中考综合模拟检测《数学卷》带答案解析.pdf

中考数学综合模拟测试卷学校 _ 班级 _ 姓名 _ 成绩 _ 第卷（选择题共 30分）一、选择题（共 10小题，每小题 3分，计 30分，每小题只有一个选项是符合题意的，请将正确答案的序号填在题前的答题栏中）1.相反数等于 2 的数是（）A.2B.2C.12D.2 2.如图是由5 个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的左视图是（）A.B.C.D.3.将一副三角板如下图放置，使点A落在DE上，若BCDEP，则AFC的度数为（）A.90 B.75 C.105 D.120 4.正比例函数ykx图象经过点(,9)k，且经过第一，三象限，则k的值为（）A.3 B.3C.3 或3D.9 5.下列运算：236aaa；236aa；55aaa；2222a bca bca bc，其中正确的个数是（）A.2 个B.3 个C.4 个D.1 个6.如图，在平行四边形ABCD 中，AC、BD 相交于点O，点 E 是 OA 的中点，连接BE 并延长交AD 于点 F，已知 SAEF 3，则下列结论：1=2AFFD；SBCE30；SABE9；AEF ACD，其中一定正确的是（）A.B.C.D.7.如图，一次函数y1 k1x+b1与反比例函数22kyx的图象交于点A（1，3），B（3，1）两点，若y1y2，则x 的取值范围是（）A.x1 B.x3 C.0 x3 D.x3 或 0 x1 8.如图，在 ABC 中，ABAC，点 D、E分别是边AB、AC 的中点，点G、F 在 BC 边上，四边形DGFE 是正方形若DE4cm，则 AC 的长为（）A.4cmB.25cmC.8cmD.45cm 9.如图，点A、B、C、D 在O 上，?CBCD，CAD 30，ACD 50，则 ADB（）A.30B.50C.70D.8010.若二次函数y=ax2+bx+c（a0）图象经过点（2，0），且其对称轴为x=1，则使函数值y0 成立的x 的取值范围是（）A.x 4 或 x2B.4x2C.x 4 或 x2D.4x2 第卷（非选择题共 90 分）二、填空题（本题共4 道小题，每小题 3 分，计 12 分）11.实数 a，b，c 在数轴上对应点的位置如图所示，则bc_a（填“”“”或“”）12.正多边形的中心角与该正多边形的一个内角的关系是_13.如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点 A和 C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，且ABy 轴，AB4，ABC 的面积为2，将 ABC 以点 B 为旋转中心，顺时针旋转90得到 DBE，一反比例函数图象恰好过点 D 时，则此反比例函数解析式是_14.如图，AOB60，点 P 是 AOB 内一定点，且OP2，若点 M、N 分别是射线OA、OB 上异于点 O的动点，则 PMN 周长的最小值是_ 三、解答题（本题共11道小题，计 78分，解答时写出过程）15.计算：0231(2)()927216.解分式方程：7422xxx17.如图，已知 ABC，射线 BC 上有一点D求作：以 BD 为底边的等腰MBD，点 M 在 ABC 内部，且到ABC 两边的距离相等18.已知：如图，ABAD，ACAE，BAG DAF求证：BCDE19.某中学为了帮助贫困学生读书，由校团委向全校2400 名学生发起了“脱贫攻坚我在行”爱心捐款活动，为了解捐款情况，校团委随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图1 和图 2，请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受随机调查的学生人数为，图 中 m的值是；（2）请补全条形统计图；（3）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；（4）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10 元的学生人数20.为了测量休闲凉亭AB 的高度，某数学兴趣小组在水平地面D 处竖直放置一个标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得 B、E、D 在同一水平线上，如图所示该小组在标杆的F 处通过平面镜E 恰好观测到凉亭顶端A，在 F 处测得凉亭A 顶端的仰角为30，平面镜E 的俯角为45，FD 2 米，求休闲凉亭AB 的高度（结果保留根号）21.2018 年，广州国际龙舟邀请赛于6 月 23 日在中山大学北门广场至广州大桥之间的珠江河段举行上午 8时，参赛龙舟同时出发，甲、乙两队在比赛中，路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示，甲队在上午 11 时 30 分到达终点（1）在比赛过程中，乙队何时追上甲队？（2）在比赛过程中，甲、乙两队何时相距最远？22.某校组织一项公益知识竞赛，比赛规定：每个代表队由3 名男生、4 名女生和1 名指导老师组成但参赛时，每个代表队只能有3 名队员上场参赛，指导老师必须参加，另外 2 名队员分别在3 名男生和 4 名女生中各随机抽出一名七年级（1）班代表队有甲、乙、丙三名男生和A、B、C、D4 名女生及1名指导老师组成求：（1）抽到 D 上场参赛的概率；（2）恰好抽到由男生丙、女生C 和这位指导老师一起上场参赛的概率（请用“画树状图”或“列表”的方式给出分析过程）23.如图，PA、PB是Oe的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交e于点D（1）求证：APOCPO（2）若Oe的半径为3，6OP，30C，求PC的长24.如图，已知直线y 2x+4 分别交 x 轴、y 轴于点 A、B抛物线过A、B两点，点 P 是线段 AB上一动点，过点 P 作 PCx 轴于点 C，交抛物线于点D（1）如图 1，设抛物线顶点为M，且 M 的坐标是（12，92），对称轴交AB 于点 N求抛物线的解析式；是否存在点P，使四边形MNPD 为菱形？并说明理由；（2）是否存在这样的点D，使得四边形BOAD 的面积最大？若存在，求出此时点D 的坐标；若不存在，请说明理由25.（1）问题发现如图 1，ACB 和 DCE 均为等边三角形，点A、D、E 在同一条直线上，连接BE填空：AEB 的度数为；线段 AD、BE之间的数量关系为（2）拓展研究如图 2，ACB 和 DCE 均为等腰直角三角形，ACBDCE90，点 A、D、E在同一条直线上，CM为 DCE 中 DE 边上的高，连接BE，请判断 AEB 的度数及线段CM、AE、BE 之间的数量关系，并说明理由（3）解决问题如图 3，在正方形 ABCD 中，CD 22，若点 P 满足 PD2，且BPD 90，请直接写出点A 到 BP的距离答案与解析第卷（选择题共 30分）一、选择题（共 10小题，每小题 3分，计 30分，每小题只有一个选项是符合题意的，请将正确答案的序号填在题前的答题栏中）1.相反数等于 2 的数是（）A.2B.2C.12D.2【答案】A【解析】【分析】直接利用相反数的定义得出答案【详解】解：相反数等于2 的数是：2.故选 A【点睛】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键2.如图是由5 个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的左视图是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据几何体三视图的性质进行判断该几何体的左视图即可【详解】它的左视图是故答案为：B【点睛】本题考查了几何体三视图的问题，掌握几何体三视图的性质是解题的关键3.将一副三角板如下图放置，使点A落在DE上，若BCDEP，则AFC的度数为（）A.90B.75C.105D.120【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质可得30EBCE，再根据三角形外角的性质即可求解AFC的度数【详解】/BC DE30EBCE453075AFCBBCE故答案为：B【点睛】本题考查了三角板的角度问题，掌握平行线的性质、三角形外角的性质是解题的关键4.正比例函数ykx 的图象经过点(,9)k，且经过第一，三象限，则k的值为（）A.3B.3C.3 或3D.9【答案】A【解析】【分析】将点(,9)k代入 ykx 中，解出k的值，再根据函数图象经过的象限，确定k的值即可【详解】将点(,9)k代入 ykx 中29k解得3k正比例函数ykx 的图象经过第一，三象限3k故答案为：A【点睛】本题考查了正比例函数的问题，掌握正比例函数的图象和性质是解题的关键5.下列运算：236aaa；236aa；55aaa；2222a bca bca bc，其中正确的个数是（）A.2 个B.3 个C.4 个D.1 个【答案】A【解析】【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、整式的加减法则进行计算即可【详解】235aaa，错误；236aa，正确；5552aaa，错误；2222a bca bca bc，正确；故正确的有2 个故答案为：A【点睛】本题考查了整式的运算问题，掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、整式的加减法则是解题的关键6.如图，在平行四边形ABCD 中，AC、BD 相交于点O，点 E 是 OA的中点，连接BE 并延长交AD 于点 F，已知 SAEF 3，则下列结论：1=2AFFD；SBCE30；SABE9；AEF ACD，其中一定正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析】根据平行四边形的性质得到AE13CE，根据相似三角形的性质得到比例式，等量代换得到AF13AD，于是得到AF1FD2；故正确；根据相似三角形的性质得到SBCE27；故错误；根据三角形的面积公式得到 SABE 12，故正确；由于AEF 与 ADC 只有一个角相等，于是得到AEF 与 ACD 不一定相似，故错误【详解】解：在?ABCD 中，12AOAC，点 E 是 OA 的中点，13AECE，ADBC，AFE CBE，13AFAEBCCE，ADBC，13AFAD，AF1FD2；故 正确；SAEF3，AEFBCE1S9SVV，SBCE27；故 错误；13EFAEBECEQ13AEFABESSSABE9，故 正确；BF 不平行于CD，AEF 与 ADC 只有一个角相等，AEF 与 ACD 不一定相似，故错误，故选 B【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键7.如图，一次函数y1 k1x+b1与反比例函数22kyx的图象交于点A（1，3），B（3，1）两点，若y1y2，则x 的取值范围是（）A.x1B.x3C.0 x3D.x 3或 0 x1【答案】D【解析】【分析】根据两函数图象的交点，图象的位置可确定y1y2时 x 的范围【详解】解：一次函数图象位于反比例函数图象的下方，由图象可得当x3 或 0 x1 时，y1y2；故选 D【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象位于反比例函数图象的下方是解题关键8.如图，在 ABC 中，ABAC，点 D、E分别是边AB、AC 的中点，点G、F 在 BC 边上，四边形DGFE 是正方形若DE4cm，则 AC 的长为（）A.4cmB.25cmC.8cmD.45cm【答案】D【解析】【分析】根据三角形的中位线定理可得出BC4，由 ABAC，可证明 BGCF 2，由勾股定理求出CE，即可得出AC 的长【详解】解：点D、E分别是边AB、AC 的中点，DE12BC，DE4cm，BC8cm，ABAC，四边形DEFG 是正方形，DGEF，BD CE，在 RtBDG 和 RtCEF，BDCEDGEF，RtBDGRtCEF（HL），BGCF2，EC25，AC45cm故选 D【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定、勾股定理、等腰三角形的性质以及正方形的性质，是基础题，比较简单9.如图，点A、B、C、D 在O 上，?CBCD，CAD 30，ACD 50，则 ADB（）A.30B.50C.70D.80【答案】C【解析】【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出ACB ADB180 CAB ABC，进而得出答案【详解】解：?CBCD，CAD30，CAD CAB 30，DBC DAC 30，ACD50，ABD50，ACB ADB 180 CAB ABC180 50 30 30 70故选 C【点睛】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出ABD 度数是解题关键10.若二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=1，则使函数值y0 成立的x 的取值范围是（）A.x 4 或 x2B.4x2C.x 4 或 x2D.4x2【答案】D【解析】【分析】由抛物线与x 轴的交点及对称轴求出另一个交点坐标，根据抛物线开口向下，根据图象求出使函数值y0成立的 x 的取值范围即可【详解】二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=1，二次函数的图象与x 轴另一个交点为（4，0），a 0，抛物线开口向下，则使函数值y0 成立的 x 的取值范围是4x2故选 D第卷（非选择题共 90 分）二、填空题（本题共4 道小题，每小题 3 分，计 12 分）11.实数 a，b，c 在数轴上对应点的位置如图所示，则bc_a（填“”“”或“”）【答案】【解析】分析】观察数轴，找出a、b、c 三个数的大概范围，即可进行判断【详解】解：由a，b，c 三点所在数轴上的位置可知，4a 3，1b0，2c3，bc 3，bca故答案为【点睛】本题考查的是利用数轴比较两个数的大小，总是右边的数总比左边的数大12.正多边形的中心角与该正多边形的一个内角的关系是_【答案】互补【解析】【分析】根据正多边形的中心角的定义可得到正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，然后利用正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角的互补得到正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补【详解】解：设正多边形的边数为n，则正多边形的中心角为360n，正多边形的一个外角等于360n，所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角的互补，所以正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补故答案为互补【点睛】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于 2 的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆掌握正多边形的有关概念13.如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点 A和 C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，且ABy 轴，AB4，ABC 的面积为2，将 ABC 以点 B 为旋转中心，顺时针旋转90得到 DBE，一反比例函数图象恰好过点 D 时，则此反比例函数解析式是_【答案】y12x【解析】【分析】先根据三角形的面积公式求得OA 的长，得到点 B 的坐标，再根据旋转的性质得BDBA4，DBA 90，则 BDx 轴，再求出D 点的坐标，然后利用待定系数法求出反比例函数解析式【详解】解：ABy 轴，AB 4，ABC 的面积为2，SABC12AB?OA124OA2OA2，OA1，B（1，4）将 ABC 以点 B 为旋转中心，顺时针旋转90得到 DBE，ABBD4，ABD90，DBx 轴，设 DB 与 y 轴交于点F，DF DBBF413，D（3，4），设反比例解析式为ykx，k 34 12此反比例函数解析式是y12x故答案为y12x【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：先设出含有待定系数的反比例函数解析式ykx（k为常数，k 0）；再把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；接着解方程，求出待定系数；然后写出解析式也考查了旋转的性质与三角形的面积14.如图，AOB60，点 P 是 AOB 内一定点，且OP2，若点 M、N 分别是射线OA、OB 上异于点 O的动点，则 PMN 周长的最小值是_【答案】2 3【解析】【分析】作点 P关于 OA 的对称点F，点 P关于 OB 的对称点 E，连接 EF，OE，OF，则 EF 即 PMN 周长的最小值，由作图可知 OEF 是等腰三角形，即可求解；【详解】解：作点P 关于 OA 的对称点F，点 P关于 OB 的对称点E，连接 EF，OE，OF，则 EF 即 PMN 周长的最小值，AOB 60，EOF120，由对称性可知：OFOP OE2，OEF OFE30，EF23.故答案是：23.【点睛】考查轴对称求最短路线问题；熟练掌握利用点的对称将三条线段和转化为一条线段是解题的关键三、解答题（本题共11道小题，计 78分，解答时写出过程）15.计算：0231(2)()9272【答案】-1【解析】【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，平方根、立方根定义计算即可求出值【详解】解：原式1+4 3+（3）1【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键16.解分式方程：7422xxx【答案】x3【解析】【分析】方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解【详解】解：去分母得：x4x87，移项合并得：5x15，解得：x3，经检验 x3 是分式方程的解【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验17.如图，已知 ABC，射线 BC 上有一点D求作：以 BD 为底边的等腰MBD，点 M 在 ABC 内部，且到ABC 两边的距离相等【答案】详见解析【解析】【分析】先作 ABC 的平分线，再作BD 的垂直平分线，它们相交于M，则 MBD 满足条件【详解】解：如图，MBD 为所作【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了等腰三角形的性质18.已知：如图，ABAD，ACAE，BAG DAF求证：BCDE【答案】详见解析【解析】【分析】根据等式的性质得出DAE BAC，利用 SAS证明 DAE 与 BAC 全等，进而利用全等三角形的性质解答即可【详解】证明：BAG DAF，BAG+CAE DAF+CAE，即 CAB EAD，ABAD，ACAE，ABC ADE（SAS），BCDE【点睛】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：AAS、SSS、SAS、SSA、HL注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角19.某中学为了帮助贫困学生读书，由校团委向全校2400 名学生发起了“脱贫攻坚我在行”爱心捐款活动，为了解捐款情况，校团委随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图1 和图 2，请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受随机调查的学生人数为，图 中 m的值是；（2）请补全条形统计图；（3）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；（4）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10 元的学生人数【答案】（1）50，32；（2）详见解析；（3）众数：10 元；中位数：15 元；（4）768【解析】【分析】（1）由 5元的人数及其所占百分比可得总人数，用10 元人数除以总人数可得m 的值；（2）总人数乘以15 元对应百分比可得其人数，据此可补全图形；（3）根据统计图可以分别得到本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（4）根据统计图中的数据可以估计该校本次活动捐款金额为10 元的学生人数【详解】解：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为48%50 人，1650 100%32%，m 32，故答案为50、32；（2）15 元的人数为5024%12，补全图形如下：（3）本次调查获取的样本数据的众数是：10 元，本次调查获取的样本数据的中位数是：15元；（4）估计该校本次活动捐款金额为10 元的学生人数为2400 32%768人【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件20.为了测量休闲凉亭AB 的高度，某数学兴趣小组在水平地面D 处竖直放置一个标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得 B、E、D 在同一水平线上，如图所示该小组在标杆的F 处通过平面镜E 恰好观测到凉亭顶端A，在 F 处测得凉亭A 顶端的仰角为30，平面镜E 的俯角为45，FD 2 米，求休闲凉亭AB 的高度（结果保留根号）【答案】休闲凉亭 AB 的高度为（4+23）米【解析】【分析】设 AB 为 x 米，根据正切的定义列式计算，得到答案【详解】解：如图所示，由题意可得：DF BH2 米，FH DB，HFE FED AEB45，FDE AHF ABD90，AFH30，DFE FED 45，AEB EAB45，DEDF 2 米，EBAB，设休闲凉亭AB 的高度为x 米，则 EBABx 米，FH DB（x+2）米，在 RtAFH 中，tanAFH AHFH，3232xx，x4+23，答：休闲凉亭AB的高度为（4+23）米【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键21.2018 年，广州国际龙舟邀请赛于6 月 23 日在中山大学北门广场至广州大桥之间的珠江河段举行上午 8时，参赛龙舟同时出发，甲、乙两队在比赛中，路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示，甲队在上午 11 时 30 分到达终点（1）比赛过程中，乙队何时追上甲队？（2）在比赛过程中，甲、乙两队何时相距最远？【答案】（1）出发 1 小时 40 分（或者说上午10 点 40分）时，乙队追上甲队（2）在比赛过程中，甲、乙两队在出发后1 小时（或者上午9 时）相距最远【解析】【分析】（1）从图象看，甲队是OA 和 AB 段，乙队是OC 段，分别通过相关点的坐标，求出它们的解析式，联立OC 与 AB 解析式即可解出交点，交点横坐标即为乙队追上甲队的时间；（2）从图象看，一小时的时候两者相距较远，再将其与乙队到达终点时的距离比较即可【详解】解：（1）对于乙队，x1 时，y16x，OC 解析式为：y16x对于甲队，当 0 x1 时，令 yk1x，将（1，20）代入得：k120，y20 x；当 x1 时，设 AB 解析式为：yk2x+b，将（1，20）和（2.5，35）分别代入得2220kb352.5kb，解得2 10kb10，y10 x+10联立 OC 与 AB 解析式得161010yxyx，解得 x53出发 1 小时 40 分（或者说上午10 点 40 分）时，乙队追上甲队（2）1 小时内，两队相距最远为2016 4米，之后到相遇，距离在变小；乙队追上甲队后，两队的距离为：16x（10 x+10）6x 10，当 x 值取最大，即当 16x35，x3516时，6x1063516103.1254在比赛过程中，甲、乙两队在出发后1 小时（或者上午9 时）相距最远【点睛】本题为一次函数的应用综合题，需要分别求出相关线段的函数解析式，以及通过解析式联立求交点，数形结合等进行分析，难度略大22.某校组织一项公益知识竞赛，比赛规定：每个代表队由3 名男生、4 名女生和1 名指导老师组成但参赛时，每个代表队只能有3 名队员上场参赛，指导老师必须参加，另外 2 名队员分别在3 名男生和 4 名女生中各随机抽出一名七年级（1）班代表队有甲、乙、丙三名男生和A、B、C、D4 名女生及1名指导老师组成求：（1）抽到 D 上场参赛的概率；（2）恰好抽到由男生丙、女生C 和这位指导老师一起上场参赛的概率（请用“画树状图”或“列表”的方式给出分析过程）【答案】（1）14；（2）112【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有12 种等可能的结果数，找出恰好抽到由男生丙、女生C 和这位指导老师一起上场参赛的结果数，然后根据概率公式求解【详解】解：（1）抽到 D 上场参赛的概率14；（2）画树状图为：共有 12 种等可能的结果数，其中恰好抽到由男生丙、女生C 和这位指导老师一起上场参赛的结果数为1，所以恰好抽到由男生丙、女生C 和这位指导老师一起上场参赛的概率112【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A 或事件 B 的概率23.如图，PA、PB是Oe的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交e于点D（1）求证：APOCPO（2）若Oe的半径为3，6OP，30C，求PC的长【答案】（1）详见解析；（2）6 3PC【解析】【分析】（1）根据切线长定理证明（2）根据切线的性质得到PAC=90，根据勾股定理求出AP，根据含 30的直角三角形的性质计算即可【详解】解：（1）连接OBPA、PB是Oe的切线OAPA，OBPB90OAPOBAAOOB，OPOPRT PAORT PBOVVAPOCPO（2）在RTPBO中6OP，3OB由勾股定理知3 3PB又在RTOBC中，30C，3OB33 3BCOB33 3BCOB6 3PCPBBC【点睛】本题考查了圆的综合问题，掌握切线长定理、切线的性质、勾股定理、含30 的直角三角形的性质是解题的关键24.如图，已知直线y 2x+4 分别交 x 轴、y 轴于点 A、B抛物线过A、B两点，点 P 是线段 AB上一动点，过点 P 作 PCx 轴于点 C，交抛物线于点D（1）如图 1，设抛物线顶点为M，且 M 的坐标是（12，92），对称轴交AB 于点 N求抛物线的解析式；是否存在点P，使四边形MNPD 为菱形？并说明理由；（2）是否存在这样的点D，使得四边形BOAD 的面积最大？若存在，求出此时点D 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）y 2x2+2x+4；不存在点P，使四边形MNPD 为菱形；（2）存在，点D 的坐标是（1，4）【解析】【分析】（1）由一次函数图象上点的坐标特征求得点B 的坐标，设抛物线解析式为ya21922x，把点B的坐标代入求得a的值即可；不存在点P，使四边形MNPD 为菱形设点P的坐标是（m，2m+4），则 D（m，2m2+2m+4），根据题意知 PDMN，所以当 PDMN 时，四边形MNPD 为平行四边形，根据该等量关系列出方程2m2+4m32，通过解方程求得m 的值，易得点N、P的坐标，然后推知PNMN 是否成立即可；（2）设点 D 的坐标是（n，2n2+2n+4），P（n，2n+4）根据 S四边形BOADSBOA+SABD4+SABD，则当 SABD取最大值时，S四边形BOAD最大根据三角形的面积公式得到函数SABD 2（n1）2+2由二次函数的性质求得最值【详解】解：如图 1，顶点 M 的坐标是1 9,2 2，设抛物线解析式为y21922a x（a0）直线 y 2x+4 交 y 轴于点 B，点 B 的坐标是（0，4）又点 B 在该抛物线上，219022a4，解得 a 2故该抛物线的解析式为：y219222x 2x2+2x+4；不存在理由如下：抛物线y219222x的对称轴是直线x12，且该直线与直线AB 交于点 N，点 N 的坐标是1,3293322MN设点 P的坐标是（m，2m+4），则 D（m，2m2+2m+4），PD（2m2+2m+4）（2m+4）2m2+4mPDMN 当 PDMN 时，四边形MNPD 是平行四边形，即2m2+4m32解得 m112（舍去），m232此时 P（32，1）PN5，PNMN，平行四边形MNPD 不是菱形不存在点P，使四边形MNPD 为菱形；（2）存在，理由如下：设点 D 的坐标是（n，2n2+2n+4），点 P在线段 AB 上且直线PDx 轴，P（n，2n+4）由图可知 S四边形BOADSBOA+SABD其中 SBOA12OB?OA 12424则当 SABD取最大值时，S四边形BOAD最大SABD12（yDyP）（xAxB）yD yP 2n2+2n+4（2n+4）2n2+4n 2（n1）2+2当 n 1时，SABD取得最大值2，S四边形BOAD有最大值此时点 D 的坐标是（1，4）【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系25.（1）问题发现如图 1，ACB 和 DCE 均为等边三角形，点A、D、E 在同一条直线上，连接BE填空：AEB 的度数为；线段 AD、BE之间的数量关系为（2）拓展研究如图 2，ACB 和 DCE 均为等腰直角三角形，ACBDCE90，点 A、D、E在同一条直线上，CM为 DCE 中 DE 边上的高，连接BE，请判断 AEB 的度数及线段CM、AE、BE 之间的数量关系，并说明理由（3）解决问题如图 3，在正方形 ABCD 中，CD 22，若点 P 满足 PD2，且BPD 90，请直接写出点A 到 BP的距离【答案】（1）60o；ADBE；（2）902AEBAEBECMo，理由见解析；（3）点A 到BP 的距离为312或312【解析】【分析】（1）由条件易证ACD BCE，从而得到：AD=BE，ADC=BEC由点 A，D，E 在同一直线上可求出 ADC，从而可以求出AEB 的度数（2）仿照（1）中的解法可求出AEB 的度数，证出 AD=BE；由 DCE 为等腰直角三角形及CM 为 DCE中 DE 边上的高可得CM=DM=ME，从而证到AE=2CH+BE（3）由 PD=1 可得：点 P 在以点 D 为圆心，1 为半径的圆上；由 BPD=90 可得：点 P 在以 BD 为直径的圆上显然，点 P 是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置分别进行讨论然后，添加适当的辅助线，借助于（2）中的结论即可解决问题【详解】解：（1）如图 1 ACB 和 DCE 均为等边三角形，CA=CB，CD=CE，ACB=DCE=60，ACD=BCE在 ACD 和 BCE 中，ACBCACDBCECDCE，ACD BCE（SAS），ADC=BEC DCE 为等边三角形，CDE=CED=60 点 A，D，E在同一直线上，ADC=120，BEC=120，AEB=BECCED=60 故答案为60 ACD BCE，AD=BE故答案为 AD=BE（2）AEB=90，AE=BE+2CM理由：如图 2 ACB 和 DCE 均为等腰直角三角形，CA=CB，CD=CE，ACB=DCE=90，ACD=BCE在 ACD 和 BCE 中，CACBACDBCECDCE，ACD BCE（SAS），AD=BE，ADC=BEC DCE 为等腰直角三角形，CDE=CED=45 点 A，D，E在同一直线上，ADC=135，BEC=135，AEB=BECCED=90 CD=CE，CMDE，DM=ME DCE=90，DM=ME=CM，AE=AD+DE=BE+2CM（3）点 A 到 BP 的距离为312或312理由如下：PD=1，点 P 在以点 D 为圆心，1 为半径的圆上 BPD=90，点 P 在以 BD 为直径的圆上，点 P 是这两圆的交点当点 P 在如图 3所示位置时，连接 PD、PB、PA，作 AHBP，垂足为 H，过点 A 作 AEAP，交 BP于点 E，如图 3四边形 ABCD 是正方形，ADB=45 AB=AD=DC=BC=2，BAD=90，BD=2DP=1，BP=3 BPD=BAD=90，A、P、D、B 在以 BD 为直径的圆上，APB=ADB=45，PAE 是等腰直角三角形又 BAD 是等腰直角三角形，点 B、E、P 共线，AHBP，由（2）中的结论可得：BP=2AH+PD，3=2AH+1，AH=312当点 P 在如图 3所示位置时，连接 PD、PB、PA，作 AHBP，垂足为 H，过点 A 作 AEAP，交 PB的延长线于点E，如图 3同理可得：BP=2AHPD，3=2AH1，AH=312综上所述：点 A到 BP 的距离为312或312【点睛】本题考查了等边三角形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，是体现新课程理念的一道好题而通过添加适当的辅助线从而能用（2）中的结论解决问题是解决第（3）的关键