利用导数研究函数的极值与最值课件.pptx

利用导数研究函数的极值与最值利用导数研究函数的极值与最值日期/时间一、考纲要求一、考纲要求1、了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件2、会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）日期/时间二、知识清单二、知识清单1.1.函数的极值与导数函数的极值与导数定义定义：设函数：设函数 在在 附近有定义附近有定义,如果对如果对 附近的所有附近的所有点点,都有都有 ,则称则称 为为 的一个极大值的一个极大值,记作记作 ;如果对如果对 附近的所有点附近的所有点,都有都有 ,则则称称 为为 的的 一个极小值一个极小值,记作记作 .极大极大值和极小值统称为极值值和极小值统称为极值.结论结论:设设 在在 处连续处连续,(1),(1)如果在如果在 附近的左侧附近的左侧 ,右侧右侧 ,那么那么 是极大值是极大值;(2);(2)如果在如果在 附近的左附近的左侧侧 ,右侧右侧 ,那么那么 是极小值是极小值;(3);(3)如果在如果在 附近附近,左右两侧导数值同号左右两侧导数值同号,那么那么 不是极值不是极值.利用导数求函数极值的步骤利用导数求函数极值的步骤:（1)1)求求 ;(2);(2)求方程求方程 的根的根;(3);(3)判断判断 在方程根左右两侧的符号在方程根左右两侧的符号;(4);(4)利用结论利用结论写出极值写出极值.日期/时间二、知识清单二、知识清单注意:(1)(1)在函数的整个定义域内在函数的整个定义域内,函数的极值不一定唯一函数的极值不一定唯一,在整个定义域内可能有多个极大值和极小值在整个定义域内可能有多个极大值和极小值;(2)(2)极大值和极小值没有必然联系极大值和极小值没有必然联系,极大值可能比极极大值可能比极小值还小小值还小;(3)(3)导数等于零的点不一定是极值点导数等于零的点不一定是极值点(例如例如:,但但 不是函数的极值点不是函数的极值点););(4)(4)可导函数在极值点处导数必为零可导函数在极值点处导数必为零.日期/时间二、知识清单二、知识清单2.2.函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值(1)(1)在闭区间在闭区间 上连续的函数上连续的函数 ,在在 上必有上必有最大值和最小值最大值和最小值;但在开区间但在开区间 上连续的函数上连续的函数不一定有最大值和最小值不一定有最大值和最小值.(2)(2)设函数设函数 在在 上连续上连续,在在 上可导上可导,求求在在 上的最大值和最小值的步骤如下上的最大值和最小值的步骤如下:求 在 内的极值;将 的各极值与 、比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.日期/时间三、近五年来命题情况三、近五年来命题情况20182018年全国1 1（文2121，理2121），全国3 3（理2121），北京（文1919，理1818），江苏（文1111），20172017年北京（文2020，理1919），全国2 2（理1111，2121），山东（理2020），江苏（理2020）20162016年全国2 2（理2121），全国3 3（理2121），北京（理1414），四川（文6 6），山东（文2020），天津（文2020，理2020），浙江（理1818）日期/时间三、近五年来命题情况三、近五年来命题情况20152015年 陕西（文1515），全国2 2（文2121），北京（文1919），浙江（文2020），安徽（文2121，理2121），山东（理2121），陕西（理1212），重庆（理2121）20142014年 天津（文1919），北京（文2020）日期/时间常考问题归类常考问题归类函数的极值问题函数的极值问题1 1、求函数的极值。先求导函数，令导函数为零，解、求函数的极值。先求导函数，令导函数为零，解出导函数的零点，并判断在对应零点左右两侧导数出导函数的零点，并判断在对应零点左右两侧导数值符号是否改变，以确定函数在该处是否取得极值，值符号是否改变，以确定函数在该处是否取得极值，若是求出该极值；若是求出该极值；2 2、已知极值求参数。先求导，在根据导数在极值点、已知极值求参数。先求导，在根据导数在极值点处的值为零，列出关于参数的方程，解出参数的值，处的值为零，列出关于参数的方程，解出参数的值，注意导数为零是函数取得极值的必要不充分条件，注意导数为零是函数取得极值的必要不充分条件，故需进行检验。故需进行检验。3 3、已知三次多项式函数有极值求参数的取值范围。、已知三次多项式函数有极值求参数的取值范围。先求导，导函数对应的一元二次方程有两不相等实先求导，导函数对应的一元二次方程有两不相等实根，判别式大于零，求出参数的取值范围。根，判别式大于零，求出参数的取值范围。日期/时间常考问题归类常考问题归类最值问题1、求连续函数在某一闭区间内的最值；2、已知最值或不等式恒成立求参数取值范围的问题。可通过参变分离将问题转化为即这样此问题就转化为求最值的问题。日期/时间四、命题特点四、命题特点1、单独考查利用导数研究函数的某一性质以单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现小题呈现 ，综合研究函数的性质以大题呈现；，综合研究函数的性质以大题呈现；2、利用导数求函数的单调区间和极值（最值）、结合单调性与不等式成立的情况求参数的范围是高考命题的热点；日期/时间四、命题特点四、命题特点3 3、以研究函数的单调性、单调区间、极值以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数方程、（最值）等问题为主，与不等式、函数方程、函数的图像等相结合，具有综合化更强的趋函数的图像等相结合，具有综合化更强的趋势；势；4 4、适度关注生活中的优化问题适度关注生活中的优化问题（20152015江苏文江苏文1515）日期/时间五、备考重点五、备考重点1、熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；2、熟练掌握利用导数研究函数单调性、极值（最值）的基本方法，灵活应用数形结合思想、分类讨论思想、整合思想、化归与转化思想、函数方程等思想分析和解决问题。日期/时间六、复习资料及使用六、复习资料及使用1、我们选用的是“五年高考三年模拟”，并且还订了一些试卷，如“伯乐马”、“衡水金卷”等.第一轮复习以“5+3”为主.二轮复习以做试卷和分析讲解试题为主.2、(一轮)课前要求学生对上课所涉及专题预习、填好知识清单并做相关资料的习题（教师预选）;上课先带学生一起看考纲内容，归纳知识点，后讲解高考题（必讲）和模拟题（选讲）.学生觉得困难的重点讲，讲了也不理解的不讲.3、高三一开始就抽时间对近五年全国卷的考题进行测试并精讲.日期/时间七、考题示例七、考题示例例1.(2017全国2理.11)若 是函数 的极值点，则 的极小值为（）A.B.C.D.解:,由题意得 ,解得 ,所以 ,可以求得 时，取得极小值 ,故选A.注意:导数的零点不一定是函数的极值点,极值点是导数的变号零点,在函数的极小值点附近,导数由负变正.日期/时间七、考题示例七、考题示例例例2.2.（20162016四川文四川文.6.6）已知）已知 为函数为函数 的极小值点，则的极小值点，则 （）A.-4 B.-2A.-4 B.-2 C.4C.4 D.2D.2解题思路解题思路:此题较容易此题较容易,结结合相关理论可知合相关理论可知 时时,取得极小值取得极小值,所以所以 ,故故选选D D.例例3.3.（20182018江苏文江苏文.11.11）若）若 在在 内有且只有一个零点内有且只有一个零点,则则 在在 上的最大值与最小值的和为上的最大值与最小值的和为_ .解题思路解题思路:本题考查导数在研究函数性质中的应用本题考查导数在研究函数性质中的应用.,当当 时时,在在 上恒成立上恒成立,则则 在在 上单调递增上单调递增,日期/时间七、考题示例七、考题示例此时此时 在在 内无零点内无零点,舍去舍去;当当 时时,由由得得 ,由由 得得 ,又又 在在 上有上有且只有一个零点且只有一个零点,所以所以 ,所以所以则则 ,当当时时 单调递增单调递增,当当 时时,单调递减单调递减,则则 ,又又 ,故故 ，可求得答案，可求得答案 .（本题较难（本题较难,突破点是导数与函数突破点是导数与函数单调性、极值的关系在解题中的应用，其中涉及到单调性、极值的关系在解题中的应用，其中涉及到分类讨论思想，数形结合思想等）分类讨论思想，数形结合思想等）日期/时间七、考题示例七、考题示例例例4.4.（20152015陕西文陕西文.15.15）函数）函数 在极值点在极值点处的切线方程为处的切线方程为_._.命题立意命题立意:本题考查导数的几何意义与应用，本题考查导数的几何意义与应用，涉及到极值点的求法涉及到极值点的求法,难度中等难度中等.解题思路：解题思路：,推出推出 ,经检经检验是极值点验是极值点,可写出切线方程为可写出切线方程为 .日期/时间七、考题示例七、考题示例5.（2018全国1文.21）已知函数 .（1）设 是函数 的极值点,求 ,并求 的单调区间;（2）证明:当 时 .解:(1)的定义域为 ,由题设知 ,所以 ,从而 当 时，;当 时，.所以,在 上单调递减,在 上单调递增.日期/时间七、考题示例七、考题示例(2)(2)当当 时时,.,.设设 ,则则 .当当 时时,.,.当当 时时 .所以所以,，因此因此,结论成立结论成立.(命题特点命题特点:本题考查导数在研究函数性质中的应用本题考查导数在研究函数性质中的应用,(1),(1)根据函数在某点取得极值根据函数在某点取得极值,则导函数在该点的函则导函数在该点的函数值为零求解数值为零求解 的值的值,从而得到从而得到 的解析式的解析式,进而根据导数的符号求解函数的单调区间进而根据导数的符号求解函数的单调区间;(2);(2)构造构造新函数新函数,通过求解新函数的最小值证明结论通过求解新函数的最小值证明结论.）本题第二问较难本题第二问较难,只有那些做题经验丰富只有那些做题经验丰富,并善于总并善于总结的一小部分同学才可能完成结的一小部分同学才可能完成.日期/时间七、考题示例七、考题示例6.6.（20182018全国全国1 1理理.21.21）已知函数）已知函数 .(1)(1)讨论讨论 的单调性的单调性;(2)(2)若若 存在两个极值点存在两个极值点 ,证明证明:.解析解析:(1):(1)的定义域为的定义域为 ,当当 时时 ,是是 上的增函数上的增函数;当当 时令时令 得得 或或结合图像及相关知识得出结论结合图像及相关知识得出结论;日期/时间七、考题示例七、考题示例(2)(2)由由(1)(1)可知可知,若若 存在两个极值点当且仅当存在两个极值点当且仅当 、是方程是方程 ,故故 ,不妨设不妨设则则 ,从而将未知数减少从而将未知数减少,故故 等价于等价于 日期/时间七、考题示例七、考题示例 设函数设函数 ,由由(1)知知 在在 上单调递减上单调递减,又又 ,所以所以 ,即原不等式成立即原不等式成立.(本题考查导数在研究函数单调性、极值等性质中的本题考查导数在研究函数单调性、极值等性质中的应用应用,较难较难.其中第二问中涉及到对要证明的不等式进其中第二问中涉及到对要证明的不等式进行转化行转化,构造新函数构造新函数,通过求解新函数的值域证明结论通过求解新函数的值域证明结论).日期/时间七、考题示例七、考题示例7.(20187.(2018全国全国3.3.理）理）已知函数已知函数 .(1)(1)若若 ,证明证明:当当 时时,;,;当当 时时,;(2)(2)若若 是是 的极大值点的极大值点,求求 .解析解析:(1):(1)当当 时时,.,.令令 ,当当 时时当当 时时,故故 ,所以所以 ,所以所以 在在 上单调递增上单调递增,又又 ,故结论成立故结论成立.日期/时间七、考题示例七、考题示例(2)(2)若若 ,.,.结合结合(1)(1)知当知当 时时,与与 是是 的极大值点矛盾的极大值点矛盾;若 ,设函数 .由于当 时,.故 和 同号,又 故 是是 的极大值点等价于的极大值点等价于 是是 的极大值点的极大值点.日期/时间七、考题示例七、考题示例如果 ，则当 ,且 时,不是不是 的极大值点的极大值点.如果如果 ,则则存在根存在根 ,故当故当 且且 时时,所以所以 不是不是 的极大值点的极大值点.如果如果 ,则则 ,当当 ,;,;当当时,.所以 是是 的极大值点的极大值点.故结论故结论成立成立.所以所以 .(本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值.第二小题难度非常大第二小题难度非常大)日期/时间七、考题示例七、考题示例8.(20188.(2018北京北京理理.18).18)设函数设函数(1)(1)若曲线若曲线 在点在点 处的切线与处的切线与 轴轴平行平行,求求 ;(2)(2)若若 在在 处取得极小值处取得极小值,求求 的取值范围的取值范围.(本题考查导数的几何意义本题考查导数的几何意义,利用导数研究函数的极利用导数研究函数的极值值.(1).(1)利用导数公式和导数的几何意义求解利用导数公式和导数的几何意义求解;(2);(2)对对函数求导函数求导,对参数的取值范围分类讨论对参数的取值范围分类讨论,利用导数与利用导数与函数极值的关系求解函数极值的关系求解.此题难度适中此题难度适中.).)日期/时间八、复习中的一些思考八、复习中的一些思考 导数的应用在高考中年年考导数的应用在高考中年年考,难度大难度大,平均分低平均分低.学生学起来十分困难学生学起来十分困难,遇到问题不能解决，一段时间遇到问题不能解决，一段时间以后学生产生了困惑、焦躁、紧张甚至是恐慌的不以后学生产生了困惑、焦躁、紧张甚至是恐慌的不良情绪，这种情绪不仅会使得我们复习低效，更会良情绪，这种情绪不仅会使得我们复习低效，更会影响学生的身心将康，对备考很不利影响学生的身心将康，对备考很不利.尽快走出盲目尽快走出盲目做题，转入有针对性、有重点的高效专题复习乃是做题，转入有针对性、有重点的高效专题复习乃是目前的重中之重。目前的重中之重。要解决当前的问题，我做了一些思考。对策如下：要解决当前的问题，我做了一些思考。对策如下：一、立足课本，夯实重点。一、立足课本，夯实重点。课本既是我们教学的依据，又是基础知识的载体，课本既是我们教学的依据，又是基础知识的载体，还是考高命题的基本生长点，因此我们的复习不能还是考高命题的基本生长点，因此我们的复习不能脱离课本。脱离课本。在高考即将来临之前的专题复习中立足在高考即将来临之前的专题复习中立足课本，扫清知识上的盲点显得尤为重要。课本，扫清知识上的盲点显得尤为重要。日期/时间八、复习中的一些思考八、复习中的一些思考如例如例1 1、2 2、4 4，这三个题不算难，但还是有很多同学丢分。，这三个题不算难，但还是有很多同学丢分。究其原因就是知识上存在盲点，如求导出错。盲点的存在究其原因就是知识上存在盲点，如求导出错。盲点的存在往往是致命的，但仅靠做题来扫清知识上的盲点几乎是不往往是致命的，但仅靠做题来扫清知识上的盲点几乎是不可能的，因此，对同学们而言，这一阶段平和心态、立足可能的，因此，对同学们而言，这一阶段平和心态、立足课本，对知识点做逐一、细致地盘查十分必要。课本，对知识点做逐一、细致地盘查十分必要。二、解读权威，抓住重点二、解读权威，抓住重点高三的复习时间非常宝贵，经不起半点浪费，一些学生一高三的复习时间非常宝贵，经不起半点浪费，一些学生一头扎进头扎进“题海题海”，但一段时间后大多感到不解和无助，我，但一段时间后大多感到不解和无助，我做了那么多题，为什么数学成绩不见明显好转呢？其实是做了那么多题，为什么数学成绩不见明显好转呢？其实是因为他们在做套题的过程中，有大量的解题是低效甚至是因为他们在做套题的过程中，有大量的解题是低效甚至是无效的；有些和当地的命题方向不符，有些是原本就已经无效的；有些和当地的命题方向不符，有些是原本就已经做熟了，还有的就是自己压根就不会的。所以我们在做题做熟了，还有的就是自己压根就不会的。所以我们在做题之前应选之前应选题，抓住重点选题。日期/时间八、复习中的一些思考八、复习中的一些思考那么如何把握哪些问题是考查重点？考试说明是高考命题的根本依据，是我们复习的重要参考。而考试说明只能告诉我们对某一考点考到什么要求，具体的考查方式无从得知，而往年的考题恰恰在这一方面给我们提供了最好的素材。通过近几年的考题我们可以总结考题规律、把握其动向。三、总结规律突破难点 通过前面的分析，我们知道，对于导数这一板块，其基点是求导，重点是利用导数研究函数的单调性、极（最）值，虽然，其中也不可避免涉及到一些含参讨论，但这不算太难，毕竟它的情况有限，这部分的难点往往体现在：日期/时间八、复习中的一些思考八、复习中的一些思考需要解题者通过分析把所求问题转为“利用导数研究函数的单调性、极（最）值”的问题，这个转化就比较灵活，我们只有总结规律，在一定程度上降低它的难度。如20182018全国卷全国卷1 1理科理科2121题题 四、注重纠错，补强弱点在数学复习中，纠错学习至关重要，因为出错的地方就是弱点所在，弱点补强了，强点依然强，那么水平自然就提升了。日期/时间