(精品)1.2余弦定理 (3).ppt
1.1.2余弦定理余弦定理1.正正弦弦定定理理：在在任任一一个个三三角角形形中中，各各边边和和它它所所对对角角的正弦比相等，即的正弦比相等，即 =2.正正弦弦定定理理的的应应用用:从从理理论论上上正正弦弦定定理理可可解解决决两两类类问题：问题：1两角和任意一边，求其它两边和一角；两角和任意一边，求其它两边和一角；2两两边边和和其其中中一一边边对对角角，求求另另一一边边的的对对角角，进进而而可求其它的边和角。可求其它的边和角。在在RtABC中中(若若C=90)有：有：在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角还有什么关系呢？还有什么关系呢？对对于于任任意意一一个个三三角角形形来来说说，是是否否可可以以根根据据一一个个角角和和夹此角的两边，求出此角的对边？夹此角的两边，求出此角的对边？推导推导 如图在如图在 中，中，、的长分别为的长分别为 、。即即同理可证同理可证1余余弦弦定定理理：三三角角形形任任何何一一边边的的平平方方等等于于其其他他两两边边平平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即1/5/20232余弦定理可以解决的问题余弦定理可以解决的问题利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。1/5/2023例例1 1在在ABCABC中，已知中，已知a a7 7，b b1010，c c6 6，求，求A A、B B和和C.C.解：解：0.7250.725，A44A44 0.80710.8071，C36C36,B B180180(A(AC)100.C)100.(sinC(sinC 0.59540.5954,C 36 C 36或或144144(舍舍).).)例例2 2在在ABCABC中，已知中，已知a a2.7302.730，b b3.6963.696，C C82822828，解这个三角形，解这个三角形.解：由解：由 ，得，得 c4.297 0.7767 0.7767 A39A3922 B B180180(A(AC)C)58583030sinAsinA 0.62990.6299A=39A=39或或141141(舍舍)例例3 3 ABCABC三三个个顶顶点点坐坐标标为为A(6A(6，5)5)、B(B(2 2，8)8)、C C(4(4，1)1)，求角，求角A.A.解法一：解法一：解法一：解法一：|AB|AB|BC|BC|AC|AC|A84 A84解法二：解法二：解法二：解法二：(8 8，3)3)，(2 2，4).4).cosA cosA =A84 A841.1.在在ABCABC中，中，b bCosCosA A=a acoscosB B，则三角形为，则三角形为()()A.A.直角三角形直角三角形 B.B.锐角三角形锐角三角形C.C.等腰三角形等腰三角形 D.D.等边三角形等边三角形C C解法一：利用余弦定理将角化为边解法一：利用余弦定理将角化为边.bcosAacosB,b b2c2a2a2c2b2 a2b2 ab故此三角形是等腰三角形故此三角形是等腰三角形解法二：利用正弦定理将边转化为角解法二：利用正弦定理将边转化为角.b bcoscosA Aa acoscosB B 又又b2sinB a2sinA 2sinBcosA2sinAcosB sinsinA AcoscosB BcoscosA AsinsinB B0 0 sinsin（A AB B）0 0 0A B AB AB0 即即AB 故此三角形是等腰三角形故此三角形是等腰三角形 2.在在ABC中，若中，若a2b2+c2，则，则ABC为为 ；若；若a2=b2+c2，则，则ABC为为 ；若；若a2b2+c2且且b2a2+c2且且c2a2+b2，则，则ABC为为 。3.在在ABC中，中，sinA=2cosBsinC，则三角形，则三角形为为 。4.在在ABC中，中，BC=3，AB=2，且，且 ，A=。直角三角形直角三角形等腰三角形等腰三角形锐角三角形锐角三角形钝角三角形钝角三角形120
