第四节二阶常系数线性微分方程课件.ppt

第四节第四节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程一、线性微分方程解的性质一、线性微分方程解的性质二、二阶常系数齐次线性微分方程的解二、二阶常系数齐次线性微分方程的解三、二阶常系数非齐次线性微分方程的解三、二阶常系数非齐次线性微分方程的解一、二阶线性微分方程解的性质一、二阶线性微分方程解的性质(一一)定义：定义：(二二)性质：性质：（一）二阶线性齐次方程解的性质（一）二阶线性齐次方程解的性质解的叠加性解的叠加性此时，此时，中只含一个任意常数，因此，叠加起来的解不是方程中只含一个任意常数，因此，叠加起来的解不是方程（2）的通解。）的通解。（二）二阶线性非齐次微分方程解的性质（二）二阶线性非齐次微分方程解的性质注注：性质：性质4说明，若非齐次方程的非齐次项由若干说明，若非齐次方程的非齐次项由若干 项和组成，那项和组成，那么求解时，可将每个函数作为非齐次项求解，然后将解相加即可。么求解时，可将每个函数作为非齐次项求解，然后将解相加即可。二、二阶常系数齐次线性方程的解二、二阶常系数齐次线性方程的解 由性质由性质2知，求方程的知，求方程的(3)的通解，关键在于找到它的的通解，关键在于找到它的两两个线性无关的特解。个线性无关的特解。由于方程由于方程(3)关于关于 具有线性和常系数的特点具有线性和常系数的特点，因此，所找的函数也应具备这一特点。因此，所找的函数也应具备这一特点。称一元二次方程（称一元二次方程（4）为微分方程（）为微分方程（3）的）的特征方程，特征方程，其根为其根为特征根特征根因特征根有三种情况，因此，方程因特征根有三种情况，因此，方程(3)的通解也有三种的通解也有三种情况：情况：得得方程方程(3)的通解为的通解为由性质由性质1可知，函数可知，函数也是方程也是方程(3)的解，且线性无关的解，且线性无关小结小结综上得：求二阶常系数齐次线性微分方程的通解，不必积综上得：求二阶常系数齐次线性微分方程的通解，不必积分，只要求出特征方程的根，便可写出。分，只要求出特征方程的根，便可写出。（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解.具体步骤如下：具体步骤如下：(见下表见下表)特征方程根特征方程根的判别式的判别式 特征方程特征方程 的根的根 微分方程微分方程 的通解的通解解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例2 2例例1 1解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例3 3三、二阶常系数非齐次线性微分方程的解三、二阶常系数非齐次线性微分方程的解一、一、型型设非齐方程特解为设非齐方程特解为代入原方程得代入原方程得综上讨论综上讨论解解（1）对应齐次方程的特征方程为：对应齐次方程的特征方程为：因此，因此，齐次方程的通解齐次方程的通解为：为：（2）求所给方程的一个特解）求所给方程的一个特解代入所给方程得：代入所给方程得：所以，可设所以，可设解解（1）对应齐次方程的特征方程为：对应齐次方程的特征方程为：因此，因此，齐次方程的通解齐次方程的通解为：为：（2）求所给方程的一个特解）求所给方程的一个特解代入所给方程得：代入所给方程得：所以，可设所以，可设二、二、上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程.利用欧拉公式及（一）的结论得：利用欧拉公式及（一）的结论得：代入原方程得代入原方程得所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为例例6 6解解 对应齐次方程的特征方程为：对应齐次方程的特征方程为：