新教材人教A版高中数学选择性必修第二册4.2.2等差数列的前n项和公式-教学ppt课件(2课时).ppt

第1课时等差数列的前n项和公式 第2课时等差数列习题课 P58 4.2.2 等差数列的前n项和公式等差数列前等差数列前n n项和公式项和公式 公式一公式一适用条件适用条件 知首知首项项、末、末项项、项项数数公式二公式二适用条件适用条件 知首知首项项、公差、公差、项项数数【思考】【思考】(1)(1)对于公式二对于公式二,若将若将S Sn n看成关于看成关于n n的函数的函数,试判断此函数是什么函数试判断此函数是什么函数?其解析式具其解析式具有什么特点有什么特点?提示提示:公式二可变形为公式二可变形为 当当d0d0时可以看作不含常数项的关于时可以看作不含常数项的关于n n的一元二次式的一元二次式,反之反之,若一个数列的前若一个数列的前n n项和是不含常数项的一元二次式项和是不含常数项的一元二次式,则此数则此数列是等差数列列是等差数列.(2)(2)等差数列的前等差数列的前n n项和公式中项和公式中 的意义是什么的意义是什么?提示提示:即等差数列前即等差数列前n n项的平均数项的平均数.【素养小测】【素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”)(1)(1)对于对于a an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1成立的条件是成立的条件是nNnN*.()(2)(2)等差数列前等差数列前n n项和公式的推导方法我们称为项和公式的推导方法我们称为“倒序相加法倒序相加法”.()(3)(3)若数列若数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,则则a a3 3+a+a4 4+a+a5 5=S=S5 5-S-S2 2.()(4)1+3+5+7+9=(4)1+3+5+7+9=()提示提示:(1)(1).n1.n1且且nNnN*.(2).(2).等差数列具有等差数列具有a a1 1+a+an n=a=a2 2+a+an-1n-1=a=a3 3+a+an-2n-2=特征特征,可用倒序相加法可用倒序相加法.(3).(3).由数列的前由数列的前n n项和的定义可知此说法正确项和的定义可知此说法正确.(4)(4).1+3+5+7+9=.1+3+5+7+9=.2.2.在数列在数列aan n 中中,S,Sn n=2n=2n2 2-3n(nN-3n(nN+),),则则a a4 4等于等于()A.11A.11B.15B.15C.17C.17D.20D.20【解析】【解析】选选A.aA.a4 4=S=S4 4-S-S3 3=2=24 42 2-3-34-(24-(23 32 2-3-33)=11.3)=11.3.3.设设aan n 是等差数列是等差数列,若若a a2 2=3,a=3,a7 7=13,=13,则数列则数列aan n 的前的前8 8项和为项和为()A.128A.128B.80B.80C.64C.64D.56D.56【解析】【解析】选选C.C.设数列设数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,则则 4.4.平均数为平均数为1 0101 010的一组数构成等差数列的一组数构成等差数列,其末项为其末项为2 019,2 019,则该数列的首项为则该数列的首项为_._.【解析】【解析】设该数列的首项为设该数列的首项为x,x,由题意可得由题意可得:1 010=,:1 010=,解得解得x=1.x=1.答案答案:1 1类型一有关等差数列前类型一有关等差数列前n n项和的计算项和的计算【典例】【典例】1.1.设设S Sn n是等差数列是等差数列aan n 的前的前n n项和项和,若若a a1 1=-2 017,S=-2 017,S6 6-2S-2S3 3=18,=18,则则S S2 0192 019=()A.-2 017A.-2 017B.2 017B.2 017C.2 018C.2 018D.2 019D.2 0192.2.在等差数列在等差数列aan n 中中:(1)(1)已知已知a a5 5+a+a1010=58,a=58,a4 4+a+a9 9=50,=50,求求S S1010;(2)(2)已知已知S S7 7=42,S=42,Sn n=510,a=510,an-3n-3=45,=45,求求n.n.【思维【思维引】引】1.1.根据等差数列前根据等差数列前n n项和公式项和公式,解方程解方程,求出公差求出公差,即可得到相应即可得到相应的值的值.2.2.根据等差数列的通项公式和前根据等差数列的通项公式和前n n项和公式列方程组项和公式列方程组,解方程组解方程组,可得到相应的可得到相应的值值.【解析】【解析】1.1.选选D.D.设等差数列设等差数列aan n 的公差为的公差为d,d,因为因为a a1 1=-2 017,S=-2 017,S6 6-2S-2S3 3=18,=18,所以所以 化为化为:9d=18,:9d=18,解得解得d=2.d=2.则则 2.(1)2.(1)方法一方法一:由已知条件得由已知条件得 解得解得所以所以方法二方法二:由已知条件得由已知条件得 所以所以a a1 1+a+a1010=42,=42,所以所以 所以所以a a4 4=6.=6.所以所以所以所以n=20.n=20.【内化【内化悟】悟】解与等差数列前解与等差数列前n n项和有关的问题时项和有关的问题时,常用到哪些公式常用到哪些公式?体现了什么数学思想方体现了什么数学思想方法的应用法的应用?提示提示:常用到等差数列的通项公式和前常用到等差数列的通项公式和前n n项和公式项和公式,体现了方程思想的运用体现了方程思想的运用.【类题【类题通】通】等差数列前等差数列前n n项和公式的运算方法与技巧项和公式的运算方法与技巧类类型型“知三求二型知三求二型”基本量基本量a a1 1,d,n,a,d,n,an n,S,Sn n方法方法运用等差数列的通运用等差数列的通项项公式和前公式和前n n项项和公式建立方和公式建立方程程(组组),),通通过过解方程解方程(组组)求出未知量求出未知量思想思想方程的思想方程的思想注意注意利用等差数列的性利用等差数列的性质简质简化化计计算算;注意已知与未知条件的注意已知与未知条件的联联系系;有有时时运用整体代运用整体代换换的思想的思想【习练【习练破】破】1.(20201.(2020新高考全国新高考全国卷卷)将数列将数列2n-12n-1与与3n-23n-2的公共项从小到大排列得的公共项从小到大排列得到数列到数列aan n,则则aan n 的前的前n n项和为项和为_._.【解析】【解析】由题意知数列由题意知数列2n-12n-1为为1,3,5,7,9,11,13,1,3,5,7,9,11,13,3n-2,3n-2为为1,4,7,10,13,1,4,7,10,13,16,19,16,19,所以数列所以数列 a an n 为为1,7,13,19,1,7,13,19,即即a an n=1+6(n-1)=6n-5,=1+6(n-1)=6n-5,所以数列所以数列 a an n 的前的前n n项和为项和为 =3n=3n2 2-2n.-2n.答案答案:3n3n2 2-2n-2n2.2.已知等差数列已知等差数列aan n 中中,(1)a(1)a1 1=,S=,S4 4=20,=20,求求S S6 6;(2)a(2)a1 1=,d=-,S=,d=-,Sn n=-15,=-15,求求n n及及a an n;(3)a(3)a1 1=1,a=1,an n=-512,S=-512,Sn n=-1 022,=-1 022,求求d.d.【解析】【解析】(1)S(1)S4 4=4a=4a1 1+d=4a+d=4a1 1+6d=2+6d=20,+6d=2+6d=20,所以所以d=3.d=3.故故S S6 6=6a=6a1 1+d=6a+d=6a1 1+15d=3+15d=48.+15d=3+15d=48.(2)(2)因为因为 整理得整理得n n2 2-7n-60=0,-7n-60=0,解得解得n=12n=12或或n=-5(n=-5(舍去舍去),),所以所以(3)(3)由由 解得解得n=4.n=4.又由又由a an n=a=a1 1+(n-1)d,+(n-1)d,即即-512=1+(4-1)d,-512=1+(4-1)d,解得解得d=-171.d=-171.【加练【加练固】固】1.1.将含有将含有k k项的等差数列插入项的等差数列插入4 4和和6767之间之间,结果仍成一新的等差数列结果仍成一新的等差数列,并且新的并且新的等差数列所有项的和是等差数列所有项的和是781,781,则则k k的值为的值为()A.20A.20B.21B.21C.22C.22D.24D.24【解析】【解析】选选A.A.由数列前由数列前n n项和公式可得项和公式可得:解得解得k=20.k=20.2.2.已知等差数列已知等差数列aan n.(1)a(1)a1 1=,a=,a1515=-,S=-,Sn n=-5,=-5,求求d d和和n.n.(2)a(2)a1 1=4,S=4,S8 8=172,=172,求求a a8 8和和d.d.【解析】【解析】(1)(1)因为因为a a1515=+(15-1)d=-,=+(15-1)d=-,所以所以d=-.d=-.又又S Sn n=na=na1 1+d=-5,+d=-5,解得解得n=15n=15或或n=-4(n=-4(舍舍).).(2)(2)由已知由已知,得得 解得解得a a8 8=39,=39,又因为又因为a a8 8=4+(8-1)d=39,=4+(8-1)d=39,所所以以d=5.d=5.类型二等差数列前类型二等差数列前n n项和的性质项和的性质 【典例】【典例】1.(20201.(2020扬州高二检测扬州高二检测)已知数列已知数列aan n,b,bn n 都是等差数列都是等差数列,S,Sn n,T,Tn n分别分别是它们的前是它们的前n n项和项和,并且并且 则则 2.2.在项数为在项数为2n+12n+1的等差数列的等差数列aan n 中中,所有奇数项的和为所有奇数项的和为165,165,所有偶数项的和为所有偶数项的和为150,150,则则n n等于等于()A.9A.9B.10B.10C.11C.11D.12D.123.3.已知等差数列已知等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,且且S S1010=100,S=100,S100100=10,=10,试求试求S S110110.【思维【思维引】引】1.1.用等差数列前用等差数列前n n项和公式项和公式(含首项、末项、项数含首项、末项、项数)和等差数列的和等差数列的性质求解性质求解.2.2.综合利用等差数列的性质及其前综合利用等差数列的性质及其前n n项和公式推出项和公式推出 与与n n的关系的关系.3.3.方法一方法一:依据依据S S1010,S,S2020-S-S1010,S,S3030-S-S2020,S,S100100-S-S9090,S,S110110-S-S100100成等差数列解答成等差数列解答;方法二方法二:依据数列依据数列 是等差数列解答是等差数列解答;方法三方法三:直接分析直接分析S S110110,S,S100100,S,S1010之间的关系之间的关系.【解析】【解析】1.1.选选C.C.数列数列aan n,b,bn n 都是等差数列都是等差数列,S,Sn n,T,Tn n分别是它们的前分别是它们的前n n项和项和,并且并且 则则2.2.选选B.B.因为等差数列有因为等差数列有2n+12n+1项项,所以所以 所以所以所以所以n=10.n=10.3.3.方法一方法一:因为因为S S1010,S,S2020-S-S1010,S,S3030-S-S2020,S,S100100-S-S9090,S,S110110-S-S100100成等差数列成等差数列,设公差为设公差为d,d,前前1010项的和为项的和为:10:10100+d=10,100+d=10,所以所以d=-22,d=-22,所以前所以前1111项的和项的和S S110110=11=11100+d=11100+d=11100+100+(-22)=-110.(-22)=-110.方法二方法二:设等差数列设等差数列aan n 的公差为的公差为d,d,则则 所以数列所以数列 成等差数列成等差数列.所以所以 即即所以所以S S110110=-110.=-110.方法三方法三:设等差数列设等差数列aan n 的公差为的公差为d,d,S S110110=a=a1 1+a+a2 2+a+a1010+a+a1111+a+a1212+a+a110110=(a=(a1 1+a+a2 2+a+a1010)+(a)+(a1 1+10d)+(a+10d)+(a2 2+10d)+10d)+(a(a100100+10d)=S+10d)=S1010+S+S100100+100+10010d,10d,又又即即100d=-22,100d=-22,所以所以S S110110=-110.=-110.【类题【类题通】通】等差数列前等差数列前n n项和的性质项和的性质(1)(1)等差数列等差数列aan n 中中,S,Sn n,S,S2n2n-S-Sn n,S,S3n3n-S-S2n2n也构成等差数列也构成等差数列.(2)(2)若若aan n 与与bbn n 均为等差数列均为等差数列,且前且前n n项和分别为项和分别为S Sn n与与SSn n,则则 (3)(3)若等差数列若等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,则数列则数列 是等差数列是等差数列,且首项为且首项为a a1 1,公差公差为为 .(4)(4)项的个数的项的个数的“奇偶奇偶”性质性质.aan n 为等差数列为等差数列,公差为公差为d.d.若共有若共有2n2n项项,则则S S2n2n=n(a=n(an n+a+an+1n+1););若共有若共有2n+12n+1项项,则则S S2n+12n+1=(2n+1)a=(2n+1)an+1n+1;(5)(5)等差数列等差数列aan n 中中,若若S Sn n=m,S=m,Sm m=n(mn),=n(mn),则则S Sm+nm+n=-(m+n).=-(m+n).(6)(6)等差数列等差数列aan n 中中,若若S Sn n=S=Sm m(mn),(mn),则则S Sm+nm+n=0.=0.【习练【习练破】破】1.1.等差数列等差数列aan n 的前的前m m项和为项和为30,30,前前2m2m项和为项和为100,100,则它的前则它的前3m3m项和是项和是()A.130A.130B.170B.170C.210C.210D.260D.260【解析】【解析】选选C.C.因为因为S Sm m,S,S2m2m-S-Sm m,S,S3m3m-S-S2m2m成等差数列成等差数列,所以所以S Sm m+S+S3m3m-S-S2m2m=2(S=2(S2m2m-S-Sm m),),所以所以30+S30+S3m3m-100=2(100-30),-100=2(100-30),所以所以S S3m3m=210.=210.2.2.在等差数列在等差数列aan n 中中,a,a2 2+a+a4 4+a+a6 6=-3,a=-3,a3 3+a+a5 5+a+a7 7=6,=6,则则aan n 的前的前8 8项和为项和为()A.3A.3B.4B.4C.5C.5D.6D.6【解析】【解析】选选B.B.由由a a2 2+a+a4 4+a+a6 6=-3,a=-3,a3 3+a+a5 5+a+a7 7=6,=6,则则3(a3(a2 2+a+a7 7)=3,)=3,解得解得a a2 2+a+a7 7=1,a=1,an n 的前的前8 8项和项和=4.=4.【加练【加练固】固】1.1.已知等差数列已知等差数列aan n,b,bn n 的前的前n n项和分别为项和分别为S Sn n,T,Tn n,若对于任意的自然数若对于任意的自然数n,n,都有都有 则则 【解析】【解析】选选A.A.因为等差数列中因为等差数列中,若若m+n=p+q,m+n=p+q,则则a am m+a+an n=a=ap p+a+aq q;等差数列的前等差数列的前n n项和为项和为:所以所以所以所以 2.2.设等差数列设等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,若若S S3 3=9,S=9,S6 6=36,=36,则则a a7 7+a+a8 8+a+a9 9等于等于()A.63A.63B.45B.45C.36C.36D.27D.27【解析】【解析】选选B.B.因为因为a a7 7+a+a8 8+a+a9 9=S=S9 9-S-S6 6,而由等差数列的性质可知而由等差数列的性质可知,S,S3 3,S,S6 6-S-S3 3,S,S9 9-S-S6 6构构成等差数列成等差数列,所以所以S S3 3+(S+(S9 9-S-S6 6)=2(S)=2(S6 6-S-S3 3),),即即S S9 9-S-S6 6=2S=2S6 6-3S-3S3 3=2=236-336-39=45.9=45.类型三等差数列前类型三等差数列前n n项和的最值项和的最值【典例】【典例】1.1.设设aan n 是等差数列是等差数列,S,Sn n是其前是其前n n项和项和,且且S S5 5SSS8 8,则下列结论错误则下列结论错误的是的是()A.d0A.dSS5 5D.SD.S6 6和和S S7 7均为均为S Sn n的最大值的最大值2.(20182.(2018全国卷全国卷)记记S Sn n为等差数列为等差数列aan n 的前的前n n项和项和,已知已知a a1 1=-7,S=-7,S3 3=-15.=-15.(1)(1)求求aan n 的通项公式的通项公式;(2)(2)求求S Sn n,并求并求S Sn n的最小值的最小值.【思维【思维引】引】1.1.由已知条件分析由已知条件分析a a6 6,a,a7 7,a,a8 8的符号的符号,求求S Sn n的最大值的最大值,作差比较作差比较S S9 9与与S S5 5的大小的大小.2.(1)2.(1)解方程组即可求出首项、公差解方程组即可求出首项、公差,进而得到进而得到aan n 的通项公式的通项公式;(2)(2)可以把可以把S Sn n看作关于看作关于n n的二次函数从函数角度求最值的二次函数从函数角度求最值;也可以分析等差数列的也可以分析等差数列的项从哪一项开始由负变正项从哪一项开始由负变正,推出推出S Sn n的最小值的最小值.【解析】【解析】1.1.选选C.C.因为因为S S5 5SSS8 8,所以所以a a6 60,a0,a7 7=0,a=0,a8 80,0,可得可得d0,Sd0,S6 6和和S S7 7均为均为S Sn n的最大值的最大值,所以所以S S9 9S0,d0,d0时时,由不等式组由不等式组 可求得可求得S Sn n取最大值时的取最大值时的n n值值.当当a a1 100时时,由不等式组由不等式组 可求得可求得S Sn n取最小值时的取最小值时的n n值值.(2)(2)利用二次函数求利用二次函数求S Sn n的最值的最值.知道公差不为知道公差不为0 0的等差数列的前的等差数列的前n n项和项和S Sn n可以表示成可以表示成S Sn n=an=an2 2+bn(a0)+bn(a0)的形式的形式,我我们可将其变形为们可将其变形为若若a0,a0,则当则当 最小时最小时,S,Sn n有最小值有最小值;若若a0,a0,a0,a2 2+a+a2 0182 018=0,=0,则则S S2 0192 019=_;=_;当当S Sn n取取得最大值时得最大值时,n=_.,n=_.【解析】【解析】因为因为a a2 2+a+a2 0182 018=a=a1 1+a+a2 0192 019=0,=0,所以所以S S2 0192 019=0.=0.因为因为a a1 10,a0,a1 1+a+a2 0192 019=2a=2a1 1+2 018d=0,+2 018d=0,所以所以a a1 1+1 009d=0,+1 009d=0,所以所以a a1 0101 010=0,=0,所以当所以当S Sn n取得最大值时取得最大值时,n=1 009,n=1 009或或1 010.1 010.答案答案:0 01 0091 009或或1 0101 0102.2.在等差数列在等差数列aan n 中中,a,a1 1=25,S=25,S1717=S=S9 9,求求S Sn n的最大值的最大值.【解析】【解析】方法一方法一:利用前利用前n n项和公式和二次函数的性质项和公式和二次函数的性质.由由S S1717=S=S9 9,得得252517+17+(17-1)d=25(17-1)d=259+9+(9-1)d,(9-1)d,解得解得d=-2.d=-2.所以所以S Sn n=25n+(n-1)(-2)=-(n-13)=25n+(n-1)(-2)=-(n-13)2 2+169.+169.所以由二次函数的性质所以由二次函数的性质,得当得当n=13n=13时时,S,Sn n有最大值有最大值169.169.方法二方法二:由方法一由方法一,得得d=-2.d=-2.因为因为a a1 1=250,=250,由由 得得所以当所以当n=13n=13时时,S,Sn n有最大值有最大值,最大值为最大值为S S1313=13=1325+25+(-2)=169.(-2)=169.方法三方法三:由由S S1717=S=S9 9,得得a a1010+a+a1111+a+a1717=0,=0,而而a a1010+a+a1717=a=a1111+a+a1616=a=a1212+a+a1515=a=a1313+a+a1414,故故a a1313+a+a1414=0.=0.由方法一由方法一,得得d=-20,ad=-20,0,所以所以a a13130,a0,a14140.0,S0,S2 0172 0170,0,则当则当n=_n=_时时,S,Sn n最最大大.【解析】【解析】由等差数列的性质知由等差数列的性质知,S,S2 0172 017=2 017a=2 017a1 0091 0090,0,所以所以a a1 0091 0090,0,)0,所以所以a a1 0081 008+a+a1 0091 0090,0,而而a a1 0091 0090,0.0.因此当因此当n=1 008n=1 008时时,S,Sn n最大最大.答案答案:1 0081 0081.(20201.(2020南阳高二检测南阳高二检测)设等差数列设等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,若若S S2 2=4,S=4,S3 3=9,=9,则则S S5 5的的值是值是()A.15A.15B.30B.30C.13C.13D.25D.25【解析】【解析】选选D.D.已知等差数列已知等差数列aan n 中中S S2 2=4.S=4.S3 3=9,=9,则则a a3 3=S=S3 3-S-S2 2=9-4=5,=9-4=5,则则S S5 5=5a=5a3 3=25.=25.2.2.已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和公式是项和公式是S Sn n=2n=2n2 2+3n,+3n,则则 ()A.A.是公差为是公差为2 2的等差数列的等差数列B.B.是公差为是公差为3 3的等差数列的等差数列C.C.是公差为是公差为4 4的等差数列的等差数列D.D.不是等差数列不是等差数列【解析】【解析】选选A.A.因为因为S Sn n=2n=2n2 2+3n,+3n,所以所以 =2n+3,=2n+3,当当n2n2时时,=2n+3-2(n-1)-3=2,=2n+3-2(n-1)-3=2,故故 是公差为是公差为2 2的等差数列的等差数列.3.3.已知等差数列已知等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,若若a a3 3=-4,a=-4,a7 7=4,=4,则则()A.SA.S4 4SS6 6B.SB.S4 4=S=S5 5C.SC.S6 6S0,d0,则使得前则使得前n n项和项和S Sn n取得最小值的正取得最小值的正整数整数n n的值是的值是_._.【解析】【解析】由由|a|a5 5|=|a|=|a9 9|且且d0d0得得,a,a5 50,a00且且a a5 5+a+a9 9=0=0 2a2a1 1+12d=0+12d=0 a a1 1+6d=0,+6d=0,即即a a7 7=0,=0,故故S S6 6=S=S7 7,且最小且最小.答案答案:6 6或或7 7【新情境【新情境新思维】新思维】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他他们研究过如图所示的三角形数们研究过如图所示的三角形数:将三角形数将三角形数1,3,6,10,1,3,6,10,记为数列记为数列aan n,将可被将可被5 5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bbn n,可以推测可以推测:b:b20192019是数列是数列aan n 中的第中的第_项项.【解析】【解析】由前四组可以推知由前四组可以推知a an n=1+2+=1+2+n=,+n=,从而从而b b1 1=a=a4 4=10,b=10,b2 2=a=a5 5=15,b=15,b3 3=a=a9 9=45,b=45,b4 4=a=a1010=55,=55,依次可知依次可知,当当n=4,5,9,10,14,15,19,20,24,25,n=4,5,9,10,14,15,19,20,24,25,时时,由此知可被由此知可被5 5整除的三角形数每五个整除的三角形数每五个数中出现两个数中出现两个,即每五个数分为一组即每五个数分为一组,则该组的后两个数可被则该组的后两个数可被5 5整除整除,由于由于b b20192019是是第第20192019个可被个可被5 5整除的数整除的数,故它出现在数列故它出现在数列aan n 按五个一段分组的第按五个一段分组的第1 0101 010组的组的第第4 4个数字个数字,由此知由此知,b,b2 0192 019是数列是数列aan n 中的第中的第1 0091 0095+4=5 0495+4=5 049个数个数.答案答案:5 0495 049第2课时等差数列习题课 类型一由递推公式写数列的项类型一由递推公式写数列的项【典例】【典例】1.1.已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n满足满足a a1 1=,a=,an n+2S+2Sn nSSn-1n-1=0(n2,=0(n2,nNnN*),),则数列则数列aan n 的通项公式的通项公式a an n=_.=_.2.2.已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n=3n=3n2 2+2n.+2n.(1)(1)求求aan n 的通项公式的通项公式;(2)(2)判断判断aan n 是否为等差数列是否为等差数列.【思维【思维引】引】1.1.已知数列前已知数列前n n项和项和S Sn n和数列的第和数列的第n n项项a an n的关系式的关系式,用等差数列定用等差数列定义证出数列义证出数列 是等差数列是等差数列.2.2.利用利用n=1n=1时时,a,a1 1=S=S1 1,当当n2,nNn2,nN*时时a an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1求求a an n,用等差数列的定义证明用等差数列的定义证明.【解析】【解析】1.1.因为因为a an n+2S+2Sn nS Sn-1n-1=0,=0,所以所以a an n=-2S=-2Sn nS Sn-1n-1.当当n=1n=1时时,a,a1 1=.=.当当n2,nNn2,nN*时时,a,an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1,所以所以S Sn n-S-Sn-1n-1=-2S=-2Sn nS Sn-1n-1.因为因为a a1 1=,=,所以所以S Sn nS Sn-1n-10,0,式的两边同除以式的两边同除以S Sn nS Sn-1n-1得得:所以数列所以数列 是首项为是首项为2,2,公差为公差为2 2的等差数列的等差数列,所以所以 =2+2(n-1)=2n,=2+2(n-1)=2n,即即:S:Sn n=,=,则则因为因为a a1 1=不满足不满足 所以数列的通项公式为所以数列的通项公式为 答案答案:2.(1)2.(1)因为因为S Sn n=3n=3n2 2+2n,+2n,所以当所以当n2n2时时S Sn-1n-1=3(n-1)=3(n-1)2 2+2(n-1)=3n+2(n-1)=3n2 2-4n+1,-4n+1,所以所以a an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=(3n=(3n2 2+2n)-(3n+2n)-(3n2 2-4n+1)=6n-1.-4n+1)=6n-1.又又a a1 1=S=S1 1=5,=5,满足满足a an n=6n-1,=6n-1,所以数列所以数列aan n 的通项公式是的通项公式是a an n=6n-1.=6n-1.(2)(2)由由(1)(1)知知,a,an+1n+1-a-an n=6(n+1)-1-(6n-1)=6,=6(n+1)-1-(6n-1)=6,所以所以aan n 是等差数列是等差数列.【素养【素养探】探】在关于已知数列的前在关于已知数列的前n n项和项和S Sn n求求a an n的问题中的问题中,经常利用核心素养中的数学运算经常利用核心素养中的数学运算,根据根据S Sn n与与a an n的关系的关系,由由S Sn n求求a an n.将本例将本例2 2的条件的条件“S Sn n=3n=3n2 2+2n”+2n”改为改为“S Sn n=3n=3n2 2+2n-+2n-1”,1”,如何解答如何解答?【解析】【解析】(1)(1)因为因为S Sn n=3n=3n2 2+2n-1,+2n-1,所以当所以当n2n2时时S Sn-1n-1=3(n-1)=3(n-1)2 2+2(n-1)-1=3n+2(n-1)-1=3n2 2-4n,-4n,所以所以a an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=(3n=(3n2 2+2n-1)-(3n+2n-1)-(3n2 2-4n)=6n-1.-4n)=6n-1.又又a a1 1=S=S1 1=4,=4,不满足不满足a an n=6n-1,=6n-1,所以数列所以数列aan n 的通项公式是的通项公式是 (2)(2)由由(1)(1)知知,当当n2n2时时,a an+1n+1-a-an n=6(n+1)-1-(6n-1)=6,=6(n+1)-1-(6n-1)=6,但但a a2 2-a-a1 1=11-4=76,=11-4=76,所以所以aan n 不满足等差数列的定义不满足等差数列的定义,a,an n 不是等差数列不是等差数列.【类题【类题通】通】1.1.由由S Sn n求通项公式求通项公式a an n的步骤的步骤第一步第一步:令令n=1,n=1,则则a a1 1=S=S1 1,求得求得a a1 1;第二步第二步:令令n2,n2,则则a an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1;第三步第三步:验证验证a a1 1与与a an n的关系的关系:(1)(1)若若a a1 1适合适合a an n,则则a an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1.(2)(2)若若a a1 1不适合不适合a an n,则则 2.S2.Sn n与与a an n的关系式的应用的关系式的应用(1)“(1)“和和”变变“项项”.首先根据题目条件首先根据题目条件,得到新式得到新式(与条件所给项的和相邻与条件所给项的和相邻),),然后作差将然后作差将“和和”转转化为化为“项项”之间的关系之间的关系,最后求通项公式最后求通项公式.(2)“(2)“项项”变变“和和”.首先将首先将a an n转化为转化为S Sn n-S-Sn-1n-1,得到得到S Sn n与与S Sn-1n-1的关系式的关系式,然后求然后求S Sn n.提醒提醒:关于数列的式子中关于数列的式子中,如果含有如如果含有如a an-1n-1,S,Sn-1n-1,必须注明必须注明n2.n2.【习练【习练破】破】设正项数列设正项数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,并且对于任意并且对于任意nNnN*,a,an n与与1 1的等差中项等于的等差中项等于 ,求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式.【解析】【解析】由题意知由题意知,得得所以所以a a1 1=S=S1 1=1,=1,又因为又因为a an+1n+1=S=Sn+1n+1-S-Sn n=(a=(an+1n+1+1)+1)2 2-(a-(an n+1)+1)2 2,所以所以(a(an+1n+1-1)-1)2 2-(a(an n+1)+1)2 2=0.=0.即即(a(an+1n+1+a+an n)(a)(an+1n+1-a-an n-2)=0,-2)=0,因为因为a an n0,0,所以所以a an+1n+1-a-an n=2,=2,所以所以aan n 是以是以1 1为首项为首项,2,2为公差的等差数列为公差的等差数列,所以所以a an n=2n-1.=2n-1.【加练【加练固】固】数列数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n=-n=-n2 2+n-1,+n-1,求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式.【解析】【解析】n=1n=1时时,当当n2n2时时,因为因为 不适合不适合所以所以 类型二实际应用题类型二实际应用题【典例】【典例】1.1.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一朱世杰是历史上最伟大的数学家之一,他所著的他所著的四元玉鉴四元玉鉴卷中卷中“如像招数如像招数”五问中有如下问题五问中有如下问题:“:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只只云初日差六十四人云初日差六十四人,次日转多七人次日转多七人.”.”其大意为其大意为“官府陆续派遣官府陆续派遣1 8641 864人前往修人前往修筑堤坝筑堤坝,第一天派出第一天派出6464人人,从第二天开始每天派出的人数比前一天多从第二天开始每天派出的人数比前一天多7 7人人.”.”在在该问题中的该问题中的1 8641 864人全部派遣到位需要的天数为人全部派遣到位需要的天数为()A.9A.9B.16B.16C.18C.18D.20D.202.2.算法统宗算法统宗是中国古代数学名著是中国古代数学名著,由明代数学家程大位编著由明代数学家程大位编著,它对我国民它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用间普及珠算和数学知识起到了很大的作用,是东方古代数学的名著是东方古代数学的名著.在这部著在这部著作中作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的许多数学问题都是以歌诀形式呈现的,“,“九儿问甲歌九儿问甲歌”就是其中一首就是其中一首:一一个公公九个儿个公公九个儿,若问生年总不知若问生年总不知,自长排来差三岁自长排来差三岁,共年二百又零七共年二百又零七,借问长儿借问长儿多少岁多少岁,各儿岁数要详推各儿岁数要详推.在这个问题中在这个问题中,记这位公公的第记这位公公的第n n个儿子的年龄为个儿子的年龄为a an n,则则a a1 1=()A.23A.23B.32B.32C.35C.35D.38D.38【思维【思维引】引】1.1.每天派出的人数组成等差数列每天派出的人数组成等差数列,问题是知道首项、公差和前问题是知道首项、公差和前n n项项和和,求项数求项数.2.2.儿子的岁数成等差数列儿子的岁数成等差数列,问题是知道公差及前问题是知道公差及前9 9项和项和,求首项求首项.【解析】【解析】1.1.选选B.B.根据题意设每天派出的人数组成数列根据题意设每天派出的人数组成数列aan n,分析可得数列是首分析可得数列是首项项a a1 1=64,=64,公差公差d=7d=7的等差数列的等差数列,该问题中的该问题中的1 8641 864人全部派遣到位的天数为人全部派遣到位的天数为n,n,则则64n+64n+7=1 864,7=1 864,依次将选项中的依次将选项中的n n