函数单调性极值及凹凸性拐点课件.pptx
证证应用拉氏定理,得第1页/共86页例例1 1解解注意注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性第2页/共86页2单调区间求法问题问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调定义定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点方法方法:第3页/共86页例例2 2解解单调区间为第4页/共86页例例3 3解解单调区间为第5页/共86页例例4 4证证注意注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,第6页/共86页二、函数的极值1函数极值的定义第7页/共86页定义定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.第8页/共86页2函数极值的求法定理定理1 1(必要条件必要条件)定义定义注意:例如,第9页/共86页定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件)(是极值点情形)第10页/共86页求极值的步骤求极值的步骤:(不是极值点情形)第11页/共86页例例1 1解解列表讨论极大值极小值第12页/共86页图形如下第13页/共86页定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件)证证同理可证(2).第14页/共86页例例2 2解解图形如下第15页/共86页注意注意:第16页/共86页例例3 3解解注意注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.第17页/共86页三、曲线的凹凸性与拐点问题:如何研究曲线的弯曲方向?1曲线的凹凸性第18页/共86页图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方第19页/共86页定义定义第20页/共86页1凹凸性的判定定理定理1 1第21页/共86页例例1 1解解注意到,第22页/共86页2、曲线的拐点及其求法 拐点的定义注意注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.拐点的求法证第23页/共86页方法方法1:1:第24页/共86页例例2 2解解凹的凸的凹的拐点拐点第25页/共86页第26页/共86页方法方法2:2:例例3 3解解第27页/共86页注意注意:第28页/共86页例例4 4解解第29页/共86页四、函数图形的描绘四、函数图形的描绘如果函数 f(x)的定义域上的某个小区间中（1）单调性已知；（2）凹凸性已知；（3）区间端点的位置已知或变化趋势已知；那么可以很容易地画出函数在这个区间内的图形第30页/共86页1渐近线定义定义:(1)(1)铅直渐近线铅直渐近线(vertical asymptotes)第31页/共86页例如有铅直渐近线两条:第32页/共86页(2)(2)水平渐近线水平渐近线例如有水平渐近线两条:第33页/共86页(3)(3)斜渐近线斜渐近线斜渐近线求法:第34页/共86页注意:例例1 1解解第35页/共86页第36页/共86页第37页/共86页2函数图形描绘的步骤利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步第二步第二步第38页/共86页第三步第三步第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势;第五步第五步第39页/共86页3函数作图举例例例2 2解解非奇非偶函数,且无对称性.第40页/共86页列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:不存在拐点极值点间断点第41页/共86页作图第42页/共86页第43页/共86页例例3 3解解偶函数,图形关于y轴对称.第44页/共86页拐点极大值列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:拐点第45页/共86页第46页/共86页例例4 4解解无奇偶性及周期性.列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:第47页/共86页拐点极大值极小值第48页/共86页第49页/共86页五、小结 思考题 1.单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用，定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.第50页/共86页 驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点.函数的极值必在临界点临界点取得.判别法判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)2.极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.3.曲线的弯曲方向凹凸性；凹凸性的判定.改变弯曲方向的点拐点;拐点的求法.第51页/共86页 4.函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察.最大值最小值极大值极小值拐点凹的凸的单增单减第52页/共86页思考题思考题第53页/共86页思考题解答思考题解答不能断定.例但第54页/共86页当 时，当 时，注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内，都不单调递增第55页/共86页思考题思考题下命题正确吗？第56页/共86页思考题解答思考题解答不正确例第57页/共86页在1和1之间振荡故命题不成立第58页/共86页思考题思考题 在地面上建有一座圆柱形水塔，水塔内部的直径为d,并且在地面处开了一个高为H的小门.现在要对水塔进行维修施工，施工方案要求把一根长度为l(ld)的水管运到水塔内部.请问水塔的门多高时，才有可能成功地把水管搬进水塔内？第59页/共86页水管运进水塔时,一端在地面上滑动,另一端在水塔壁上垂直滑动.设水管运动过程中,在入门处的高度为h,水管与地面的夹角为 根据题意可知：xyhdlO现在计算h的极大值.解 建立如右图示坐标系.第60页/共86页第61页/共86页第62页/共86页思考题思考题 某杂技团刻意求新,在某海滨城市演出时,利用当地靠海的条件,设计了这样一个节目：在离开海边9米的沙滩上,建一10米高台,高台下5米处置一极富弹性的斜面(用弹簧编织而成),斜面与水平面成 角.然后让演员从高台团身跳下,与斜面碰撞(假定为弹性碰撞)后将其弹到海里.不知这个方案是否可行，请鉴定.第63页/共86页分析：如右图示,演员的表演分三个阶段完成：自由落体,碰撞,平抛.判断该方案是否可行,就是看经过这样的运动之后能否平安地落入海中.这只需计算平抛阶段的水平距离是否大于9米即可.记高台、高台距斜面的高度分别为H和h,显然,s是h的函数,问题转化为求s(h)的极大值.0 00 0h0 0Hs演员碰到斜面时的速度可计算得 ,第64页/共86页由于假定是弹性碰撞，因而他水平飞出的速度,演员从(H-h)处自由下落需要的时间为故演员水平飞出的距离为即把斜面放在全高的一半处,就可得到最大的水平距离.即第65页/共86页飞出的距离可达10米,而高台离海边仅9米,故方案是可行的.第66页/共86页思考题思考题第67页/共86页思考题解答思考题解答例第68页/共86页思考题思考题第69页/共86页思考题解答思考题解答第70页/共86页练练 习习 题题(一一)第71页/共86页第72页/共86页练习题练习题(一一)答案答案第73页/共86页第74页/共86页练练 习习 题题(二二)第75页/共86页第76页/共86页练习题练习题(二二)答案答案第77页/共86页练练 习习 题题(三三)第78页/共86页第79页/共86页练习题练习题(三三)答案答案第80页/共86页第五题图第81页/共86页练练 习习 题题（四（四)第82页/共86页1图2图二、练习题练习题（四（四)答案答案第83页/共86页3图三、第84页/共86页练习题练习题（四（四)答案答案第85页/共86页感谢观看！第86页/共86页
