第四章机器人静力分析与动力学课件.ppt

雅可比矩阵雅可比矩阵两空间之间速度的两空间之间速度的线性映射关系线性映射关系雅可比矩阵（简称雅可比）雅可比矩阵（简称雅可比）。它可以看成是从关节空间到操作空间运动速度的。它可以看成是从关节空间到操作空间运动速度的传动比传动比，同时，同时也可用来表示两空间之间也可用来表示两空间之间力的传递关系。力的传递关系。vxvy存在存在怎样怎样的关的关系系3.5 机器人机器人的的雅可比雅可比矩阵矩阵2023/1/122023/1/121 1第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学看一个两自由度平面关节看一个两自由度平面关节机器人的末端点位置（机器人的末端点位置（x，y）图图4-1两自由度平面关节机器人两自由度平面关节机器人容易求得容易求得将其微分得将其微分得写成矩阵形式写成矩阵形式令末端位姿令末端位姿则则2023/1/122023/1/122 2第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学假设关节速度为假设关节速度为，手爪速度为，手爪速度为。式中式中J称为机器人雅可比（称为机器人雅可比（Jacobian）矩阵）矩阵，它由函数，它由函数x，y的偏微分组成，反映了关节微小位移的偏微分组成，反映了关节微小位移d与手部末端微小运动与手部末端微小运动dX之间的关系。之间的关系。对对dX=Jd，两边同除以，两边同除以dt，得，得2023/1/122023/1/123 3第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人雅可比矩阵定义为它的操作空间速度与关节空间速度机器人雅可比矩阵定义为它的操作空间速度与关节空间速度的线性变换。的线性变换。（或（或V）称为手爪在操作空间中的广义速度，简称）称为手爪在操作空间中的广义速度，简称操作速度，操作速度，为关节速度。为关节速度。J若是若是6n的偏导数矩阵，它的第的偏导数矩阵，它的第i行第行第j列的元素为列的元素为：式中，式中，x代表操作空间，代表操作空间，q代表关节空间。代表关节空间。2023/1/122023/1/124 4第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学若令若令J1，J2分别为上例中雅可比矩阵的第一列矢量和第二列分别为上例中雅可比矩阵的第一列矢量和第二列矢量，即矢量，即可以看出，可以看出，雅可比矩阵的每一列表示其它关节不动而某一关节以雅可比矩阵的每一列表示其它关节不动而某一关节以单位速度运动产生的端点速度。单位速度运动产生的端点速度。由由，可看出，可看出，J阵的值随手爪位置的不同而阵的值随手爪位置的不同而不同，即不同，即1和和2的改变会导致的改变会导致J的变化。的变化。2023/1/122023/1/125 5第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学对于关节空间的某些形位，机器人雅可比矩阵的秩减少，这对于关节空间的某些形位，机器人雅可比矩阵的秩减少，这些形位称为操作臂（机械手）的些形位称为操作臂（机械手）的奇异形位。奇异形位。上例机械手雅可比矩上例机械手雅可比矩阵的行列式为：阵的行列式为：det(J)=l1l2s2当当2=0或或2=180时，机械手时，机械手的雅可比行列式为的雅可比行列式为0，矩阵的秩为，矩阵的秩为1，因此处于奇异状态。在奇异形位，因此处于奇异状态。在奇异形位时，时，机械手在操作空间的自由度将机械手在操作空间的自由度将减少。减少。2023/1/122023/1/126 6第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学只要知道机器人的雅可比只要知道机器人的雅可比J是满秩的方阵，相应的关节速度即是满秩的方阵，相应的关节速度即可求出，即可求出，即。上例平面上例平面2R机器人的逆雅可比机器人的逆雅可比于是得到与末端速度于是得到与末端速度相应的关节速度：相应的关节速度：显然，当显然，当2趋于趋于0（或（或180）时，机械手接近奇异形位，相应的关）时，机械手接近奇异形位，相应的关节速度将趋于无穷大。节速度将趋于无穷大。A(-1)=(1/|A|)A*，其中，其中A(-1)表示矩阵表示矩阵A的逆矩阵的逆矩阵,|A|为矩阵为矩阵A的行列式的行列式,A*为矩阵为矩阵A的伴随矩阵。的伴随矩阵。2023/1/122023/1/127 7第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学 例例.图示二自由度机器人，手部沿固定坐标系图示二自由度机器人，手部沿固定坐标系X0轴正向以轴正向以1 m/s的速的速度移动，杆长度移动，杆长l1=l2=0.5 m。设在某瞬时。设在某瞬时 1=30，2=60，求相应瞬时关节，求相应瞬时关节 速度。速度。解：解：二自由度机器人速度雅可比为：二自由度机器人速度雅可比为：逆雅可比为：逆雅可比为：根据根据 ，vX=1 m/s，vY=0，即，即 2023/1/122023/1/128 8第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学3.5 机器人机器人的的雅可比雅可比矩阵矩阵雅可比矩阵：机械手的笛卡儿笛卡儿空间运动速度与关节关节空间运动速度之间的变换称之为雅可比矩阵。关节空间向笛卡儿空间速度的传动比。设x为表示机械手末端位姿的广义位置矢量，q为机械手的关节坐标矢量,n个关节则为n维矢量x0y0z0zi2023/1/122023/1/129 9第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学第四章第四章 机器机器人静力分析与人静力分析与动力学动力学4.1概述概述4.2机器人静力机器人静力学学4.3牛顿牛顿-欧拉欧拉方程方程4.4拉格朗日拉格朗日方程方程2023/1/122023/1/121010第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人动力学解机器人动力学解机器人机器人正正动力学问题动力学问题已知机器人各关节驱动力已知机器人各关节驱动力或力矩，求机器人各关节轨迹或末端执行器（位姿）或力矩，求机器人各关节轨迹或末端执行器（位姿）轨迹。轨迹。机器人机器人逆逆动力学问题动力学问题已知机器人各关节轨迹或已知机器人各关节轨迹或末端执行器（位姿）轨迹，求机器人各关节驱动力末端执行器（位姿）轨迹，求机器人各关节驱动力或力矩。或力矩。4.1概述概述2023/1/122023/1/121111第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人机器人动力学动力学研究研究目的目的建立力、质量和加速度之间以及力矩、惯量和角加速度之建立力、质量和加速度之间以及力矩、惯量和角加速度之间的关系。间的关系。确定力和力矩，计算每个驱动器所需的驱动力，以便在机确定力和力矩，计算每个驱动器所需的驱动力，以便在机器人连杆和关节上产生期望的加速度。器人连杆和关节上产生期望的加速度。根据有关方程并考虑机器人的外部载荷计算出驱动器可能根据有关方程并考虑机器人的外部载荷计算出驱动器可能承受的最大载荷，设计出能提供足够力及力矩的驱动器。承受的最大载荷，设计出能提供足够力及力矩的驱动器。研究机器人不同部件之间的关系，合理地设计出机器人的研究机器人不同部件之间的关系，合理地设计出机器人的部件。部件。4.1概述概述2023/1/122023/1/121212第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学4.2机器人静力机器人静力分分析析机器人与外界环境相互作用时，在接触的地方要产生力机器人与外界环境相互作用时，在接触的地方要产生力和和力矩力矩，统称为末端广义（操作）力矢量。记为，统称为末端广义（操作）力矢量。记为n个关节的驱动力（或力矩）组成的个关节的驱动力（或力矩）组成的n维矢量维矢量称为关节力矢量称为关节力矢量y0 x0存在怎样的关系存在怎样的关系2023/1/122023/1/121313第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学利用虚功原理，令各关节的虚位移为利用虚功原理，令各关节的虚位移为qi，末端执行器相应，末端执行器相应的虚位移为的虚位移为D。根据虚位移原理，各关节所作的虚功之和与末端。根据虚位移原理，各关节所作的虚功之和与末端执行器所作的虚功应该相等，即执行器所作的虚功应该相等，即简写为简写为:又因为又因为,所以得到所以得到与与之间的关系之间的关系式中式中称为称为机械手的力雅可比。它表示在静态平衡状态下，操机械手的力雅可比。它表示在静态平衡状态下，操作力向关节力映射的线性关系。作力向关节力映射的线性关系。2023/1/122023/1/121414第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学若若J是是关节空间关节空间向向操作空间操作空间的映射（微分运动矢量），则的映射（微分运动矢量），则把把操作空间的广义力矢量操作空间的广义力矢量映射到映射到关节空间的关节力矢量关节空间的关节力矢量。关节空间关节空间操作空间操作空间雅可比雅可比J力雅可比力雅可比JT2023/1/122023/1/121515第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学若已知若已知则有则有T00T2023/1/122023/1/121616第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学BAABJTJ根据前面导出的两坐标系根据前面导出的两坐标系A和和B之间广义速度的坐标变换之间广义速度的坐标变换关系，可以导出关系，可以导出A和和B之间广义操作力的坐标变换关系。之间广义操作力的坐标变换关系。2023/1/122023/1/121717第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学解：解：由前面的推导知由前面的推导知例例:如图如图4-3所示的平面所示的平面2R机械手，手爪端点与外界接触，手爪作机械手，手爪端点与外界接触，手爪作用于外界环境的力为用于外界环境的力为，若关节无摩擦力存在，若关节无摩擦力存在，求力求力的等效关节力矩的等效关节力矩。所以得：所以得：图图4-3关节力和操作力关系关节力和操作力关系y0 x02023/1/122023/1/121818第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人机器人静力计算静力计算机器人操作臂静力计算可分为两类问题：机器人操作臂静力计算可分为两类问题：(1)已知外界环境对机器人手部的作用力已知外界环境对机器人手部的作用力F，利用式，利用式 求相应的求相应的满足静力平衡条件的关节驱动力矩满足静力平衡条件的关节驱动力矩。(2)已知关节驱动力矩已知关节驱动力矩，确定机器人手部对外界环境的作用力或负载，确定机器人手部对外界环境的作用力或负载的质量。的质量。第二类问题是第一类问题的逆解。逆解的关系式为第二类问题是第一类问题的逆解。逆解的关系式为 F=(JT)1 机器人自由度不是机器人自由度不是6时，例如时，例如n6，力雅可比矩阵就不是方阵，则，力雅可比矩阵就不是方阵，则JT就没有逆解。故第二类问题的求解困难得多，一般情况不一定能得就没有逆解。故第二类问题的求解困难得多，一般情况不一定能得到惟一解。若到惟一解。若F 的维数比的维数比的维数低，且的维数低，且J 满秩，则可利用最小二乘法满秩，则可利用最小二乘法求得求得F 的估计值。的估计值。2023/1/122023/1/121919第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学例：如图示的机械手夹扳手拧螺丝，在腕部（例：如图示的机械手夹扳手拧螺丝，在腕部（Os）装有力）装有力/力矩传力矩传感器，若已测出传感器上的力和力矩感器，若已测出传感器上的力和力矩，求这时作用，求这时作用在螺钉上的力和力矩在螺钉上的力和力矩()2023/1/122023/1/122020第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学解：根据图示的相应位姿关系得解：根据图示的相应位姿关系得因此可得两坐标系的微分运动关系和静力传递关系为：因此可得两坐标系的微分运动关系和静力传递关系为：STST微分运动关系时：微分运动关系时：静力传递关系时：静力传递关系时：2023/1/122023/1/122121第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学4.4.4 4.1.1转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量 平移作为回转运动来分析平移作为回转运动来分析根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律和和若把这一运动看成是杆长为若把这一运动看成是杆长为r，集中质量在末端为，集中质量在末端为m的杆件绕的杆件绕z轴的轴的回转运动，则得到加速度和力的关系式为回转运动，则得到加速度和力的关系式为2023/1/122023/1/122222第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学式中，式中，和和N是绕是绕z轴回转的角加速度和转矩。轴回转的角加速度和转矩。上式为质点绕固定轴回转时的运动方程式。上式为质点绕固定轴回转时的运动方程式。I相当于平移运相当于平移运动时的质量，称为动时的质量，称为转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量。将它们代入前面的方程，得：将它们代入前面的方程，得：令令，则有：，则有：2023/1/122023/1/122323第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学例：例：求图所示的质量为求图所示的质量为M，长度为，长度为L的匀质杆绕其一端回转时的转的匀质杆绕其一端回转时的转动惯量动惯量I。解：匀质杆的微段解：匀质杆的微段dx的质量用线密度的质量用线密度（=M/L）表示为）表示为dm=dx。该微段产生的转动惯量为。该微段产生的转动惯量为。因此，把因此，把dI在长度方向上积分，可得该杆的转动惯量在长度方向上积分，可得该杆的转动惯量I为：为：2023/1/122023/1/122424第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学例：试求上例中杆绕其重心回转时的转动惯量例：试求上例中杆绕其重心回转时的转动惯量IC。解：先就杆的一半来求解，然后加倍即可。假定解：先就杆的一半来求解，然后加倍即可。假定x为离杆中心的为离杆中心的距离，则得到距离，则得到即平行轴定理：即平行轴定理：刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对过质心且刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对过质心且与该轴平行之轴的转动惯量加上刚体的质量与此两轴间距离平方与该轴平行之轴的转动惯量加上刚体的质量与此两轴间距离平方的乘积。的乘积。设刚体对过质心设刚体对过质心C的的Zc轴的转动惯量为轴的转动惯量为IZC，对与，对与Zc轴平行的轴平行的Z轴的转动惯量为轴的转动惯量为IZ，该两轴间的距离为，该两轴间的距离为d，刚体的质量为，刚体的质量为M，则，则2023/1/122023/1/122525第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学4.4.2Newton-Euler递推动力学方程递推动力学方程如果将机械手的连杆看成刚体，它的质心加速度如果将机械手的连杆看成刚体，它的质心加速度、总质量、总质量m与产生这一加速度的作用力与产生这一加速度的作用力f之间的关系满足牛顿第二运动定律之间的关系满足牛顿第二运动定律:当刚体绕过质心的轴线旋转时，角速度当刚体绕过质心的轴线旋转时，角速度，角加速度，角加速度，惯性，惯性张量张量与作用力矩与作用力矩n之间满足欧拉方程：之间满足欧拉方程：2023/1/122023/1/122626第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学惯性张量惯性张量令令c是以刚体的质心是以刚体的质心c为原点规定的为原点规定的一个坐标系，相对于该坐标系一个坐标系，相对于该坐标系c，惯性张，惯性张量量定义为定义为的对称矩阵：的对称矩阵：式中，对角线元素是刚体绕三坐标轴式中，对角线元素是刚体绕三坐标轴x，y，z的质量惯性矩，即的质量惯性矩，即Ixx，Iyy，Izz，其余元素为惯性积。，其余元素为惯性积。惯性张量表示刚体质量分布的特征。惯性张量表示刚体质量分布的特征。其值与选取的参考坐标其值与选取的参考坐标系有关，若选取的坐标系使惯性积都为零，相应的质量惯性矩为系有关，若选取的坐标系使惯性积都为零，相应的质量惯性矩为主惯性矩。主惯性矩。2023/1/122023/1/122727第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学例：例：例：例：如图所示的如图所示的1自由度机械手。自由度机械手。假定绕关节轴假定绕关节轴z的转动惯量为的转动惯量为IZ，z轴为垂直纸面的方向。轴为垂直纸面的方向。解：解：解：解：式中，式中，g是重力常数，把上面三式代入欧拉方程且只提取是重力常数，把上面三式代入欧拉方程且只提取z轴分量轴分量得到：得到：zmg2023/1/122023/1/122828第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学4.4.4 4.3Lagrange.3Lagrange动力学动力学动力学动力学对于任何机械系统，拉格朗日函数对于任何机械系统，拉格朗日函数L定义为系统总的动能定义为系统总的动能K与总的势能与总的势能P之差，即之差，即L=K-P。这里，。这里，L是拉格朗日算子；是拉格朗日算子；k是动是动能；能；P是势能。是势能。或或 利用利用Lagrange函数函数L，系统的动力学方程（称为第二类，系统的动力学方程（称为第二类Lagrange方程）为：方程）为：表示动能，表示势能。表示动能，表示势能。2023/1/122023/1/122929第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学例：平面例：平面RP机械手如图所示，连杆机械手如图所示，连杆1和连杆和连杆2的质量分别为的质量分别为m1和和m2，质心的位置由，质心的位置由l1和和d2所规定，惯性张量为（所规定，惯性张量为（z轴垂直纸面）：轴垂直纸面）：2023/1/122023/1/123030第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学解：解：连杆连杆1，2的动能分别为：的动能分别为：机械手总的动能为机械手总的动能为连杆连杆1，2的势能分别为的势能分别为机械手总的位能（势能）为机械手总的位能（势能）为2023/1/122023/1/123131第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学计算各偏导数计算各偏导数将以上结果代入将以上结果代入Lagrange方程方程得得2023/1/122023/1/123232第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学附：就前面的附：就前面的1自由度机械手用自由度机械手用Lagrange法求解如下：法求解如下：总势能为总势能为代入代入Lagrange方程方程得得，与前面的结，与前面的结果一致。这里果一致。这里I=IZ=IC+mL2C解：解：总动能总动能（为广义坐标）为广义坐标）zmg2023/1/122023/1/123333第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学.若若1自由度机械手为匀质连自由度机械手为匀质连杆，质量为杆，质量为m，长度为，长度为L，结，结果会怎样？果会怎样？.若若1自由度机械手为集中质量连杆，长度为自由度机械手为集中质量连杆，长度为L，集中质量，集中质量m在连在连杆末端杆末端L处，结果会怎样？处，结果会怎样？z2023/1/122023/1/123434第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学牛顿牛顿-欧拉欧拉方程方程为使物体直线运动必须施加力的作用，力方程为：为使物体直线运动必须施加力的作用，力方程为：为使物体旋转必须施加力矩，力矩方程为：为使物体旋转必须施加力矩，力矩方程为：上述方程建立了力、质量和加速度之间以及力上述方程建立了力、质量和加速度之间以及力 矩、矩、惯量和角加速度之间的关系。惯量和角加速度之间的关系。2023/1/122023/1/123535第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学拉格朗日拉格朗日方程方程拉格朗日动力学方程：拉格朗日动力学方程：L=K-P,L拉氏算子拉氏算子，K为动能，为动能，P为位（势）能。为位（势）能。拉格朗日力学仅基于能量项对系统变量及时间的微分，只需求拉格朗日力学仅基于能量项对系统变量及时间的微分，只需求速度而无需内力（系统各内力），多数情况下使用比较容易。速度而无需内力（系统各内力），多数情况下使用比较容易。2023/1/122023/1/123636第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学拉格朗日力学的两个基本方程：拉格朗日力学的两个基本方程：物体作物体作平动平动物体作物体作旋转运动旋转运动2023/1/122023/1/123737第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人动力学方程推导步骤机器人动力学方程推导步骤：(1)选取坐标系，选定完全而且独立的广义关节变量选取坐标系，选定完全而且独立的广义关节变量qi，i=1,2,n。(2)选定相应关节上的广义力选定相应关节上的广义力Fi：当：当qi是位移变量时，是位移变量时，Fi 为力；当为力；当qi是角是角度变量时，度变量时，Fi 为力矩。为力矩。(3)求出机器人各构件的动能和势能，构造拉格朗日函数。求出机器人各构件的动能和势能，构造拉格朗日函数。(4)代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程。代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程。方程简化措施方程简化措施：(1)当杆件长度不太长，重量很轻时，重力矩项可以省略。当杆件长度不太长，重量很轻时，重力矩项可以省略。(2)当关节速度不太大，机器人不是高速机器人时，含有当关节速度不太大，机器人不是高速机器人时，含有 项可项可以省略。以省略。(3)当关节加速度不太大，即关节电动机升、降速比较平稳时，含有当关节加速度不太大，即关节电动机升、降速比较平稳时，含有 项有时可以省略。但关节加速度减小会引起速度升降的时间增加，延项有时可以省略。但关节加速度减小会引起速度升降的时间增加，延长机器人作业循环的时间。长机器人作业循环的时间。2023/1/122023/1/123838第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学关节空间的动力学方程关节空间的动力学方程 两自由度平面机器人手臂为例两自由度平面机器人手臂为例D(q)nn正定对称矩阵，称为操作臂的惯性矩阵；正定对称矩阵，称为操作臂的惯性矩阵；n1的离心的离心力和科氏力矢量；力和科氏力矢量；G(q)n1的重力矢量，与操作臂形位的重力矢量，与操作臂形位q有关有关2023/1/122023/1/123939第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学操作空间动力学方程操作空间动力学方程 F广义操作力矢量广义操作力矢量；操作空间惯性矩阵；操作空间惯性矩阵；离心力和科氏力矢量；离心力和科氏力矢量；重力矢量；重力矢量；它们都是在操作空间中表示的。它们都是在操作空间中表示的。关节空间动力学方程和操作空间动关节空间动力学方程和操作空间动力学方程之间的对应关系力学方程之间的对应关系 2023/1/122023/1/124040第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学刚体动力学刚体动力学刚体的动能与位能（平移运动）M0 x1x0kcM1F动能位能耗能功F2023/1/122023/1/124141第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学刚体动力学刚体动力学刚体的动能与位能（平移运动平移运动）:当x0=0时，x1为广义坐标：x0和x1为广义坐标：牛顿-欧拉法(Newton-Euler)2023/1/122023/1/124242第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学刚体动力学刚体动力学刚体的动能与位能（旋转运动旋转运动）两自由度平面机器人动力学方程推导连杆1：连杆2：xy1d1m12d2m2(x1,y1)(x2,y2)第四章 机器人静力分析与静力分析与静力分析与静力分析与动力学动力学动力学动力学2023/1/122023/1/124343第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学刚体的动能与位能（旋转运动旋转运动）拉格朗日法求解动力学方程：构造拉格朗日函数L=K-P求取2023/1/122023/1/124444第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学刚体动力学刚体动力学拉格朗日法求解动力学方程（续）力矩力矩 惯量惯量 向心加速度系数向心加速度系数 哥氏加速度系数哥氏加速度系数 重力重力2023/1/122023/1/124545第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学刚体动力学刚体动力学拉格朗日法求解动力学方程（续）有效惯量：耦合惯量：向心加速度系数：哥氏加速度系数：重力项：2023/1/122023/1/124646第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学刚体动力学刚体动力学牛顿-欧拉法求解动力学方程首先求取动能K,位能P,消耗能D,外力作的功Wv动能Km2xy1d1m12d2(x1,y1)(x2,y2)r22023/1/122023/1/124747第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学刚体动力学刚体动力学牛顿-欧拉法求解动力学方程(续)v动能Kv位能Pv系统耗能Dv外力做的功Wm2xy1d1m12d2(x1,y1)(x2,y2)r22023/1/122023/1/124848第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学刚体动力学刚体动力学拉格朗日法求解动力学方程 牛顿-欧拉法求解动力学方程2023/1/122023/1/124949第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学刚体动力学刚体动力学牛顿牛顿-欧拉法求解动力学方程欧拉法求解动力学方程(续续)在不考虑消耗的能量时，即在不考虑消耗的能量时，即c1=c2=0,则该结果与则该结果与拉格朗日法的结果相同。拉格朗日法的结果相同。2023/1/122023/1/125050第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人机器人机器人机器人的动态特性的动态特性的动态特性的动态特性稳定性(stability)：临界阻尼 衰减振荡，等幅振荡，发散振荡空间分辨度(spatial resolution)：直角坐标机器人：恒定的空间分辨度关节式球面坐标机器人：关节空间分辨度不变，笛卡儿空间分辨度可变对示教机器人，其空间分辨度的一致性很关键精度(accuracy)：三个因素各个控制部件的分辨度各个机械部件的偏差目标 2023/1/122023/1/125151第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人机器人机器人机器人的动态特性的动态特性的动态特性的动态特性重复性(repeatability)：重复定位精度 短期重复性：温度变化，启动/停止机器人的瞬态响应 长期重复性：磨损，老化等 漂移：同时影响短期重复性和长期重复性空间分辨度、精度与重复性：空间分辨度描述机器人所能控制的工具末端最小增量精度涉及一定空间分辨度下对某个固定目标的定位能力重复性描述工具末端返回预先示教过的位置时所产生的偏差一般地，除了漂移外，重复性比精度高。2023/1/122023/1/125252第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人手的稳态负荷机器人手的稳态负荷静力和力矩的表示：F广义力不同坐标系间静力和力矩的变换 对于坐标系C,有：2023/1/122023/1/125353第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人手的稳态负荷机器人手的稳态负荷不同坐标系间静力和力矩的变换（续）2023/1/122023/1/125454第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人手的稳态负荷机器人手的稳态负荷关节力矩的确定负荷质量的确定：关节力矩的应用机器人移动未知负荷时，可以由关节误差力矩求此负荷的质量。步骤为：设定速度增益，使之在最大负荷下也不产生欠阻尼响应命令机器人以恒速提升该负荷计算各个关节的静态误差力矩与力 其中，ke为关节伺服放大器增益，km为伺服电机（装置）增益，e为静态位置误差假定机械手相对于基坐标系的位置由变换Z表示，未知负荷被末端工 2023/1/122023/1/125555第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人手的稳态负荷机器人手的稳态负荷具夹持在负荷质心上。假设末端位姿用 描述，用X表示负荷在基坐标系中的位姿，有：规定坐标系G处于负荷质心且与基坐标系平行在坐标系G中，末端夹手上1千克的负荷所产生的力为：定义变换Y，使下式成立：2023/1/122023/1/125656第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学Class is over.Class is over.Bye-bye!Bye-bye!2023/1/122023/1/125757第四章第四章第四章第四章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学