第四章--环境规划与管理的数学-环境规划与管理电子教案课件.ppt

第四章第四章 环境规划与管理的环境规划与管理的 数学基础数学基础 第一节第一节 环境数据处理方法环境数据处理方法 第二节第二节 最优化分析方法最优化分析方法 第三节第三节 常用决策分析方法常用决策分析方法 第四节第四节 环境数学模型环境数学模型 第一节第一节 环境数据处理方法环境数据处理方法一、数据的表示方法 列表法：列表法：将数据列成表格，将各变量的数值依照一定的形式和顺序一一对应起来，它通常是整理数据的第一步，能为标绘曲线图或整理成数学公式打下基础。图示法：图示法：将数据用图形表示出来，它能用更加直观和形象的形式将复杂的数据表现出来，可以直观地看出数据变化的特征和规律，为后一步数学模型的建立提供依据。插值法计算数值。插值法计算数值。1.列表法例:研究电阻的阻值与温度的关系时，测试结果如下：测量序号温度(t)/电阻(R)/1105104222941092342711324600118057501224691012672.图示法n图示法的第一步就是按列表法的要求列出因变量y与自变量x相对应的yi与xi数据表格。n作曲线图时必须依据一定的法则，只有遵守这些法则，才能得到与实验点位置偏差最小而光滑的曲线图形。n坐标纸的选择：常用的坐标系为直角坐标系，包括笛卡尔坐标系（又称普通直角坐标系）、半对数坐标系和对数坐标系。3.插值法计算数值例：用分光光度法测定溶液中铁的含量,测得标准曲线数据如下：Fe浓度/（gmL-1）2 4 6 8 10 12吸光度（A）0.097 0.200 0.304 0.408 0.510 0.613测得未知液的吸光度为0.413，试求未知液中铁的含量。（1）作图插值法 在图的纵坐标上0.413处找到直线上对应点，读出其对应的横坐标数值8.122即为未知液中铁的含量。此式即为比例法内插公式，从图上可看出，因为用yc代替了yd，产生了的误差。（2）比例法所以 在上面的例子中，x的差值为1，实际上x的差值可以为任意恒量，令此恒量为h，做出差分表的通式。xyy2y3y4yaa+ha+2ha+3h a+4h.yaya+hya+2hya+3hya+4h.yaya+hya+2hya+3h.2ya2ya+h2ya+2h.3ya3ya+h.4ya.表中：ya =ya+h -ya 2ya=ya+h -ya 3ya=2 ya+h -2 ya 4ya=3 ya+h -3 ya可以推得：nya=n-1 ya+h -n-1 ya1.位置特征数（1）算术平均数：式中：x1，x2，xn为样本个体数据，n为样本个数。（4）调和平均数：（3）几何平均数：（5）中位数环境数据有时显得比较分散，甚至个别的数据离群偏远，难以判断去留，这时往往用到中位数。样本数据依次排列（从大到小或者从小到大），居中间位置的数即为中位数，若数据个数为偶数，则中位数为正中两个数的平均值。只有当数据的分布呈正态分布时，中位数才代表这组数据的中心趋向，近似于真值。（1）级差（全距）：（2）差方和，样本方差和样本标准差差方和：样本方差：样本标准差：（3）变异系数：2.离散特征数 3.分布形态特征数 刻划数据分布形态的特征数有两个：偏态系数和峰态系数。（1）偏态系数 主要描述数据频率分布对称特征，反映数据是对称分布或偏向某方向。（2）峰态系数 峰态系数描述数据分布陡峭程度。式中：s为样本标准差。二、异常数据的剔除 在处理实验数据的时候，我们常常会遇到个别数据偏离预期或大量统计数据结果的情况，如果我们把这些数据和正常数据放在一起进行统计，可能会影响实验结果的正确性，如果把这些数据简单地剔除，又可能忽略了重要的实验信息。这里重要的问题是如何判断异常数据，然后将其剔除。判断和剔除异常数据是数据处理中的一项重要任务，目前的一些方法还不是十分完善，有待进一步研究和探索。目前人们对异常数据的判别与剔除主要采用物理判别法和统计判别法两种方法。物理判别法就是根据人们对客观事物已有的认识，判别由于外界干扰、人为误差等原因造成实测数据偏离正常结果，在实验过程中随时判断，随时剔除。统计判别法是给定一个置信概率，并确定一个置信限，凡超过此限的误差，就认为它不属于随机误差范围，将其视为异常数据剔除。1.拉依达准则 则应将xp从该组数据中剔除，至于选择3s还是2s与显著性水平有关，显著性水平表示的是检验出错的几率为，或检验的可置信度为1。3s相当于显著水平0.01，2s相当于显著水平0.05。若可疑数据xp与样本数据之算术平均值的偏差的绝对值大于3倍（或2倍）的标准偏差，即：2.格拉布斯准则 用格拉布斯准则检验可疑数据xp时，选取一定的显著性水平，若：则应将xp从该组数据中剔除，称为格拉布斯检验临界值，可查相关表格得到。以上准则是以数据按正态分布为前提的，当数据偏离正态分布,特别是测量次数很少时，则判断的可靠性就差。因此，对粗大误差除用剔除准则外，更重要的是要提高工作人员的技术水平和工作责任心。另外,要保证测量条件稳定，防止因环境条件剧烈变化而产生的突变影响。当 xi 服从正态分布时，用不同的公式求得下表中的f 值，再经过查表，得到相应的临界值，进行比较,若计算值f(n,)视为异常值，舍弃；再对剩余数值进行检验，直到没有异常值为止。狄克逊通过模拟实验认为：n7，使用 f10；8n10，用 f11；11n13，用 f21 ；n14，用 f22效果好。nf(n,)f 的计算公式的计算公式=0.01=0.01=0.05=0.05x(1)可以时可以时3 30.9880.9880.9410.9414 40.8890.8890.7650.7655 50.7800.7800.6420.6426 60.6980.6980.5600.5607 70.6370.6370.5070.5078 80.6830.6830.5540.5549 90.6350.6350.5120.51210100.5970.5970.4470.44711110.6790.6790.5760.57612120.6420.6420.5460.54613130.6150.6150.5210.52114140.6410.6410.5460.54615150.6160.6160.5250.52516160.5950.5950.5070.50717170.5770.5770.4900.49018180.5610.5610.4750.47519190.5470.5470.4620.46220200.5350.5350.4500.45021210.5240.5240.4400.44022220.5140.5140.4300.43023230.5050.5050.4210.42124240.4970.4970.4130.41325250.4890.4890.4060.406三、数据的误差分析（一）几种误差的基本概念绝对误差：绝对误差观测值-真值。绝对误差反映了观测值偏离真值的大小。通常所说的误差一般是指绝对误差。相对误差：相对误差是绝对误差和真值的比值，常用百分数表示。算术平均误差可以反映一组数据的误差大小。标准误差也称均方根误差或标准偏差，它常用来表示观测数据的精密度，能明显地反映出较大的个别误差，标准误差越小，说明数据精密度越好。例题:滴定的体积误差V绝对误差相对误差20.00 mL0.02 mL0.1%2.00 mL0.02 mL1.0%（二）误差的来源及分类（二）误差的来源及分类1.1.随机误差随机误差n随机误差是在一定条件下以不可预知的规律变化着的误差。这些偶然因素是操作者无法严格控制的，故无法完全避免随机误差。但它的出现一般具有统计规律，大多服从正态分布。2.系统误差 3.过失误差n过失误差是由于操作人员不仔细、操作不正确等原因引起的，它是完全可以避免的。n系统误差是指由某个或某些不确定的因素所引起的误差。当条件一旦确定，系统误差就是一个客观上的恒定值，它不能通过多次测量取平均值的方法来消除，只能根据仪器的性能、环境条件或个人偏差等进行校正，使之降低。（三）误差分析（三）误差分析 误差可能是由于随机误差或系统误差单独造成的，还可能是两者的叠加。误差分析中，常采用精密度、正确度和准确度来表示误差的性质。精密度反映了随机误差大小的程度，是指在相同条件下，对被测对象进行多次反复测量，测量值之间的一致(符合)程度。正确度指测量值与其“真值”的接近程度。对于一组数据来说，精密度高并不意味着正确度也高；反之，精密度不好，但当测量次数相当多时，有时也会得到好的正确度。准确度指被测对象测量值之间的一致程度以及与其“真值”的接近程度。准确度、正确度和精密度的关系四、数据的标准化处理 在大批的环境统计数据中，当数据的物理量不同、单位或量值差别较大时，常常会给下一步分析带来困难，这时就有必要对数据进行标准化处理，从而提高计算的精度。环境管理与规划中，常采用下面的公式进行标准化处理：式中：uij为xij标准化后对应的数据，xij(i=1，2，3，m；j=1，2，3，n)为一批数据中第i个因子的第j个数据，si、分别为第i个因子标准差和平均值。第二节第二节 最优化分析方法最优化分析方法 一、线性规划二、非线性规划 三、动态规划一、线性规划 在环境规划管理中，线性规划常常用来解决两类优化问题：一是如何优化资源配置使产值最大或利润最高，二是如何统筹安排以便消耗最少的资源或排放最少的污染物。（=）（=）（=）0 0一般线性规划问题的求解，最常用的算法是单纯形法。二、非线性规划 在环境规划与管理中，某些问题的决策模型可能会出现下面的情况：目标函数非线性，约束条件为线性；目标函数为线性，约束条件非线性；目标函数与约束条件均为非线性函数。上述情况均属于非线性规划问题，其数学模型的一般形式是：0 上页式中：（x1，x2，xn）T为n维欧氏空间En中的向量，它代表一组决策变量。如果需目标函数最大，可由 =-转换为求-的最小问题。当某约束为 ，则可用不等式 约束代替。数值求解非线性规划的算法大体分为两类：一是采用逐步线性逼近的思想，通过一系列非线性函数线性化的过程，利用线性规划获得非线性规划的近似最优解；二是采用直接搜索的思想，根据部分可行解或非线性函数在局部范围内的某些特性，确定迭代程序，通过不断改进目标值的搜索计算，获得最优或满足需要的局部最优解。三、动态规划 在环境规划管理中，经常遇到多阶段最优化问题，即各个阶段相互联系，任一阶段的决策选择不仅取决于前一阶段的决策结果，而且影响到下一阶段活动的决策，从而影响到整个决策过程的优化问题。这类问题通常采用动态规划方法求解。基本原理为：作为多阶段决策问题，其整个过程的最优策略应具有这样的性质，即无论过去的状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，其后一系列决策必须构成最优决策。可以把多阶段决策问题分解成许多相互联系的小问题，从而把一个大的决策过程分解成一系列前后有序的子决策过程，分阶段实现决策的“最优化”，进而实现“总体最优化”方案。为使最后决策方案获得最优决策效果，动态规划求解可用下列递推关系式表示：式中：k 阶段数，k=n-1，3，2，1xk第k阶段的状态变量，即k1阶段决策的结果。第k阶段所有状态成一状态集；第k阶段的决策变量，它代表第k阶段处于状态xk时的选择，即决策；第k阶段从状态xk转移到下一阶段状态uk(xk)时的阶段效果。第三节第三节 常用决策分析方法常用决策分析方法 决策是指通过对解决问题备选方案的比较，从中选出最好的方案。决策贯穿于环境管理与规划的各个方面，是管理与规划的核心。n技术经济分析中的决策，是指对多方案进行评价与择优，从而选定一个最满意的方案。n决策的分类n按决策的条件确定型、非确定型、风险型n按决策的对象 宏观、微观n按决策在企业组织中的地位分类 高层决策、中层决策、基层决策决策技术 一、决策树法含义：决策树是把方案的一系列因素按它们的相互关系用树状结构表示出来，再按一定程序进行优选和决策的技术方法。优点：（1）便于有次序、有步骤、直观而又周密地考虑问题；（2）便于集体讨论和决策；（3）便于处理复杂问题的决策。决策树图形 表示决策点，从它引出的分枝称为策略方案分枝，分枝树反映可能的方案数；表示策略方案节点，其引出的分枝称为概率分枝，分枝数目反映可能的自然状态数；表示事件节点，又称末梢。决策树图形 适用对象：多阶段决策、前一阶段的决策影响后续阶段的结构和决策的项目。方法：用决策树的形式列出决策问题的逻辑结构。从决策树的末梢向决策点倒退，计算出不同决策方案下的期望值，将未占优的方案去掉，直到得出初始的决策方案。运用决策树技术的步骤：（1）绘制决策树图；（2）预计可能事件（可能出现的自然状态）及其发生的概率；（3）计算各策略方案的损益期望值；（4）比较各策略方案的损益期望值，进行择优决策。若决策目标是效益，应取期望值大的方案；若决策目标是费用或损失，应取期望值小的方案。例题：（参考书目：环境管理学-杨贤智编著）有一石油化工企业，对一批废油渣进行综合利用。它可以先做实验，然后决定是否综合利用；也可以不做实验，只凭经验决定是否综合利用。做实验的费用每次为3000元，综合利用费每次为10000元。若做出产品，可收入40000元；做不出产品，没有收入。各种不同情况下的产品成功概率均已估计出来，都标在图1上。试问欲使收益期期望值为最大，企业应如何作出决策。根据图中给出数据求解。决策树采用逆顺序计算法。1 1计算事件点计算事件点、的期望值的期望值1234试验概率为0.6综合利用-3000-10000产品成功概率为0.85产品不成功概率为0.15不综合利用0040000图图1 决策树决策树产品成功概率为0.1产品成功概率为0.55产品不成功概率为0.9产品不成功概率为0.45不综合利用不综合利用00004000040000不试验概率为0.4综合利用综合利用-10000-10000好不好 决策点 决策（事件）点 支出符号40 0000.8500.1534 00040 0000.1000.904 00040 0000.5500.4522 000原决策树根据以上算出的期望值可简化为图2a：2.在决策点 2、3、4作出决策2 按max（34 00010 000），024 000，决定综合利用。3 按max（4 00010 000），00，决定不综合利用。4 按max（22 00010 000），012 000，决定综合利用。决策树继续简化为图2b：图图2 决策树决策树3.计算状态点的期望值：24 0000.600.4144004.在决策1作出决策。5.最后得出整个问题的决策序列为：不做实验、直接综合利用，收入期望值为12 000元。二、决策矩阵 决策矩阵又称为损益矩阵，它是利用损益的期望值进行决策，常用于有限条件下资源分配的最优化决策问题。方案方案自然状态自然状态s1(P1)sj(Pj)sn(Pn)1V11V1jV1niVi1VijVinmVm1VmjVmn 1，2，m是满足决策目标要求的m个可行的独立备选方案，所有方案构成的集合A=1，2，m 称为决策空间，决策者在此范围内选择最终方案；S1，S2，Sn是每一种方案都可能遇到的外部条件，所有外部条件的集合S=S1，S2，Sn称为状态空间；P1，P2，Pn是各种外部状态可能发生的概率，其发生的概率总和为1，即：，决策矩阵的矩阵元素Vij表示第i个方案在第j种外部条件下所产生的收益或损失。三、多目标决策方法 在环境管理与规划问题中,同时存在着多个目标，每个目标都要求达到其最优值，并且各目标之间往往存在着冲突和矛盾，这类问题就是多目标决策问题。解决这类决策问题的方法就是多目标决策方法。目标规划模型的形式为：式中：，是2m维行向量；对应项的权数，（i=1，2，2m）；D=()T，是2m维列向量；X，A，R，B分别是n维决策向量，X的系数矩阵m2m阶矩阵，m维约束常数项组成的列向量。第四节第四节 环境数学模型环境数学模型 一、数学模型概述 二、模型的建立三、模型参数的估算方法四、模型的检验一、数学模型概述 环境数学模型是应用数学语言和方法来描述环境污染过程中的物理、化学、生物化学、生物生态以及社会等方面的内在规律和相互关系的数学方程。它是建立在对环境系统进行反复的观察研究，通过实验或现场监测，取得大量的有关信息和数据，进而对所研究的系统行为动态、过程本质和变化规律有了较深刻认识的基础上，经过简化和数学演绎而得出的一些数学表达式，这些表达式描述了环境系统中各变量及其参数间的关系。数学模型主要应用于环境规划与管理、环境影响评价和环境质量预测几个方面，其类型主要包括大气扩散模型、水文与水动力模型、水质模型、土壤侵蚀模型、沉积物迁移模型和物种栖息地模型等，每一类模型又可按模型的空间维数、时间相关性、数学方程特征等来进行分类。按空间维数分类零维模型一维模型二维模型三维模型按时间相关性分类动态模型稳态模型按数学方程特征分类按模型是否含随机变量分类按模型中变量阶次分类按模型所属数学分支分类代数模型微分方程模型函数方程模型不等式模型随机模型确定性模型线性模型非线性模型初等数学模型几何模型图论模型马氏链模型规划模型按数学方法分类按建模目的分类描述模型分析模型预报模型优化模型决策模型控制模型 白箱模型黑箱模型灰箱模型按对模型结构了解程度分类二、模型建立建立数学模型的步骤n了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。n根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步，建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。1.建模准备2.模型假设1.图解法n采用点和线组成的用以描述系统的图形称为图模型，可用于描述自然界和人类社会中大量事物和实物之间的关系。n图模型形象、直观，对决策者了解系统结构和功能之间的关系很有帮助。但图解建模法作为一种描述性方法，往往精确度较差，而且受人的视觉影响而局限于三维空间中，因此它通常作为建立系统方程式模型的辅助分析工具来用。建立模型的方法2.质量平衡法 n根据质量平衡原则建立微分方程是最常用的建立白箱模型的方法。n应用质量平衡方法必须知道物质流的方向和通量，污染物质反应的方式和速度，以及各种污染物之间的相关关系和关联作用。n环境数学模型中很多都是在质量平衡的基础上建立的。值得注意的是，几乎每一个利用质量平衡原则建立的模型中都包含了一个或多个待定参数，它们一般很难由过程的机理确定，且数值又随时间、空间变化，因此需要借助于大量的观测数据最终确定参数。3.概率统计法n回归分析法建立在对客观事物进行大量试验和观察的基础上，是一种用来寻找隐藏在某些现象中的规律性的数理统计方法。n回归分析法就是通过分析因素之间的因果关系和影响程度进行预测，用过去和现在的环境监测数据确定函数关系式，按最小二乘法原则确定函数式中的参数值，进而建立回归预测模型，用于预测环境要素特征发展变化的规律。n根据变量之间函数形式的不同，回归分析分为线性回归和非线性回归；根据自变量个数的多少，可分为一元回归和多元回归。n根据数据处理方法的不同，时间序列预测方法主要分为移动平均法、加权滑动平均法和指数平均法。三、模型参数的估值方法 由于环境系统中的模型基本上都是灰箱模型，其中至少存在着一个待定参数，因此参数的估计是建立环境数学模型非常重要的一项工作。下面介绍几种主要的估值方法。（一）图解法（一）图解法 凡是给定的公式或数据可以直接描述成一条直线，或经过一定处理后可以转化为直线时，常常采用图解法估计参数。作图时，将自变量x和因变量y标注在直角坐标系中，确定每一个数据点位，把所有的点位连接起来，形成一条直线，其数学表达式为：y=b+ax 式中：a是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。（二）经验公式法（二）经验公式法 根据长时期的实际经验，人们提出了许多经验公式来估计数学模型中的相关参数。应注意的是，使用经验公式要求该系统条件与建立经验公式的条件一致或相近，否则就会出现很大偏差。（三）线性回归法（三）线性回归法 此法适用于自变量xi(i=1，2，n)与因变量y呈一次线性关系的情况。线性回归分析有两个基本假设：一是所有的自变量的值xij(j=1，2，m)均不存在误差，因变量的值 含有测量误差；二是与各测量值 拟合得最好的线性方程y=a1x1+a2x2+aixi+anxn+b 是能使各点到直线的竖向偏差的平方和Z最小的直线。各点到直线的竖向偏差的平方和为：根据极值存在的条件，分别对Z做ai、b的一阶偏导，使：由此可以求得偏差平方和Z最小时的参数值 ai(i=1，2，n)、b。四、模型的检验数学模型只能近似地反映实际问题中的关系和规律，到底反映得好不好，还需要接受检验，如果数学模型建立得不好，没有正确地描述所给的实际问题，数学解答再正确也是没有用的。因此，在得出数学解答之后还要让所得的结论接受实际的检验，检验其是否合理和是否可行等。所谓检验就是用独立于确定参数时所用数据的新观测数据与模型的计算值相比较，进行误差分析，进行数据稳定性分析，如果不符合实际，还应设法找出原因，修改原来的模型，重新求解和检验，直到比较合理可行，才能算是得到了一个解答。但是，十全十美的答案是没有的，已得到的解答仍有改进的余地，可以根据实际情况，或者继续研究和改进；或者暂时告一段落，待将来有新的情况和要求后再作改进。检验包括两部分，一是检验模型的计算结果和实际观测数据之间的吻合程度，二是对模型进行灵敏度分析。其中灵敏度分析用来估计模型计算结果的偏差，本节仅介绍模型的吻合度检验方法。1相关系数法 相关系数法假设观测值y和计算值y存在一定的线性关系：y=+y+式中：和分别是计算值和观测值线性关系的截矩和斜率，是两者间的误差。相关系数检验需进行相应的显著性分析，只有当假设=0和=1为真时，用相关系数验证才有实际意义。相关系数的计算公式：上式中 和 分别表示观测值和计算值的平均值；和 分别是第i个观测值和计算值；R是相关系数，R越接近1，相关性越强，R越接近于0，相关性越弱；n代表观测值数量。2.相对误差法相对误差法也是吻合度检验的常用方法之一。相对误差的计算公式为：通常，我们常采用中值误差（累积频率为50的误差值）作为衡量模型精确度的度量标准。中值误差的计算公式为：上式：e0.5是中值误差；n是测量数据的数目。习题1.计算下面数据的各种平均值、标准差、算术平均误差和级差。0.83，0.76，0.89，0.73，0.92，0.81，0.92，0.75，0.88，0.79，0.90，0.842.对某合金中铜的含量进行测定，不同的人员测定的数据为：56.91，57.13，57.21，57.36，57.41，58.49，58.56，59.11，59.76，60.31，试用格拉布斯准则检验是否有应舍去的数据。3.有一组三因子数据：x1=(1,3,4,5)，x2=(0.2,0.3,0.4)，x3=(32,35,36)，试进行标准化处理。