等差数列及其前n项和ppt课件-2022届高三数学一轮复习.ppt

最新考纲：1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.第第2节等差数列及其前节等差数列及其前n项和项和知知 识识 梳梳 理理1等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为anan1d(常数)(nN*，n2)或an1and(常数)(nN*)(2)等差中项若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A .2等差数列的有关公式(1)等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是ana1(n1)d.(2)等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和Snna1 或Sn .3等差数列的常用性质已知an为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和(1)通项公式的推广：anam(nm)d，(n，mN*)(2)在等差数列an中，当mnpq时，amanapaq，(m，n，p，qN*)特别地，若mn2p，则2apaman，(m，n，pN*)(3)ak，akm，ak2m，仍是等差数列，公差为md(k，mN*)(4)Sn，S2nSn，S3nS2n，也成等差数列，公差为n2d.4等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn n2（）n.数列an是等差数列SnAn2Bn(A、B为常数)5等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最 大 值；若a10，则Sn存在最 小 值考点一等差数列基本量的运算例1.记Sn为等差数列an的前n项和.若a4a524，S648，则an的公差为()A.1 B.2 C.4 D.8考点突破解：法一设等差数列an的公差为d，依题意得 ，所以d4.法二等差数列an中，S6 48，则a1a616a2a5，又a4a524，所以a4a22d24168，则d4.答案C例2.设等差数列an的前n项和为Sn，S1122，a412，若am30，则m()A.9 B.10 C.11 D.15解：设等差数列an的公差为d，依题意得 解得ama1(m1)d7m4030，m10.方法总结：1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.考点二等差数列的判定与证明考点二等差数列的判定与证明例1.已知数列an中，a1 ，an2 (n2，nN*)，数列bn满足bn (nN*)(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由(1)证明：因为an2 (n2，nN*)，bn (nN*)，所以bn1bn =1又b1=所以数列bn是以为首项，1为公差的等差数列(2)由(1)知bnn ，则an1 1 .设f(x)1 ，则f(x)在区间 和 上为减函数所以当n3时，an取得最小值1，当n4时，an取得最大值3.方法总结：1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n2的任意自然数，验证anan1为同一常数.(2)等差中项法：验证2an1anan2(n3，nN*)都成立.2.判定一个数列是等差数列还常用到结论：(1)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列.(2)前n项和公式：SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.考点三等差数列的性质及应用考点三等差数列的性质及应用考法考法1等差数列项的性质的应用等差数列项的性质的应用例1.数列an满足2anan1an1(n2)，且a2a4a612，则a3a4a5等于()A9 B10 C11 D12例2.已知等差数列an的公差为d(d0)，且a3a6a10a1332，若am8，则m的值为()A8 B12 C6 D4解：数列an满足2anan1an1(n2)，则数列an是等差数列，利用等差数列的性质可知，a3a4a5a2a4a63a4=12.解：由a3a6a10a1332得4a832，即a88.又d0，所以等差数列an是单调数列，由am8，知m8，考法考法2等差数列前等差数列前n项和的性质项和的性质例.(1)设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于()A63 B45 C36 D27(2)已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12 014，6，则S2 021_.解：由an是等差数列，得S3，S6S3，S9S6为等差数列即2(S6S3)S3(S9S6)，得到S9S62S63S345，即a7a8a945，解：由等差数列的性质可得也 为等差数列设其公差为d，则 6d6，d1.故 2 021d2 0142 0217，S202114147.方法总结：1.项的性质：在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.2.和的性质：在等差数列an中，Sn为其前n项和，则(1)S2nn(a1a2n)n(anan1)；(2)S2n1(2n1)an.3.掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口.例1.等差数列an的前n项和为Sn，已知a113，S3S11，当Sn最大时，n的值是()A5 B6 C7 D8考点四等差数列的前考点四等差数列的前n项和及其最值项和及其最值法一法一：由S3S11，得a4a5a110，根据等差数列的性质，可得a7a80.根据首项a113可推知这个数列递减，从而得到a70，a80，故n7时，Sn最大法二法二：由S3S11，可得3a13d11a155d，把a113代入，得d2，故Sn13nn(n1)n214n.根据二次函数的性质，知当n7时Sn最大法三法三：根据a113，S3S11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和是先递增后递减根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数，以及二次函数图象的对称性，可得只有当n 7时，Sn取得最大值例2.已知等差数列an的前三项和为3，前三项的积为8.求等差数列an的通项公式；若a2，a3，a1成等比数列，求数列|an|的前n项和Tn.解：设等差数列an的公差为d，则a2a1d，a3a12d.由题意得解得 或所以由等差数列通项公式可得an23(n1)3n5或an43(n1)3n7.故an3n5或an3n7.当an3n5时，a2，a3，a1分别为1，4,2，不成等比数列；当an3n7时，a2，a3，a1分别为1,2，4，成等比数列，满足条件故|an|3n7|记数列3n7的前n项和为Sn，则Sn n2 n.当n2时，Tn|a1|a2|an|(a1a2an)n2 n，当n3时，Tn|a1|a2|a3|an|(a1a2)(a3a4an)Sn2S2 n2 n10，综上知：Tn方法总结：求等差数列前n项和Sn的最值的常用方法：(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式SnAn2Bn(a0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值.(2)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求Sn的最值.当a10，d0时，满足 的项数m使得Sn取得最大值为Sm(当am10时，Sm1也为最大值)；当a10时，满足 的项数m使得Sn取得最小值为Sm(当am10时，Sm1也为最小值).