自动控制ppt课件第四章-根轨迹法.ppt

第四章第四章 根轨迹法根轨迹法4-2 4-2 绘制根轨迹图的基本法则绘制根轨迹图的基本法则绘制根轨迹图的基本法则绘制根轨迹图的基本法则4-3 4-3 控制系统根轨迹的绘制控制系统根轨迹的绘制控制系统根轨迹的绘制控制系统根轨迹的绘制4-4 4-4 控制系统的根轨迹法分析控制系统的根轨迹法分析控制系统的根轨迹法分析控制系统的根轨迹法分析4-1 4-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念退出退出返回其它章返回其它章1n n伊伊伊伊万万万万思思思思（W.R.EvansW.R.Evans）提提提提出出出出了了了了一一一一种种种种在在在在复复复复平平平平面面面面上上上上由由由由系系系系统统统统的的的的开开开开环环环环极极极极、零零零零点点点点来来来来确确确确定定定定闭闭闭闭环环环环系系系系统统统统极极极极、零零零零点点点点的的的的图图图图解解解解方方方方法，法，法，法，称为根轨迹法称为根轨迹法称为根轨迹法称为根轨迹法。n n意意意意义义义义：可可可可以以以以分分分分析析析析系系系系统统统统的的的的性性性性能能能能，确确确确定定定定系系系系统统统统应应应应有有有有的的的的结结结结构构构构和参数，也可用于校正装置的综合。和参数，也可用于校正装置的综合。和参数，也可用于校正装置的综合。和参数，也可用于校正装置的综合。根根根根轨轨轨轨迹迹迹迹法法法法是是是是一一一一种种种种简简简简便便便便的的的的图图图图解解解解方方方方法法法法，在在在在控控控控制制制制工工工工程程程程上得到了广泛的应用。上得到了广泛的应用。上得到了广泛的应用。上得到了广泛的应用。回章首回章首24-1 4-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念 回章首回章首闭环特征方程闭环特征方程两个根为两个根为 当当增增益益从从Kg=0开开始始增增加加取取不不同同值值时时，可可求求得得相相应应的的特征根特征根s1，s2如表如表4-1所示。所示。引例引例引例引例4-14-1 设一随动系统如设一随动系统如图图4-1所示。所示。闭环传递函数为闭环传递函数为开环传递函数为开环传递函数为3回章首回章首回节首回节首 由由于于系系统统的的闭闭环环极极点点是是连连续续变变化化的的，表表示示在在s平平面面上上即即为为引引例例系系统统的的根根轨轨迹迹图图如如图图4-2所示。所示。图图图图中中中中箭箭箭箭头头头头方方方方向向向向表表表表示示示示开开开开环环环环增增增增益益益益KKg g增增增增大大大大时时时时闭闭闭闭环环环环极极极极点点点点移移移移动动动动的的的的方方方方向向向向，粗粗粗粗实实实实线线线线即即即即为为为为开开开开环环环环增增增增益益益益KKg g变变变变化化化化时时时时闭闭闭闭环环环环极极极极点点点点移移移移动动动动的的的的轨迹。轨迹。轨迹。轨迹。4回章首回章首回节首回节首 开环极点用开环极点用开环极点用开环极点用“”来表示，开环零点用来表示，开环零点用来表示，开环零点用来表示，开环零点用“o”o”来表示。来表示。来表示。来表示。（引例系统没有开环零点）（引例系统没有开环零点）在在图图4-2上上，KKg g0 0 时时时时为为为为根轨迹的起点。根轨迹的起点。根轨迹的起点。根轨迹的起点。闭环特征方程为闭环特征方程为即即所所以以根根根根轨轨轨轨迹迹迹迹的的的的起起起起点点点点是是是是系系系系统统统统的开环极点的开环极点的开环极点的开环极点。5qq当增益当增益当增益当增益KKg g=0.25=0.25时时时时，方程为，方程为方程有两个重根方程有两个重根 s1,2=-0.5所所以以0Kg0.25时时，闭闭环环极极点点在在实实轴轴上上如如图所示。图所示。qq当增益当增益当增益当增益KKg g0.250.25后，闭环极点为后，闭环极点为共共轭轭复复数数根根的的实实部部为为常常数数值值-0.5，虚虚部部随随着着Kg的的增增大大向两边延伸如图所示。向两边延伸如图所示。回章首回章首回节首回节首qq当当当当KKg g时时时时有有6回章首回章首回节首回节首 从从引引例例系系统统的的根根轨轨迹迹图图可可以以得得到到，当当当当增增增增益益益益变变变变化化化化时时时时，特特特特征征征征根根根根全全全全部部部部在在在在s s的的的的左左左左半半半半平平平平面面面面，所所所所以以以以系系系系统统统统是是是是稳稳稳稳定定定定的的的的。再再之之，选择合适的增益值可以保证满意的动态性能。选择合适的增益值可以保证满意的动态性能。引引例例系系统统的的根根轨轨迹迹图图是是求求解解特特征征方方程程的的根根作作出出的的，但但是是高高阶阶系系统统求求根根是是很很麻麻烦烦的的。那那么么高高阶阶系系统统的的根根轨轨迹迹是是如如何何作作出出的的？s平平面面上上的的哪哪些些点点在在根根轨轨迹迹上上？如如何何根根据据系系统统的的根根轨轨迹迹图图来来分分析析自自动动控控制制系系统统等等问问题题就就是是本章要解决的问题。本章要解决的问题。7一般控制系统一般控制系统 一般系统的结构图如图一般系统的结构图如图4-3所示。所示。开环传递函数为开环传递函数为 (4-1)闭环传递函数为闭环传递函数为 (4-2)回章首回章首回节首回节首8KKg g 称为称为称为称为根轨迹根轨迹根轨迹根轨迹增益，增益，增益，增益，s=-zs=-zj j，j=1j=1，2 2，m m 为系统的开环零点，为系统的开环零点，为系统的开环零点，为系统的开环零点，s=-ps=-pi i，i=1i=1，2 2，n n 为系统的开环极点。为系统的开环极点。为系统的开环极点。为系统的开环极点。系统的开环传递函数系统的开环传递函数以开环零、极点以开环零、极点以开环零、极点以开环零、极点来表示时可以写为来表示时可以写为系系统统的的开开环环传传递递函函数数以以以以开开开开环环环环零零零零、极极极极点点点点因因因因子子子子的的的的环环环环节节节节增增增增益益益益归一归一归一归一表达式来表示时可以写为表达式来表示时可以写为(4-3)(3-183)回章首回章首回节首回节首9根轨迹根轨迹根轨迹根轨迹增益增益增益增益KKg g与系统开环增益与系统开环增益与系统开环增益与系统开环增益KKo o的关系为的关系为的关系为的关系为此算式中，此算式中，(a)a)不计原点处的零值极点；不计原点处的零值极点；不计原点处的零值极点；不计原点处的零值极点；(b)mb)m0 0时，时，时，时，取取取取 1 1计算。计算。计算。计算。(4-4)回章首回章首回节首回节首10用系统的开环传递函数用系统的开环传递函数Go(s)来表示，则有来表示，则有根轨迹方程根轨迹方程根轨迹方程根轨迹方程系统的闭环特征方程为系统的闭环特征方程为(4-5)(4-6)(4-7)控制系统的根轨迹控制系统的根轨迹控制系统的根轨迹控制系统的根轨迹 系系系系统统统统的的的的开开开开环环环环传传传传递递递递函函函函数数数数中中中中某某某某一一一一参参参参数数数数(例例例例如如如如增增增增益益益益KKg g)变变变变化化化化时时时时，系系系系统统统统闭闭闭闭环环环环特特特特征征征征方方方方程程程程的的的的根根根根在在在在复复复复平平平平面面面面上上上上变变变变化化化化的的的的轨轨轨轨迹迹迹迹称为根轨迹。称为根轨迹。称为根轨迹。称为根轨迹。回章首回章首回节首回节首11根轨迹的条件方程根轨迹的条件方程根轨迹的条件方程根轨迹的条件方程 幅值方程幅值方程幅值方程幅值方程 (4-8)幅角方程幅角方程幅角方程幅角方程(4-9)式式(4-8)与与(4-9)的的幅幅幅幅值值值值方方方方程程程程与与与与幅幅幅幅角角角角方方方方程程程程称称称称为为为为根根根根轨轨轨轨迹迹迹迹的的的的条条条条件方程件方程件方程件方程。回章首回章首回节首回节首12零、极点表达式分别为零、极点表达式分别为(4-10)幅值方程幅值方程幅值方程幅值方程 (4-11)幅角方程幅角方程幅角方程幅角方程回章首回章首回节首回节首13s平面上的任意点平面上的任意点s=sg，如如如如果果果果满满满满足足足足根根根根轨轨轨轨迹迹迹迹的的的的幅幅幅幅值值值值方方方方程程程程和和和和幅幅幅幅角角角角方方方方程程程程，则则则则该该该该点点点点在根轨迹上。在根轨迹上。在根轨迹上。在根轨迹上。否否否否则则则则，不不不不满满满满足足足足根根根根轨轨轨轨迹迹迹迹的的的的幅幅幅幅值值值值方方方方程程程程和和和和幅幅幅幅角角角角方方方方程程程程，根根根根轨迹不通过轨迹不通过轨迹不通过轨迹不通过s=ss=sg g点。点。点。点。回章首回章首回节首回节首14控制系统的根轨迹图控制系统的根轨迹图 控控制制系系统统的的根根轨轨迹迹图图是是满满足足根根轨轨迹迹条条件件方方程程的的。在在绘绘制制根根轨轨迹迹时时，并并不不是是毫毫无无目目的的地地在在s平平面面上上寻寻找找满满足足根根轨轨迹迹条条件件方方程程的的所所有有的的s值值，而而是是有有一一些些基基本本法法则则可可以以遵遵循循的的。依依依依据据据据绘绘绘绘制制制制根根根根轨轨轨轨迹迹迹迹图图图图的的的的一一一一些些些些基基基基本本本本法法法法则则则则，就就就就可以绘制出控制系统的根轨迹草图。可以绘制出控制系统的根轨迹草图。可以绘制出控制系统的根轨迹草图。可以绘制出控制系统的根轨迹草图。绘制根轨迹草图的绘制根轨迹草图的目的目的目的目的:可以在根轨迹图的基础上来分析系统的性能，得可以在根轨迹图的基础上来分析系统的性能，得到系统运动的基本信息，根据系统的闭环极点到系统运动的基本信息，根据系统的闭环极点(以及零以及零点点)与系统性能指标间的关系来分析和设计控制系统与系统性能指标间的关系来分析和设计控制系统。回章首回章首回节首回节首154-2 4-2 绘制根轨迹图的基本法则绘制根轨迹图的基本法则绘制根轨迹图的基本法则绘制根轨迹图的基本法则回章首回章首 由由于于根根轨轨迹迹增增益益Kg在在由由0 变变化化时时是是连连续续变变化化的的，所所以以系系统统闭闭环环特特征征方方程程的的根根也也是是连连续续变变化化的的，即即即即s s平平平平面面面面上的根轨迹是连续的。上的根轨迹是连续的。上的根轨迹是连续的。上的根轨迹是连续的。4-2-1 4-2-1 根轨迹的连续性根轨迹的连续性根轨迹的连续性根轨迹的连续性4-2-2 4-2-2 根轨迹的对称性根轨迹的对称性根轨迹的对称性根轨迹的对称性 线线性性定定常常系系统统闭闭环环特特征征方方程程的的系系数数全全部部是是实实数数，其其根根必必为为实实数数或或共共轭轭复复数数，所所以以s s平平平平面面面面上上上上的的的的根根根根轨轨轨轨迹迹迹迹图图图图是是是是实轴对称的。实轴对称的。实轴对称的。实轴对称的。4-2-3 4-2-3 根轨迹的分支数根轨迹的分支数根轨迹的分支数根轨迹的分支数 n阶系统对于任意增益值其特征方程都有阶系统对于任意增益值其特征方程都有n个根，个根，所以当增益所以当增益 Kg在由在由 0 变化时，在变化时，在s平面有平面有n条根轨条根轨迹，迹，即根轨迹的分支数等于即根轨迹的分支数等于即根轨迹的分支数等于即根轨迹的分支数等于n n，与系统的阶数相等。与系统的阶数相等。与系统的阶数相等。与系统的阶数相等。164-2-4 4-2-4 根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点n n根轨迹的起点：当根轨迹的起点：当根轨迹的起点：当根轨迹的起点：当KKg g=0=0时的根轨迹点。时的根轨迹点。时的根轨迹点。时的根轨迹点。当当当当KKg g=0=0时，时，时，时，式式式式(4-12)(4-12)右边右边右边右边为为为为；左边左边左边左边必有必有必有必有s=-ps=-pi i，i=1i=1，2 2，n n时才为时才为时才为时才为。所以所以所以所以n n条根轨迹起始于系统的条根轨迹起始于系统的条根轨迹起始于系统的条根轨迹起始于系统的 n n个开环极点个开环极点个开环极点个开环极点。由根轨迹方程由根轨迹方程(4-6)可得可得(4-12)n n根轨迹的终点：当根轨迹的终点：当根轨迹的终点：当根轨迹的终点：当KKg g时的根轨迹点时的根轨迹点时的根轨迹点时的根轨迹点，当当Kg=时，时，式式(4-12)右边右边右边右边为为0；左边左边左边左边必有必有s=-zj，j=1，2，m时才为时才为0。所以所以n n条根轨迹应该终止于系统的条根轨迹应该终止于系统的条根轨迹应该终止于系统的条根轨迹应该终止于系统的n n个开环零点。个开环零点。个开环零点。个开环零点。回章首回章首回节首回节首17 一一一一般般般般情情情情况况况况下下下下由由由由于于于于n n mm，所所所所以以以以n n阶阶阶阶系系系系统统统统只只只只有有有有mm个个个个有有有有限限限限零零零零点点点点，n n条条条条根根根根轨轨轨轨迹迹迹迹中中中中的的的的mm条条条条根根根根轨轨轨轨迹迹迹迹终终终终止止止止于于于于mm个个个个有有有有限限限限零零零零点点点点。对于其余对于其余对于其余对于其余n-mn-m条根轨迹条根轨迹条根轨迹条根轨迹，当当Kg时方程时方程右边右边右边右边有有当当Kg时，有时，有s，方程方程左边左边左边左边有有即即即即其其其其余余余余的的的的n-mn-m条条条条根根根根轨轨轨轨迹迹迹迹终终终终止止止止于于于于无无无无穷穷穷穷远远远远处处处处，即即即即终终终终止止止止于于于于系系系系统的统的统的统的n-mn-m个无穷大零点。个无穷大零点。个无穷大零点。个无穷大零点。回章首回章首回节首回节首184-2-5 4-2-5 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线 由由上上一一性性质质可可知知，若若n m，则则Kg时时，有有n-m条条根根轨轨迹迹趋趋于于s平平面面的的无无穷穷远远处处。这这这这些些些些趋趋趋趋向向向向无无无无穷穷穷穷远远远远处处处处根根根根轨轨轨轨迹迹迹迹分支的方位是由渐近线确定的。分支的方位是由渐近线确定的。分支的方位是由渐近线确定的。分支的方位是由渐近线确定的。下面举例说明。下面举例说明。j si 设设设设试试试试验验验验点点点点s si i在在在在s s平平平平面面面面的的的的无无无无穷穷穷穷远远远远处处处处，则则它它到到各各开开环环极极点点和和零零点点的的矢矢量量与与实实轴轴正正方方向向的的夹夹角角可可视视为为都都是是相相等等的的，记记为为。这这样样，m个个开开环环零零点点指指向向si点点矢矢量量所所产产生生的的相相角角m 被被m个个开开环环极极点点指指向向si点点矢矢量量所所产产生生的的相相角角-m 所所抵抵消消。余余下下(n-m)个个开开环环极极点点指指向向si点点的的矢矢量量实实质质上上是是一一条条直直线线，这这这这条条条条直直直直线线线线就就就就是是是是根根根根轨轨轨轨迹迹迹迹的的的的渐渐渐渐近线。近线。近线。近线。回章首回章首回节首回节首19渐近线只有渐近线只有渐近线只有渐近线只有n-mn-m条，它对称于实轴。条，它对称于实轴。条，它对称于实轴。条，它对称于实轴。可以证明，可以证明，渐近线与实轴的交点为渐近线与实轴的交点为 渐近线与实轴的夹角渐近线与实轴的夹角渐近线与实轴的夹角渐近线与实轴的夹角(称为渐近线的倾斜角称为渐近线的倾斜角称为渐近线的倾斜角称为渐近线的倾斜角)为为为为(4-15)由于相角的周期为由于相角的周期为360o，k k取到取到取到取到n-m-1n-m-1即可。即可。即可。即可。-只有一个值，表明只有一个值，表明各各各各渐近线相交于实轴上的同一点渐近线相交于实轴上的同一点渐近线相交于实轴上的同一点渐近线相交于实轴上的同一点。回章首回章首回节首回节首20 例例例例4-24-2 已知控制系统的开环传递函数为已知控制系统的开环传递函数为试确定根轨迹的分支数、起点和终点。若终点在无穷远试确定根轨迹的分支数、起点和终点。若终点在无穷远处，试确定渐近线和实轴的交点及渐近线的倾斜角。处，试确定渐近线和实轴的交点及渐近线的倾斜角。解解解解 由于由于n3，所以所以有有有有3 3条根轨迹条根轨迹条根轨迹条根轨迹。起点起点起点起点分别在分别在-p10，-p2-1和和-p3=-5。由于由于 m0，开环传递函数没有有限值零点，开环传递函数没有有限值零点，三条根轨迹的终点都在无穷远处三条根轨迹的终点都在无穷远处三条根轨迹的终点都在无穷远处三条根轨迹的终点都在无穷远处。回章首回章首回节首回节首21当当k=0时，时，1=60；当当k=1时，时，2=180；当当k=2时，时，3=300。根轨迹的起点和三条渐近线如图根轨迹的起点和三条渐近线如图所示。所示。其渐近线与实轴的交点其渐近线与实轴的交点-及倾斜角及倾斜角 分别为分别为回章首回章首回节首回节首224-2-6 4-2-6 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹在实轴上选取实验点在实轴上选取实验点si，如如果果实实验验点点si的的右右方方实实轴轴上上的的开开环环零零点点数数和和极极点点数数的的总总和和为为奇奇数数，则则实实验验点点si所所在在的的实实验验段段是是根根轨轨迹迹，否否则则该实验段不是根轨迹。该实验段不是根轨迹。图图中中，-1,0-1,0段段段段和和和和-,-5-,-5段段段段是是是是根根根根轨轨轨轨迹。迹。迹。迹。而而(-5,-1)段和段和(0,+)段不是根轨迹。段不是根轨迹。实实轴轴上上的的根根轨轨迹迹只只只只决决决决定定定定于于于于实实实实轴轴轴轴上上上上开开开开环环环环零零零零、极极极极点点点点的的的的分分分分布布布布，开开环环共共轭轭复复数数零零、极极点点对对构构成成实实轴轴上上的的根根轨轨迹迹没有任何影响。没有任何影响。实轴上的根轨迹应该是这样的线段：实轴上的根轨迹应该是这样的线段：实轴上的根轨迹应该是这样的线段：实轴上的根轨迹应该是这样的线段：在它右边的开环实数零点和极点个数之和应为奇数。在它右边的开环实数零点和极点个数之和应为奇数。在它右边的开环实数零点和极点个数之和应为奇数。在它右边的开环实数零点和极点个数之和应为奇数。回章首回章首回节首回节首23 例例例例4-34-3 设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为试求实轴上的根轨迹。试求实轴上的根轨迹。根据实轴上根轨迹的判别条件可以得到根据实轴上根轨迹的判别条件可以得到区区间间-4,-1.5-4,-1.5右右方方的的开开环环零零点点数数和和极极点点数数总总和和为为5，以以及及区区间间-1,-0.5-1,-0.5右右方方的的开开环环零零点点数数和和极极点点数数总总和和为为3，均均为为奇奇数数。故故故故实实实实轴轴轴轴上上上上根根根根轨轨轨轨迹迹迹迹在在在在上上上上述述述述两两两两区区区区间间间间内内内内如如如如图图图图中粗实线所示。中粗实线所示。中粗实线所示。中粗实线所示。解解解解 系系统统的的开开环环零零点点为为-0.5，开开环环极极点点为为0,0(二二重重极极 点点），-1，-1.5，-4，如如图图4-5所示。所示。回章首回章首回节首回节首244-2-74-2-7 根轨迹的会合点和分离点根轨迹的会合点和分离点根轨迹的会合点和分离点根轨迹的会合点和分离点 若干条根轨迹在复平面上的某一点相遇后又分开，若干条根轨迹在复平面上的某一点相遇后又分开，若干条根轨迹在复平面上的某一点相遇后又分开，若干条根轨迹在复平面上的某一点相遇后又分开，称该点为分离点或会合点。称该点为分离点或会合点。称该点为分离点或会合点。称该点为分离点或会合点。由于根轨迹的对称性，所以分离点或会合点位于由于根轨迹的对称性，所以分离点或会合点位于实轴上或成对共轭出现在复平面上。实轴上或成对共轭出现在复平面上。常见的分离点或常见的分离点或常见的分离点或常见的分离点或会合点一般都位于实轴上。会合点一般都位于实轴上。会合点一般都位于实轴上。会合点一般都位于实轴上。当根轨迹分支在实轴上相交后走向复平面时，该相当根轨迹分支在实轴上相交后走向复平面时，该相当根轨迹分支在实轴上相交后走向复平面时，该相当根轨迹分支在实轴上相交后走向复平面时，该相交点称为根轨迹的分离点。交点称为根轨迹的分离点。交点称为根轨迹的分离点。交点称为根轨迹的分离点。当根轨迹分支由复平面走向实轴上的交点时，该相当根轨迹分支由复平面走向实轴上的交点时，该相当根轨迹分支由复平面走向实轴上的交点时，该相当根轨迹分支由复平面走向实轴上的交点时，该相交点称为根轨迹的会合点。交点称为根轨迹的会合点。交点称为根轨迹的会合点。交点称为根轨迹的会合点。回章首回章首回节首回节首25实轴上有两个交点实轴上有两个交点A 和和B，A A为为为为根轨迹在根轨迹在根轨迹在根轨迹在实轴上的实轴上的实轴上的实轴上的分离点分离点分离点分离点，B B为为为为根轨迹在根轨迹在根轨迹在根轨迹在实轴上的实轴上的实轴上的实轴上的会合点会合点会合点会合点。回章首回章首回节首回节首26实轴分离点和会合点的判别实轴分离点和会合点的判别 在在在在分分分分离离离离点点点点或或或或会会会会合合合合点点点点上上上上，根根根根轨轨轨轨迹迹迹迹的的的的切切切切线线线线和和和和实实实实轴轴轴轴的的的的夹夹夹夹角角角角称称称称为为为为分分分分离离离离角角角角。分分离离角角 d与与相相分分离离的的根根轨轨迹迹的的支支数数k有有关，即关，即(4-16)n n 如如如如果果果果实实实实轴轴轴轴上上上上相相相相邻邻邻邻开开开开环环环环极极极极点点点点之之之之间间间间是是是是根根根根轨轨轨轨迹迹迹迹(由由由由实实实实轴轴轴轴根根根根轨轨轨轨迹的判别得到迹的判别得到迹的判别得到迹的判别得到)，则相邻开环极点之间必有分离点；则相邻开环极点之间必有分离点；则相邻开环极点之间必有分离点；则相邻开环极点之间必有分离点；n n 如如如如果果果果实实实实轴轴轴轴上上上上相相相相邻邻邻邻开开开开环环环环零零零零点点点点(其其其其中中中中一一一一个个个个可可可可为为为为无无无无穷穷穷穷远远远远零零零零点点点点)之间有根轨迹，之间有根轨迹，之间有根轨迹，之间有根轨迹，则这两相邻零点之间必有会合点。则这两相邻零点之间必有会合点。则这两相邻零点之间必有会合点。则这两相邻零点之间必有会合点。n n 如如如如果果果果实实实实轴轴轴轴上上上上根根根根轨轨轨轨迹迹迹迹在在在在开开开开环环环环零零零零点点点点与与与与极极极极点点点点之之之之间间间间，则则则则它它它它们们们们中中中中可可可可能能能能既既既既无无无无分分分分离离离离点点点点也也也也无无无无会会会会合合合合点点点点，也也也也可可可可能能能能既既既既有有有有分分分分离离离离点点点点也也也也有会合点。有会合点。有会合点。有会合点。回章首回章首回节首回节首27分离点或会合点位置的计算分离点或会合点位置的计算 (1)(1)重根法重根法重根法重根法 数数条条根根轨轨迹迹在在复复平平面面上上某某点点相相遇遇又又分分开开，该该点点必为特征方程的重根。必为特征方程的重根。如两条根轨迹相遇又分开，该点为二重根。如两条根轨迹相遇又分开，该点为二重根。三条根轨迹相遇又分开，该点为三重根等等。三条根轨迹相遇又分开，该点为三重根等等。重根的确定可以借助于代数重根法则。重根的确定可以借助于代数重根法则。回章首回章首回节首回节首28代数重根法则代数重根法则代数重根法则代数重根法则已知已知n次代数方程为次代数方程为(4-17)回章首回章首回节首回节首q 如如如如果果果果方方方方程程程程(4-17)(4-17)的的的的n n个个个个根根根根全全全全部部部部是是是是单单单单根根根根，则则满满足足其其导导数方程数方程f(x)=0的根不是原方程的根不是原方程f(x)=0的根。的根。q 如如如如果果果果方方方方程程程程(4-17)(4-17)有有有有二二二二重重重重根根根根，则则满满足足其其一一阶阶导导数数方方程程f(x)=0的根仍然含有原方程的根仍然含有原方程f(x)=0的根。的根。q 如如如如果果果果方方方方程程程程(4-17)(4-17)有有有有mm重重重重根根根根，则则满满足足其其一一阶阶导导数数方方程程f(x)=0的的根根，二二阶阶导导数数方方程程f(x)=0的的根根，直直至至满满足足其其m-1阶阶导导数数方方程程f(m-1)(x)=0的的根根，都都含含有有原原方方程程f(x)=0的根。的根。29回章首回章首回节首回节首例如例如:方程有互异单根方程有互异单根 x1-l，x2=-2。例如例如:方程有二重根方程有二重根 xc2=2。一阶导数方程的根为一阶导数方程的根为 x=-2/3，不是原方程不是原方程f(x)=0的根。的根。一阶导数方程的一个根一阶导数方程的一个根xc2=2仍然是原方程仍然是原方程f(x)=0的根。的根。30 根据代数重根法则，可以计算根轨迹的分离点。根据代数重根法则，可以计算根轨迹的分离点。其中其中N(s)为变量为变量s的分子多项式，方次为的分子多项式，方次为m，D(s)为变量为变量s的分母多项式，方次为的分母多项式，方次为n。(4-19)方程方程方程方程(4-19)(4-19)的根即系统的闭环极点的根即系统的闭环极点的根即系统的闭环极点的根即系统的闭环极点。(4-18)闭环特征方程可以写为闭环特征方程可以写为系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为回章首回章首回节首回节首31回章首回章首回节首回节首计算结果是否是分离点，还要作一下判别。计算结果是否是分离点，还要作一下判别。计算结果是否是分离点，还要作一下判别。计算结果是否是分离点，还要作一下判别。如如计计算算所所得得的的值值在在实实轴轴上上，那那么么要要判判别别该该线线段段是是否否是是根根轨轨迹迹。如如果果该该线线段段是是根根轨轨迹迹，则则计计算算结结果果就就是是分离点。否则，不是分离点，要舍去。分离点。否则，不是分离点，要舍去。分离点的计算公式分离点的计算公式分离点的计算公式分离点的计算公式(4-21)根根据据代代数数重重根根法法则则，如如果果闭闭环环极极点点为为二二重重根根，即即分离点处为二重根，则有分离点处为二重根，则有也含有方程也含有方程(4-19)的根，联立式的根，联立式(4-19)和式和式(4-20)可得可得(4-20)32(2)(2)极值法极值法极值法极值法 由函数由函数由函数由函数f f(x x)可以在重根处获得极值的原理得出。可以在重根处获得极值的原理得出。可以在重根处获得极值的原理得出。可以在重根处获得极值的原理得出。则根轨迹增益为则根轨迹增益为s的函数。的函数。由式由式(4-18)可以得到可以得到(4-22)回章首回章首回节首回节首其其极值计算公式为极值计算公式为极值计算公式为极值计算公式为(4-23)得到得到(4-24)对对Kg求极值的方法和重根法所得的结果是一样的。求极值的方法和重根法所得的结果是一样的。33回章首回章首回节首回节首Kg具具有有极极值值和和 具具有有极极值值是是一一样样的的。因因此此式式(4-24)也也可可写为写为或或34(3)(3)试探法试探法试探法试探法分离点计算公式为分离点计算公式为分离点计算公式为分离点计算公式为式中，式中，m，n分别为开环传递函数的零、极点数，分别为开环传递函数的零、极点数，d d为根轨迹的为根轨迹的为根轨迹的为根轨迹的分离点或会合点分离点或会合点分离点或会合点分离点或会合点(书中的书中的-d d=d)d)。回章首回章首回节首回节首35图图图图4-7 4-7 绘出了绘出了4支根轨迹在实轴上分离的情况。支根轨迹在实轴上分离的情况。图图图图4-8 4-8 绘绘出出了了在在复复平平面面上上有有分分离离点点的的情情况况，复复平平面面上上的的分离点是实轴对称的。分离点是实轴对称的。回章首回章首回节首回节首36 加例加例加例加例 设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为试确定实轴上根轨迹和会合点的位置。试确定实轴上根轨迹和会合点的位置。整理得整理得解之得解之得显然显然 为会合点。为会合点。解解解解 由实轴根轨迹的判别知，由实轴根轨迹的判别知，实轴上根轨迹位于实轴上根轨迹位于实轴上根轨迹位于实轴上根轨迹位于-2,-2,-。由由Go(s)可得可得 ，在，在-2与与-之间有之间有会合点。会合点。j j -2 0回章首回章首回节首回节首37或或或或整理得整理得解之得解之得显然显然 为会合点。为会合点。回章首回章首回节首回节首38回章首回章首回节首回节首解解解解 由实轴根轨迹判别可知，由实轴根轨迹判别可知，实轴上根轨迹位于实轴上根轨迹位于实轴上根轨迹位于实轴上根轨迹位于-0.5-0.5，-0.10.1和和和和-，-1-1区间区间区间区间。由根轨迹在实轴上的分离点和会合点的方程由根轨迹在实轴上的分离点和会合点的方程试确定实轴上根轨迹的分离点和会合点的位置。试确定实轴上根轨迹的分离点和会合点的位置。例例例例4-44-4 单位反馈系统的开环传递函数为单位反馈系统的开环传递函数为由由Go(s)可得可得39例如例如回章首回章首回节首回节首将将-d1=-0.33和和-d2=-1.67值值的的代代入入幅幅幅幅值值值值条条条条件件件件计计算算式式，可得相应的根轨迹增益，可得相应的根轨迹增益，Kgd10.06 和和 Kgd22.6。在在 区区 间间-0.5，-0.1，根根轨轨迹迹有有分分离点离点-d1=-0.33。在在区区间间-，-1，根轨迹有会合点根轨迹有会合点-d2=-1.67。404-2-8 4-2-8 根轨迹的出射角和入根轨迹的出射角和入根轨迹的出射角和入根轨迹的出射角和入射射射射角角角角 出射角：根轨迹离开共轭复数极点的出发角。出射角：根轨迹离开共轭复数极点的出发角。出射角：根轨迹离开共轭复数极点的出发角。出射角：根轨迹离开共轭复数极点的出发角。入射角：根轨迹趋于共轭复数零点的终止角。入射角：根轨迹趋于共轭复数零点的终止角。入射角：根轨迹趋于共轭复数零点的终止角。入射角：根轨迹趋于共轭复数零点的终止角。根据根轨迹方程的幅角条件，可求得根据根轨迹方程的幅角条件，可求得出射角和入出射角和入射射角角。回章首回章首回节首回节首41 j是其他零点到该复数极点是其他零点到该复数极点(或复数零点或复数零点)的矢量幅角；的矢量幅角；i是其他极点到该复数极点是其他极点到该复数极点(或复数零点或复数零点)的矢量幅角。的矢量幅角。回章首回章首回节首回节首根轨迹离开复数极点根轨迹离开复数极点根轨迹离开复数极点根轨迹离开复数极点-p px x点的点的点的点的出射角出射角出射角出射角 xcxc 为为为为 进入复数零点进入复数零点进入复数零点进入复数零点-z zy y的根轨迹的的根轨迹的的根轨迹的的根轨迹的入射角入射角入射角入射角 yryr 为为为为(4-27)(4-28)42 例例例例4-54-5 设设开开环环传传递递函函数数极极、零零点点如如图图4-10所所示示，试试确确定根轨迹离开共轭复数极点的出射角。定根轨迹离开共轭复数极点的出射角。解解解解 利用公式利用公式(4-27)，由作图可得，由作图可得考考虑虑到到幅幅角角的的周周期期性性，取取取取 1 1c c=-26.6=-26.6。同理，可得同理，可得 2 2c c=+26.6=+26.6。该系统的根轨迹详见例该系统的根轨迹详见例4-8。回章首回章首回节首回节首434-2-9 4-2-9 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 根根轨轨迹迹和和虚虚轴轴交交点点相相应应于于系系统统处处于于临临界界稳稳定定状状态态。此时增益此时增益此时增益此时增益KKg g称为临界根轨迹增益，用称为临界根轨迹增益，用称为临界根轨迹增益，用称为临界根轨迹增益，用KKgpgp表示。表示。表示。表示。根根轨轨迹迹与与虚虚轴轴相相交交，交交交交点点点点坐坐坐坐标标标标的的的的 值值值值及及及及相相相相应应应应的的的的KKg g值值值值可按下述方法求得。可按下述方法求得。可按下述方法求得。可按下述方法求得。由劳斯判据求得，即由劳斯判据求得，即由劳斯判据求得，即由劳斯判据求得，即 令令s1行行第第一一列列元元素素为为零零，可可获获得得相相应应的的临临界界开开环环增增益益或或临临界界开开环环根根轨轨迹迹增增益益；然然后后由由s2行行组组成成的的辅辅助助方方程程式可获得与虚轴的交点。式可获得与虚轴的交点。也也也也可可可可在在在在特特特特征征征征方方方方程程程程中中中中令令令令s=js=j，然然然然后后后后使使使使特特特特征征征征方方方方程程程程的的的的实实实实部部部部和虚部分别为零求得。和虚部分别为零求得。和虚部分别为零求得。和虚部分别为零求得。回章首回章首回节首回节首44解解解解 闭环系统特征方程为闭环系统特征方程为 即即 例例例例4-64-6 设开环传递函数为设开环传递函数为试求根轨迹和虚轴的交点，并计算临界增益。试求根轨迹和虚轴的交点，并计算临界增益。当当当当K Kg g=K=Kgpgp时，根轨迹和虚轴相交，令时，根轨迹和虚轴相交，令时，根轨迹和虚轴相交，令时，根轨迹和虚轴相交，令s=js=j 代入，代入，代入，代入，则特征方程为则特征方程为回章首回章首回节首回节首45上式分解为实部和虚部，并分别等于零，即上式分解为实部和虚部，并分别等于零，即 解得解得=0，相应相应 Kgp=0，6Kgp0时，为根轨迹起点。时，为根轨迹起点。Kgp6时，根轨迹和虚轴相交，交点坐标为时，根轨迹和虚轴相交，交点坐标为 KKgpgp6 6为临界根轨迹增益。为临界根轨迹增益。为临界根轨迹增益。为临界根轨迹增益。可以计算出可以计算出临界开环增益临界开环增益临界开环增益临界开环增益为为回章首回章首回节首回节首46也可利用也可利用劳斯判据劳斯判据劳斯判据劳斯判据确定确定Kgp和和值，可列出劳斯阵为值，可列出劳斯阵为当劳斯阵当劳斯阵s1行等于行等于0时，特征方程出现共轭虚根。时，特征方程出现共轭虚根。令令s1行等于行等于0，则得，则得共轭虚根值可由共轭虚根值可由s2行的辅助方程求得行的辅助方程求得即即回章首回章首回节首回节首474-2-10 4-2-10 闭环系统极点之和与闭环系统极点之积闭环系统极点之和与闭环系统极点之积闭环系统极点之和与闭环系统极点之积闭环系统极点之和与闭环系统极点之积回章首回章首回节首回节首系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为(4-29)式中式中48回章首回章首回节首回节首设系统的闭环极点为设系统的闭环极点为-s1，-s2，-sn，则则(a)(a)当当n-m2时时，闭闭环环系系统统极极点点之之和和等等于于开开环环系系统统极极点点之之和且为常数和且为常数，即，即上上式式表表明明，随随随随着着着着KKg g的的的的增增增增加加加加(或或或或减减减减小小小小)，一一一一些些些些闭闭闭闭环环环环系系系系统统统统极极极极点点点点在在在在复复复复平平平平面面面面上上上上向向向向右右右右移移移移动动动动，另另另另一一一一些些些些闭闭闭闭环环环环系系系系统统统统极极极极点点点点必必必必向向向向左左左左移移移移动动动动。对应于任一对应于任一Kg值，闭环系统极点之和保持不变。值，闭环系统极点之和保持不变。将上两式比较，可得如下将上两式比较，可得如下结论结论结论结论：系统的闭环特征方程为系统的闭环特征方程为49 利利利利用用用用上上上上述述述述结结结结论论论论也也也也可可可可以以以以估估估估计计计计KKg g增增增增大大大大(或或或或减减减减小小小小)时时时时根根根根轨轨轨轨迹迹迹迹的走向。的走向。的走向。的走向。(b)b)闭环极点之积和开环零极点具有如下关系闭环极点之积和开环零极点具有如下关系 对对应应于于某某一一Kg值值，若若已已求求得得闭闭环环系系统统的的某某些些极极点点，则利用上述结论可求出其他极点。则利用上述结论可求出其他极点。当开环系统具有等于零的极点时当开环系统具有等于零的极点时当开环系统具有等于零的极点时当开环系统具有等于零的极点时(即即即即a a0 0=0)=0)，则有则有则有则有(4-33)即闭环极点之积和根轨迹增益成正比。即闭环极点之积和根轨迹增益成正比。回章首回章首回节首回节首50 综综上上所所述述，在在给给出出开开环环零零、极极点点的的情情况况下下，利利利利用以上性质可以迅速地确定根轨迹的大致形状。用以上性质可以迅速地确定根轨迹的大致形状。用以上