第七章 参数估计19978.ppt

第七章第七章 参数估计参数估计n点估计 n基于截尾样本的最大似然估计n估计量的评选标准 n区间估计n正态总体均值与方差的区间估计n分布参数的区间估计n单侧置信区间.1.1 点估计点估计一、参数估计的概念一、参数估计的概念 定义定义 设X1，Xn是总体X的一个样本，其分布函数为F(x;),。其中为未知参数,为参数空间,若统计量g(X1，Xn)可作为 的一个估计,则称其为的一个估计量，记为注：注：F(x;)也可用分布律或密度函数代替.若x1，xn是样本的一个观测值。由于g(x1，xn)是实数域上的一个点，现用它来估计，故称这种估计为点估计点估计。点估计的经典方法是矩估计法与最大似然估最大似然估计法计法。二、矩估计法二、矩估计法 关键点关键点：用样本矩作为总体同阶矩的估计，即EX：设X1，Xn为取自参数为 的指数分布总体的样本，求 的矩估计。例例1：设X1，Xn为取自总体B(m,p),的样本，其中m已知，0p1未知，求p的矩估计。例：例：设X1，Xn为取自总体(a,b)的样本 试求未知参数a,b 的矩估计。例例设总体XN(,2)，X1，Xn为样本，求未知参数和 2的矩估计。三、最大似然估计法三、最大似然估计法1、最大似然思想、最大似然思想 有两个射手，一人的命中率为0.9,另一人的命中率为0.1,现在他们中的一个向目标射击了一发，结果命中了，估计是谁射击的？一般说，事件A发生的概率与参数有关，取值不同，则P(A)也不同。因而应记事件A发生的概率为P(A|).若A发生了，则认为此时的值应是在中使P(A|)达到最大的那一个。这就是最大似最大似然思想。然思想。(1)设总体设总体X为离散型随机变量，它的分布律为为离散型随机变量，它的分布律为现有样本观察值现有样本观察值x1,x2,xn,其中其中xk取值于取值于ak,k=1,2问：问：根据最大似然思想，如何用根据最大似然思想，如何用x1,x2,xn估计估计?(2)设总体设总体X为连续型随机变量，概率密度为连续型随机变量，概率密度f(x;)现有样本观察值现有样本观察值x1,x2,xn,问：问：根据最大似然思想，如何用根据最大似然思想，如何用x1,x2,xn估计估计?2、似然函数与最大似然估计、似然函数与最大似然估计为该总体的为该总体的为该总体的为该总体的似然函数似然函数。对离散型总体有类似定义。对离散型总体有类似定义,只需将密度函数只需将密度函数f(x,)改为分布律改为分布律P(x,)即可即可定义：若有定义：若有使得使得则则称称 为为 的最大似然估计，记为的最大似然估计，记为 。例例5 设X1，Xn为取自参数为的泊松分布总体的样本，求未知参数 的最大似然估计。例例4 设X1，Xn为取自总体B(1,p),的样本，0p0未知，求参数 的最大似然估计。注注2：在某些参数估计问题中，不能通过似然在某些参数估计问题中，不能通过似然方程求导法得到最大似然估计，此时需要按最方程求导法得到最大似然估计，此时需要按最大似然的思想确定最大似然估计。大似然的思想确定最大似然估计。一、无偏性一、无偏性 设总体X的均值为 ,方差为 ,易见 7.3 7.3 估计量的评选标准估计量的评选标准例例1 1 试证明试证明:样本样本k阶矩阶矩 是总体是总体k阶矩阶矩 的的无偏估计。无偏估计。例例3 设X1，Xn为取自参数为 0的指数分布总体的样本，试证明 和 都是的无偏估计。试考察试考察 的矩估计和最大似然估计的无偏性。的矩估计和最大似然估计的无偏性。二、有效性二、有效性续例续例3 设X1，Xn为取自参数为 0的指数分布总体的样本，试比较的无偏估计量 和 的有效性。例例4 4 设设 和和 分别为总体分别为总体X的期望和方差的期望和方差，分别分别为取自总体为取自总体X的容量为的容量为n1,n2的两个样本的样本均值，的两个样本的样本均值，(1)(1)证证明明：对任意实数：对任意实数a0,b0,a+b=1，统计量统计量 都是都是 的无偏估计；的无偏估计；(2)(2)求求a,b，使得统计量使得统计量 最有效。最有效。三、相合性三、相合性例例5 设设 m为已知参数，为已知参数，p为未知为未知参数，参数，0p1，(1)求求p的的最最大似然估计大似然估计;(2)讨论所求估计量的讨论所求估计量的相合相合性。性。7.4 7.4 区间估计区间估计 定义：定义：设总体X的分布函数F(x；)含有未知参数，对于给定值（0 1),若由样本X1,Xn确定的两个统计量则称区间 为的置信水平为1的置信置信区间。区间。注：F(x;)也可换成概率密度或分布律。使解：解：若以表示标准正态分布的上分位点，若以表示标准正态分布的上分位点，则则/2/21-(1-b)1-因此，的置信度为1的置信区间为注：注：的1置性区间不唯一。都是的1置信区间。但=1/2时区间长最短，我们总是希望求得这样的置信区间。一般寻求未知参数一般寻求未知参数的置信区间的具体做法如下的置信区间的具体做法如下:(1)寻求一个样本X1,X2,Xn的函数W=W(X1,X2,Xn,),它包含待估参数，并且W的分布已知;(2)对于给定的置信水平1,定出两个常数a,b，使 P(a W(X1,X2,Xn,)b)=1,通常可根据W的分布,查表确定a,b的值；(3)由a W(X1,X2,Xn,)b得到等价的不等式 则就是的一个置信水平为1的置信区间。7.7.正态总体均值与方差的区间估计正态总体均值与方差的区间估计一、单个总体一、单个总体 的情况的情况 、均值均值 的的置信区间置信区间当已知时，由上节的例子知：的置信度为1的置信区间为当当 2未知时，因此的1置信区间为1-即考虑未知的情况，、方差方差 2的的置信区间置信区间因此2的置信度为1的置信区间为二、两个总体二、两个总体 的情况的情况 、均值差均值差 1 2的的置信区间置信区间()()可解得1-2 的1置信区间为2 2、方差比方差比 的的置信区间置信区间考虑 1，2未知的情况，7.7 7.7 单侧置信区间单侧置信区间 定义：定义：设总体X的分布函数F(x；)含有未知参数，对于给定值（0 1),若由样本X1,Xn确定的统计量则称区间 为的置信水平为1的单侧置信区间置信区间,并称 为置信下限置信下限;使得 同样,若统计量 使得则称区间 为的置信水平为1的单侧置信区间置信区间,并称 为置信下限置信下限。对于给定的置信水平1,有关正态总体的均值和方差的单侧置信区间,有与7.5节中双侧置信区间类似的结果。其它更多结果参见其它更多结果参见P205表表7.1。本章小结本章小结