大压应力：C 截面最大拉应力：截面最大拉应力：C 截面最大压应力：截面最大压应力：Cz2002003030157.5AB3m1m2mCDFB=30kNFD=10kNM图图20kN.m 10kN10kN20kNFs图图10kN.m 经比较可知，最大拉应力发生经比较可知，最大拉应力发生在在C 截面的下边缘；最大压应力发截面的下边缘；最大压应力发生在生在B 截面的下边缘；最大切应力截面的下边缘；最大切应力发生在发生在B 的左截面的中性轴上。的左截面的中性轴上。Cz2002003030157.5AB3m1m2mCDFB=30kNFD=10kNM图图20kN.m 10kN10kN20kNFs图图10kN.m此梁安全此梁安全AB3m例例6 图示工字形截面梁，已知容许正应力图示工字形截面梁，已知容许正应力=170MPa，容许容许切应力切应力=100MPa，试选择工字钢的型号。试选择工字钢的型号。3m2mCD解：解：求支座反力；求支座反力；FB=29kNFD=13kN画剪力图和弯矩图；画剪力图和弯矩图；M图图Fs图图 13kN17kN12kN12kN.m39kN.m 梁的强度主要由正应梁的强度主要由正应力所控制，先按正应力强力所控制，先按正应力强度条件选择工字钢型号，度条件选择工字钢型号，再用切应力强度条件进行再用切应力强度条件进行校核。校核。AB3m3m2mCDFB=29kNFD=13kNM图图Fs图图 13kN17kN12kN12kN.m39kN.m 由型钢表查选由型钢表查选20a工工字钢，主要参数如下：字钢，主要参数如下：例例7 图示梁由两根木料胶合而成，已知木材的容许正应力图示梁由两根木料胶合而成，已知木材的容许正应力=10MPa，容许切应力容许切应力=1.0MPa，胶缝的容许切应力胶缝的容许切应力 1=0.4MPa，试确定容许荷载集度试确定容许荷载集度q。AB3mFA=1.5qFB=1.5qz100100 50M图图Fs图图 1.5q1.125q解：解：求支座反力；求支座反力；画剪力图与弯矩图；画剪力图与弯矩图；按正应力强度条按正应力强度条件确定容许荷载；件确定容许荷载；AB3mFA=1.5qFB=1.5q100100 50M图图Fs图图 1.5q1.5qz 按切应力强度条按切应力强度条件确定容许荷载；件确定容许荷载；1.125qAB3mFA=1.5qFB=1.5q100100 50M图图Fs图图 1.5q1.5qz1.125q 按胶缝切应力强度按胶缝切应力强度条件确定容许荷载；条件确定容许荷载；例例8 图示圆截面梁，直径图示圆截面梁，直径d=200mm，材料的容许正应力材料的容许正应力=10MPa，容许切应力容许切应力=2MPa。试校核该梁的强度。试校核该梁的强度。AB3m1mFA=5kNdFB=10kN解：解：求支座反力；求支座反力；画剪力图和弯矩图；画剪力图和弯矩图；Fs图图M图图 5kN3kN7kN1.25m3kN.m3.125kN.m 最大正应力发生在距最大正应力发生在距A 端端1.25m截面的上下边缘；截面的上下边缘；最大切应力发生在最大切应力发生在B 的左的左截面的中性轴上。截面的中性轴上。AB3m1mFA=5kNdFB=10kNFs图图M图图 5kN3kN7kN1.25m3kN.m3.125kN.m此梁安全。此梁安全。49 49 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施 梁的设计主要依据正应力强度条件，即梁的设计主要依据正应力强度条件，即 由正应力强度条件可知，要提高梁的强度可从降低最大由正应力强度条件可知，要提高梁的强度可从降低最大弯矩弯矩Mmax和增大抗弯截面模量和增大抗弯截面模量Wz来考虑。来考虑。一、选择合理的截面形状一、选择合理的截面形状 梁的抗弯截面模量梁的抗弯截面模量Wz与截面尺寸和形状有关，截面面积与截面尺寸和形状有关，截面面积相同的情况下，相同的情况下，Wz越大截面形状越合理。越大截面形状越合理。下面对矩形、方形、圆形截面加以比较。下面对矩形、方形、圆形截面加以比较。zhbCaaCzdzC矩形截面比方形截面好矩形截面比方形截面好方形截面比圆形截面好方形截面比圆形截面好zzz 以矩形截面梁为例，横截面的正应力沿截面高度线性分以矩形截面梁为例，横截面的正应力沿截面高度线性分布，当上下边缘的应力达到容许应力时，中性轴附近材料远布，当上下边缘的应力达到容许应力时，中性轴附近材料远比容许应力，没能充分发挥材料作用，比容许应力，没能充分发挥材料作用，若若将这部分材料移到将这部分材料移到离中性轴较远处，就可极大地提高梁的承载能力。故工字形离中性轴较远处，就可极大地提高梁的承载能力。故工字形截面、槽形截面、截面、槽形截面、T 形截面均比矩形截面好。形截面均比矩形截面好。二、采用变截面梁二、采用变截面梁 对于等截面梁，按强度条件只有对于等截面梁，按强度条件只有Mmax截面上的最大正应截面上的最大正应力才达到力才达到，而其它，而其它截面上的最大正应力均没达到截面上的最大正应力均没达到。若若采用变截面梁，使各截面上的最大正应力同时达到采用变截面梁，使各截面上的最大正应力同时达到，此梁工程上称为，此梁工程上称为等强度梁等强度梁等强度梁等强度梁。等等强度梁的抗弯截面模量设计如下：强度梁的抗弯截面模量设计如下：变截面梁变截面梁悬臂凉台悬臂凉台AB吊车梁吊车梁三、改善梁的受力情况三、改善梁的受力情况 通过改善梁的受力情况，以降低梁的最大弯矩，从而提通过改善梁的受力情况，以降低梁的最大弯矩，从而提高梁的正应力强度。高梁的正应力强度。ABlql2/8AB2l/3l/6l/6ql2/72ql2/72ql2/24M图图M图图ABl/2l/2PABl/4l/2Pl/4Pl/4Pl/8M图图M图图例例9 由直径为由直径为d 的圆木截取一矩形截面梁，试按强度要求选的圆木截取一矩形截面梁，试按强度要求选择最合理的高宽尺寸择最合理的高宽尺寸h、b。bzyhdC解：解：使所截矩形的使所截矩形的Wz 越大越好。越大越好。例例10吊装一混凝土梁，索绳所系位置吊装一混凝土梁，索绳所系位置x 为多少最安全。为多少最安全。qlxx qx2/2qx2/2q(l-2x)2/8-qx2/2解：解：梁的最大弯矩最小时最安全，梁的最大弯矩最小时最安全，当梁的最大正弯矩与最大负弯矩当梁的最大正弯矩与最大负弯矩相等时梁的最大弯矩最小，即相等时梁的最大弯矩最小，即弯曲中心弯曲中心一、开口薄壁截面梁的弯曲切应力一、开口薄壁截面梁的弯曲切应力dxdxttN1N2aabbccddbc dbc 前面已经介绍了工字形截面腹板的切应力，这里再研究前面已经介绍了工字形截面腹板的切应力，这里再研究一下翼板的切应力。从翼板上截一微元，受力如图。一下翼板的切应力。从翼板上截一微元，受力如图。hHdxdxttN1N2aabbccddbc dbc式中式中 为翼板微元为翼板微元abcd 截面对中性轴截面对中性轴z 的静矩，即的静矩，即hHzz翼板的切应力为水平，大小成比例。翼板的切应力为水平，大小成比例。bb1dxdxttN1N2aabbccddbc dbchHzzbb1翼板根部切应力：翼板根部切应力：腹板端部切应力：腹板端部切应力：比较二式得：比较二式得：腹板与翼板接合部的切应力关系与水管流腹板与翼板接合部的切应力关系与水管流量相似，故将截面切应力流向称为量相似，故将截面切应力流向称为切应力流切应力流切应力流切应力流。切应力流切应力流切应力流切应力流二、弯曲中心二、弯曲中心zzzyyyzyzyzyFs1Fs2Fs2FsFsFs1Fs1Fs2Fs2ACCCCCCA 槽形截面梁两种放置方式截面切应力流，截面剪力作用槽形截面梁两种放置方式截面切应力流，截面剪力作用线的位置如图所示。线的位置如图所示。zyFsAC 梁两种放置方式，截面剪力作用线的交点梁两种放置方式，截面剪力作用线的交点A 称为截面的称为截面的弯曲中心弯曲中心弯曲中心弯曲中心。zyFs1Fs2CFs2zyCdthb弯曲中心只与截面的几何性质有关，与材料、荷载等无关。弯曲中心只与截面的几何性质有关，与材料、荷载等无关。d 几种常见薄壁截面弯曲中心的位置：几种常见薄壁截面弯曲中心的位置：zyCACAzyCAyzyzCA 具有两个以上对称轴的截面，弯曲中心与形心重合；具有两个以上对称轴的截面，弯曲中心与形心重合；开口圆环截面，弯曲中心在圆外对称轴上；开口圆环截面，弯曲中心在圆外对称轴上；具有两个狭窄矩形的截面，弯曲中心位于狭窄矩形中具有两个狭窄矩形的截面，弯曲中心位于狭窄矩形中线的交点。线的交点。zyACP 当外力的作用线过弯曲中心时，梁只发生弯曲；当外力当外力的作用线过弯曲中心时，梁只发生弯曲；当外力的作用线不过弯曲中心时，梁不仅发生弯曲，还发生扭转。的作用线不过弯曲中心时，梁不仅发生弯曲，还发生扭转。当外力的作用线即过弯曲中心，又与形心主轴平行时，当外力的作用线即过弯曲中心，又与形心主轴平行时，梁发生平面弯曲；梁发生平面弯曲；若外力的作用线只过弯曲中心，但不与形心主轴平行时，若外力的作用线只过弯曲中心，但不与形心主轴平行时，梁发生斜弯曲。梁发生斜弯曲。zyACPzyACPzyACP平面弯曲平面弯曲斜弯曲斜弯曲平面弯曲扭转平面弯曲扭转斜弯曲扭转斜弯曲扭转例例10 梁的截面与荷载作用线如图所示，试判断各梁发生何种梁的截面与荷载作用线如图所示，试判断各梁发生何种变形。变形。zzzzyyyyPPPPCCCC矩形截面矩形截面方形截面方形截面T形截面形截面等边角钢等边角钢斜弯曲斜弯曲平面弯曲平面弯曲斜弯曲扭转斜弯曲扭转斜弯曲扭转斜弯曲扭转AA